精品解析：河北邯郸市临漳县2025-2026学年八年级下学期数学多元评估

八年级数学多元评估 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 某公园有一个正多边形花池，小明绕花池沿着边沿行走一周，每次经过顶点都需要转弯调整方向，若每次转弯角度是，则这个正多边形花池的内角和为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中， ，， ，交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 3. 如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若 ，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 4. 如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于 长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 6. 一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当 时，中，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 不等式组，的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 8. 如图，在中，，于点D， ，若 ，则的长为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知中， ， ， ，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 12. 如图，已知，点，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的边长为  （    ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 如图，是等腰直角三角形， ，点，点，点在第一象限．若将绕点旋转 ，得到，点，的对应点分别为、，则点的坐标为________． 14. 关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 15. 如图，在中，，外角，则的度数为_____． 16. 如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为________． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 18. 在如图所示的正方形网格中，，，都在格点上．在给定的六个格点（网格中加点处）中找一个点，并满足下列条件． （1）平移图1中的三角形，使得给定的六个格点只有一个格点在其内部（不包括边上），画出平移后的格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形）： （2）在图中找一个格点，画和，使得． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； （3）连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； （4）若是 的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 20. 如图，已知，， ， ，，与相交于点，连接．求证： （1）； （2）是的中垂线． 21. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 22. 把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接 ，设旋转角为． （1）嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； （2）如图③，若 ， ，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 23. 已知在中，，， ，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． （1）求的长； （2）当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ （3）若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 24. 按题中要求解决下列各题： （1）【发现问题】如图1，点为线段外一动点，且，．长的最大值是____． （2）【问题解决】点为线段外一动点，且， ，如图2所示，分别以，为边，作等边 和等边 ，连接、，求出线段长的最大值并说明理由． （3）【灵活运用】如图3，在某园林部门规划中，点为正门广场，在点的正东方向900米处有一物资补给站（用于绿植养护物资存放）．园林部门要规划一片牡丹种植园，要求 ，，且种植园的核心点位到正门广场的距离为300米．为了让正门广场处的游客有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学多元评估 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 某公园有一个正多边形花池，小明绕花池沿着边沿行走一周，每次经过顶点都需要转弯调整方向，若每次转弯角度是，则这个正多边形花池的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．根据多边形的外角求出边数，再根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：由题意知，正多边形的每一个外角为， 正多边形的边数为：， 这个正多边形花池的内角和为， 故选：． 2. 如图，在中， ，， ，交于点 ，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解 ，可得 ，进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴，. 3. 如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若 ，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴. 4. 如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于 长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图，得到直线是线段的垂直平分线，得到，结合点P是的中点，，得到，求解即可． 【详解】解：根据作图，得到直线是线段的垂直平分线， ， 由点P是的中点，， ． 5. 代数式中 的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有意义得出，，再由数轴可得，即可得，即可求解． 【详解】解：根据有意义可得，解得， 根据有意义可得，解得， 由数轴可得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当 时，中，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有 小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当 时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 7. 不等式组，的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：∵解不等式① 移项得 合并同类项得 两边同除以2得 解不等式② 移项得 计算得 两边同乘，不等号方向改变，得 ∴不等式组的解集为：． 8. 如图，在中，，于点D， ，若 ，则的长为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，在中利用含30度直角三角形的性质求得，然后再利用含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵于点D，， ， ∴，， ∵在， ，， ∴， ∵在中，， ∴ ，即选项C符合题意． 9. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到． 10. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 11. 如图，已知中， ，， ，的垂直平分线分别交，于 ， ，连接，则的长为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出 ．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出 的值即可． 【详解】解：设， ∵ ，， ， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴ ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 12. 如图，已知，点，，在射线上，点，，在射线上，，，均为等边三角形．若，则的边长为  （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据等边三角形的性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质和图形规律即可解答． 【详解】解：如图所示： 为等边三角形， ，， ． ， ． ， ． ， ， ． ，等边三角形， ，． ，，， ，， ，， ，， ，，， 以此类推，． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共12分） 13. 如图， 是等腰直角三角形， ，点，点，点在第一象限．若将 绕点旋转 ，得到，点，的对应点分别为、，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的特征求解即可. 【详解】解：∵ 是等腰直角三角形， ，点，点， ∴， ∴， ∵将 绕点旋转 ，得到， ∴点与点关于原点对称， ∴. 14. 关于 的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出，求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵ 的方程的解是正数， ∴， 解得． 15. 如图，在中，，外角，则的度数为_____． 【答案】##43度 【解析】 【分析】三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 16. 如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角定理，关键是利用 “反射角等于入射角” 这一条件得到，进而在中利用内角和定理，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作 的垂线，过点作的垂线，两线交于点 由题意可得 (提示∶反射角等于入射角)， 故答案为： ． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_____． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4） 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 【小问2详解】 解：解不等式②，得 ； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ； 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为． 18. 在如图所示的正方形网格中，，，都在格点上．在给定的六个格点（网格中加点处）中找一个点，并满足下列条件． （1）平移图1中的三角形，使得给定的六个格点只有一个格点在其内部（不包括边上），画出平移后的格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形）： （2）在图 中找一个格点 ，画和，使得． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质：将的三个顶点，，，向上平移2 个单位长度，得，，，依次连接，，，据此画出平移的图形，此时三角形中给定的六个格点只有一个格点在其内部； （2）根据两直线平行，内错角相等，过点作 ，连接，则，利用网格的特点作出即可． 【小问1详解】 解：如图1，即为所求： 【小问2详解】 解：如图2，点D、和即为所求： 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． （1）点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； （3）连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； （4）若是 的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 【答案】（1）， （2）或 （3） ， （4） 【解析】 【分析】（1）根据解析式，分别令，即可求解； （2）设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）先出点的坐标为，代入 ，进而根据函数图象，当时，自变量 的取值范围为； （4）将代入，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线分别交 轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 则， ∴， ∵， 设， ∴， 解得或， ∴或 【小问3详解】 解∶∵C是线段上的一点，且横坐标为， ∴点C的纵坐标为， ∴点的坐标为 设直线的解析式为 ， 则， 解得， ， 如图， 根据函数图象可得，当时，自变量 的取值范围为； 【小问4详解】 解：点在直线上， 当时，即，即， ． 20. 如图，已知，， ， ，，与相交于点，连接．求证： （1）； （2）是的中垂线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用“”，得出，再利用“”，得出，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，得出 ，，进一步得，结合，得出点和点在的垂直平分线上，即可得证． 【小问1详解】 证明： ， ， 即 ． ， ， ． 又， ， ． 又 ， ， ． 【小问2详解】 证明：由（1）可知，，， ，， ， 即． 又， 点和点在的垂直平分线上， 是的中垂线． 21. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是 万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当 时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 22. 把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接 ，设旋转角为． （1）嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； （2）如图③，若 ， ，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 【答案】（1） 证明：，都是等腰直角三角形， ，，， 则 ， ； （2）①；②10 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合，即可得证； （2）①同（1）得到 ，得出 ，根据 求出结果即可； ②设，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①是等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得 ， ∴ ， ∴ ； ②设， 由（1）得 ， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ， ∴ 解得 （舍）， ． ∴的长是10． 23. 已知在中，，， ，为边上的高．动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为t． （1）求的长； （2）当P在边上运动，t为何值时，为等腰三角形？ （3）若M为上一动点，N为上一动点，是否存在M，N使得的值最小．如果有，请求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）、9、 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，根据三角形的面积公式计算； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质，求解即可； （3）作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：中，，， ， ， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， 当 时， 在中，， 如图1，，为边上的高， ， 则， 当 时，， 当时， 如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则， 故当、9、 时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：作点关于的对称点E，过E作于N，交于点M，则就是的最小值，即，连接，如下图： 可知 ∵ ∴ ∴ 的最小值为 24. 按题中要求解决下列各题： （1）【发现问题】如图1，点为线段外一动点，且，．长的最大值是____． （2）【问题解决】点为线段外一动点，且， ，如图2所示，分别以，为边，作等边 和等边 ，连接、，求出线段长的最大值并说明理由． （3）【灵活运用】如图3，在某园林部门规划中，点为正门广场，在点的正东方向900米处有一物资补给站（用于绿植养护物资存放）．园林部门要规划一片牡丹种植园，要求 ，，且种植园的核心点位到正门广场的距离为300米．为了让正门广场处的游客有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点到直线的距离． 【答案】（1）7 （2）线段长的最大值为14，理由见解析 （3）的最大值为米；点到直线的距离为米 【解析】 【分析】（1）根据点A、C、B共线时，线段的长取得最大值，即可得到结论； （2）证明，得出，说明当最大时，最大，根据当点D在延长线上时，最大，求出结果即可； （3）过点C作，截取米，连接，，证明，得出，根据当最大时，最大，根据当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米，即可得出的最大值，过点C作 于点F，求出米，即可得出点C到的最大值． 【小问1详解】 解：当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值是； 【小问2详解】 解：线段长的最大值为14，理由如下： ∵ 和 为等边三角形， ∴，，， ∴， 即 ， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵当点D在延长线时，最大，且最大值为， ∴线段长的最大值为14； 【小问3详解】 解：过点C作，截取米，连接，，如图所示： 根据作图可知， 为等腰直角三角形， ∴米， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米， 即的最大值为米； 此时过点C作 于点F， ∵， ∴米， 即此时点C到直线的距离为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $