解析几何：线段长度最值问题、面积最值问题、斜率最值范围问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

解析几何：线段长度最值问题、面积最值问题、斜率最值范围问题专项训练 解析几何：线段长度最值问题、面积最值问题、斜率最值范围问题专项训练 考点目录 线段长度最值问题 面积最值问题 斜率最值范围问题 考点一 线段长度最值问题 例1．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①由题可得，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理化简可得出的值； ②求出的取值范围，结合弦长公式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆定义可得 ， 因为，所以，则， 由题，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）①由题可得，从而直线的斜率必定存在， 设、，设直线的方程为， 联立，可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 即， 即 ， 整理可得， 即， 又因为直线不过点，所以，所以，即； ②由①可知，，由得， 因为，所以，因此的取值范围是. 例2．（25-26高二下·上海·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交于两点，其中在第一象限，在第四象限． (1)设椭圆的焦点为、，离心率为，求椭圆方程； (2)若，求的面积； (3)设，线段的中点为，是轴上一点，满足，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和离心率求解椭圆方程即可；（2）结合双曲线的定义确定点坐标，进而表达出三角形面积即可； （3）设出直线方程并联立双曲线方程，结合韦达定理及两点间距离公式表达出求解范围即可. 【详解】（1）双曲线，得，故，焦点. 椭圆以为焦点，故椭圆半焦距，已知离心率，得. 椭圆中，因此椭圆的方程为. （2） 由双曲线定义，在右支，故，已知，得. 设，由，结合 代入得，解得（负根舍去，在右支）， 代入得，即，的底，高为， 面积. （3）设直线斜率为（斜率不存在时，舍去），方程为， 联立双曲线方程得， 都在右支，故二次方程两根均为正， 得，设，中点坐标由韦达定理得， ，斜率为，令（在轴）得坐标， 由距离公式计算， 令，代入化简得， 时，，故，即的取值范围为. 例3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点，O为坐标原点，过点作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点. (1)求双曲线的方程； (2)过点A，B两点分别作双曲线的切线，设交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段OR长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得双曲线的焦点为，顶点为，进而求解即可； （2）设切点为，可证明切线方程为，设，，可得的方程为，的方程为，进而得到，再分、两种情况求出坐标，再表示出即可求解. 【详解】（1）由椭圆，得， 由题意，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点， 则双曲线的焦点为，顶点为，即， 则，即双曲线的方程为. （2）设切点为，则，先证明切线方程为. 当切线斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 联立，得， 则，则， 则切线方程为，即； 当切线斜率不存在时，切点为或，则切线方程为或， 显然满足. 综上所述，切点为时，切线方程为. 设，， 则的方程为，的方程为， 则，， 所以直线的方程为， 又直线过点，则，即， 则，即， 当时，，直线OQ的方程为，而直线l的方程为， 则，即； 当时，直线OQ的方程为，而直线l的方程为， 联立，得， 因为直线l与双曲线左､右两支分别交于A，B两点， 所以，解得，则或， 联立，解得，则， 则， 令，则， 所以，令，则， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 综上所述，线段OR长度的取值范围为. 变式1．（25-26高二上·广东茂名·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在C上. (1)若点P在x轴上方，且，求点P的坐标； (2)已知直线：. （i）证明：直线与C相切； （ⅱ）若与直线交于点Q，过点Q作直线的垂线，垂足为H，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2)（i）证明见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）由三角形面积公式及求解即可； （2）（i）联立直线和椭圆方程，由判别式即可判断，（ⅱ）确定，结合向量数量积的坐标表示得到，再结合，即可求解. 【详解】（1）由已知可得，， 代入解得， ∴或. （2） （ⅰ）联立，得①. ∵，∴①式可化为. 即. ∴与相切，切点即为. （ii）对：令，得，∴. . ∵，∴的取值范围为. 变式2．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为． (1)求的方程． (2)过直线上一点作直线，与交于，两点． （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）由焦点坐标得到的值，由渐近线得到的值，结合公式计算得到的值，从而得到的方程； （2）（i）方法一：设的坐标及直线的方程．与双曲线联立方程组，设，写出，由得到的值，整理得到的值，从而得解. 方法二：设．利用点差法求解，结合斜率的公式得到证明；（ii）设的坐标，讨论与轴垂直和与轴不垂直这两种情况求解，当与轴垂直时，设点，则，利用向量的数量积求出的值．当的斜率存在时，利用点斜式设出的方程，直线和双曲线联立方程组，韦达定理，利用数量积求出，即可得解． 【详解】（1）设双曲线的半焦距为．由题知， ， ，， 的方程为． （2）（i）方法一：设，因为直线与交于，两点， 由题意直线的斜率一定存在，设． 由， 得， 设，则， ，，整理得， ，，，即点与原点重合． 方法二：设． 由，作差可得． ，， ， 又，． 由题意知，直线的斜率一定存在，且斜率不能等于，即， ，即点与原点重合． （ii）设． 当与轴垂直时，，设点，则， ． 又点在上，，即，． 当的斜率存在时，由， 得， 设，则， ， 当时，等号成立． 综上，的最小值为1．      变式3．（25-26高二上·广西南宁·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式求出值即得. （2）设点，求出圆的方程，进而求出点纵坐标关系，再利用两点间距离公式列出函数关系并求出范围. 【详解】（1）依题意，直线的方程为，由消去得， 设直线与抛物线的交点为，则， 由直线被截得的弦长为，得， 因此，而，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线的焦点，设， 由以为圆心过点的圆方程为， 当时，，而，， 则，因此 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 考点二 面积最值问题 例1．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过圆上一动点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：恒为定值； （ii）求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）6. 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后可得椭圆的方程； （2）（i）设出切线方程，联立切线方程和椭圆方程，消元后根据判别式为零可求切线方程，根据同构可得切点弦的方程，联立切点弦方程和椭圆方程，结合韦达定理化简斜率乘积为，从而可证恒为定值； （ii）结合（i）中结果结合点到直线距离可求四边形面积表达式，从而可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意知，解得，， 故的方程为. （2）（i）设，， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时直线的方程为，此时； 同理，若直线的斜率不存在，则. 若直线，的斜率都存在，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 由得， 因为直线与椭圆相切， 则， 化简得， 又，所以，代入上式得， 所以，即， 所以，解得（）， 所以直线的方程为，整理得， 设直线的斜率为，直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 设，其中， 则有，，所以直线的方程为， 若,则，直线的方程为，可得， 不妨设，，此时， 故即. 若，由整理得， 所以，， 故 ， 整理得，又， 所以，则，即. 综上可知，恒为定值. （ii）由上可知，直线的方程为， 又，则，， 则点M到直线的距离为， 原点O到直线的距离为， 由上可知，， 则 ， 所以四边形的面积为 ， 所以当时，四边形的面积取得最大值6. 例2．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）当在短轴端点时面积最大，再结合离心率为与，可求出椭圆方程； （2）折叠前直线与椭圆方程联立求出坐标；折叠后建立空间直角坐标系，再确定的空间坐标，向量法求异面直线所成角的余弦值； （3）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标的关系，翻折后，建立空间直角坐标系，写出的空间坐标，利用空间向量可算出到的距离，再根据三角形面积公式结合基本不等式可求出面积最大值. 【详解】（1）由题意知，解得 ∴椭圆C的标准方程为. （2）翻折前，所在直线方程为， 联立，消得，解得， 不妨设，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 于是. 设异面直线与所成角为， . 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设翻折前所在直线方程为， 联立，消得， 设（令）， 由韦达定理有. 翻折后，， 故， 则， 所以， 于是. 所以， 令，有，于是. 令，由对勾函数的性质， 在上单调递增. 所以当时取得最小值，为，此时取得最大值， 的最大值为.此时，解得. 所以当直线的斜率时，面积取得最大值，最大值为2. 例3．（25-26高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆的蒙日圆半径、离心率列等式求解a、b即可； （2）设直线AB的方程为，利用弦长公式求出、关于t的表达式，进一步得到关于t的表达式，最后结合对勾函数的图像性质即可证明． 【详解】（1）如图所示，显然直线，与相切，且相互垂直，    则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得，， ． （2）设直线AB的方程为，由,得，，， 从而， 又由得， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知在上单调递增， 所以，所以取值范围为． 变式1．（2026·重庆永川·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C上的点到直线距离的最大值. (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）根据题意求出椭圆标准方程，设椭圆C上点并利用辅助角公式可求出距离的最大值； （2）（i）设直线的方程为，点A，B分别为，点Q的坐标为，利用直线与直线的斜率之和为0可得点Q的坐标为； （ii）分别求出的面积表达式，利用基本不等式即可求出的面积的最大值. 【详解】（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2， 可得，，又由， 可得椭圆C的标准方程为； 设椭圆C上的点，， 点到直线的距离为 ， 其中，故有. （2）设直线的方程为， 设点A，B的坐标分别为，点Q的坐标为，如下图所示： （i）联立方程消去y后整理为， 有，可得或， 又有，，可得， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 又由直线与直线的斜率之和为0，有， 可化为， 有，有，由k的任意性可得， 故点Q的坐标为； （ii） 令，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 故的面积的最大值为． 变式2．（25-26高三下·重庆·月考）已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过，且直线,的斜率成等差数列，求的取值范围； (3)若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由椭圆左焦点为得，即；又椭圆过点，代入椭圆方程，联立解出和即可； （2）设：，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和；由题意得，代入化简得到与的关系；再根据直线与椭圆有两个交点，利用判别式，求出的取值范围。 （3）设： ，先求的长度；设，得到的方程，再求出到直线的距离，最后利用基本不等式求出面积的最大值 【详解】（1）由题意得，所以 又椭圆经过点，代入椭圆方程得，化简得即，整理得，解得（舍去负根）所以 所以椭圆的标准方程为 （2）设，因为不过，所以 设 ，化简得 因为直线，的斜率成等差数列，所以即 又,，所以， 整理得     将代入化简得 整理得 即 解得（舍去） 所以，代入得，整理得解得或， 故的取值范围为 （3）设 解得， 故 所以 设，则，其斜率为 又，所以 因为在椭圆上，所以解得 不妨令则， 所以点到直线 的距离 所以面积 化简得     令， 则 ，当且仅当时取等号， 所以 即面积的最大值为 变式3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）列关于的方程即可求解得到椭圆的标准方程. （2）（i）先求直线的斜率，设切线方程为，联立方程令 ，即可求解， （ⅱ）先证明，再证明四边形面积为定值2，所以的面积. 【详解】（1）由题意可得， 又，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）可得：，， 设，，， 可知直线方程为：. 设切线方程为， 代入,得到 令，解得， 因 P 在第一象限，切线斜率为负，故 所以切线方程为：. （ⅱ）直线：，到直线的距离为 且， 当且仅当时等号成立. 因为在椭圆上，所以， 则：，令，， 则：，令，， 则， . 故四边形面积为定值2. 所以的面积， 所以面积的最大值为. 考点三 斜率最值范围问题 例1．（2026·四川雅安·二模）已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据椭圆过的点，代入方程求出即可得解； （2）设，利用三角形面积比求出即可证明； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程，由斜率公式及韦达定理化简即可得出，据此求出范围. 【详解】（1）将点和点代入（）得， 解得，，所以的方程为． （2）由（1）知，， 设，，直线与轴的交点为， 则，解得． 即直线过定点． （3）设直线的方程为，，． 联立可得， 则，，且． 于是 ，（结合第（2）问） ，，即的范围是． 例2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知椭圆：以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.已知斜率存在且不为0的直线l过点直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和的直线AC与椭圆E的另一个交点为. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值及斜率k的取值范围. 【答案】(1)， (2)，或 【分析】（1）由以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形，的值和，由解出的值，从而得到椭圆的方程和离心率； （2）设，直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，此方程的，即得到满足的不等式，根据韦达定理写出，由直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，利用点斜式写出直线的方程，在直线方程中令，解出，根据得到的值，从而得到的值，将代入满足的不等式，解出此不等式的解，又，从而得到的取值范围. 【详解】（1）以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形， ，，， ，， 椭圆方程为，离心率为； （2）设， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得 ， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据离心率及焦点列方程计算求解椭圆方程； （2）先设直线再联立方程组计算韦达定理，把角转化为计算向量数量积计算求解. 【详解】（1）由已知， 解得，所以C的方程为 （2）设MN：，， 将直线与椭圆方程联立， 整理得， 经检验， 根据韦达定理， 因为，所以，即， 所以，整理得， 将韦达定理代入得， 去分母后整理得，解得， 变式1．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程； （2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标； （3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围. 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 变式2．（24-25高三下·湖北·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，结合离心率求出、，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由为锐角，可得，再由数量积的坐标表示得到不等式，解得即可； 【详解】（1）依题意，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为. 变式3．（2025·江西宜春·一模）已知点A，B在曲线T：上. (1)若直线AB的斜率为4，求的最小值； (2)若，求直线AB的斜率的最大值； (3)若点C在曲线T上，等腰直角三角形ABC的顶点按逆时针排列，，求直线AB的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设直线AB的方程为（），联立方程可得韦达定理，根据弦长公式运算求解即可； （2）根据题意结合（1）中弦长关系整理可得，运算求解即可； （3）设，则，结合题意整理可得，运算运算求解即可. 【详解】（1）显然直线AB的斜率存在，且不为0， 设，，直线AB的方程为（）. 联立，得，则，. . 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. （2）由（1）可得，， 所以，即， 结合，解得或，所以直线AB的斜率的最大值为4. （3）设，则，直线AB的斜率. 设，则，. 因为点B，C在曲线T上，所以， 即，，两式相加可得， 即，解得或. 故直线AB的斜率的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解析几何：线段长度最值问题、面积最值问题、斜率最值范围问题专项训练 解析几何：线段长度最值问题、面积最值问题、斜率最值范围问题专项训练 考点目录 线段长度最值问题 面积最值问题 斜率最值范围问题 考点一 线段长度最值问题 例1．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 例2．（25-26高二下·上海·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交于两点，其中在第一象限，在第四象限． (1)设椭圆的焦点为、，离心率为，求椭圆方程； (2)若，求的面积； (3)设，线段的中点为，是轴上一点，满足，求线段长的取值范围． 例3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知椭圆，双曲线的焦点是椭圆长轴端点，顶点为椭圆焦点，O为坐标原点，过点作斜率为k的直线l，与双曲线左､右两支分别交于A，B两点. (1)求双曲线的方程； (2)过点A，B两点分别作双曲线的切线，设交于点Q，直线OQ与直线l交于点R，求线段OR长度的取值范围. 变式1．（25-26高二上·广东茂名·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在C上. (1)若点P在x轴上方，且，求点P的坐标； (2)已知直线：. （i）证明：直线与C相切； （ⅱ）若与直线交于点Q，过点Q作直线的垂线，垂足为H，求的取值范围. 变式2．（25-26高二上·河南新乡·期末）已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的方程为． (1)求的方程． (2)过直线上一点作直线，与交于，两点． （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值． 变式3．（25-26高二上·广西南宁·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线被截得的弦长为． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围． 考点二 面积最值问题 例1．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知椭圆（）的长轴长是短轴长的倍，且经过点. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过圆上一动点作的两条切线，切点分别为. （i）证明：恒为定值； （ii）求四边形的面积的最大值. 例2．（2026·湖南郴州·三模）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上任意一点，且面积的最大值为所在的直线经过椭圆的中心，现将坐标平面沿轴折成一个直二面角，如图1､2所示. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求翻折后异面直线与所成角的余弦值； (3)当不在轴上时，如图2，求面积的最大值. 例3．（25-26高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围 变式1．（2026·重庆永川·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C上的点到直线距离的最大值. (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 变式2．（25-26高三下·重庆·月考）已知椭圆的左焦点为，且经过点，直线的斜率为，且与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若不过，且直线,的斜率成等差数列，求的取值范围； (3)若经过原点，过椭圆上一点的切线与垂直，求面积的最大值. 变式3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）椭圆：（）经过点，左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）过点做椭圆的切线，当切线平行时，求：切线方程. （ⅱ）求面积的最大值. 考点三 斜率最值范围问题 例1．（2026·四川雅安·二模）已知椭圆：（）过点和点，，分别为的左、右顶点，，为上的两个动点，且分别位于轴上、下两侧，和的面积分别为，，记． (1)求的方程； (2)若，证明：直线过轴上定点； (3)若，设直线和直线的斜率分别为，，求的取值范围 例2．（25-26高三上·海南海口·月考）已知椭圆：以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.已知斜率存在且不为0的直线l过点直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和的直线AC与椭圆E的另一个交点为. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值及斜率k的取值范围. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆：左焦点，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若，求的取值范围. 变式1．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 变式2．（24-25高三下·湖北·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 变式3．（2025·江西宜春·一模）已知点A，B在曲线T：上. (1)若直线AB的斜率为4，求的最小值； (2)若，求直线AB的斜率的最大值； (3)若点C在曲线T上，等腰直角三角形ABC的顶点按逆时针排列，，求直线AB的斜率的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $