利用基本不等式求解三角形、解析几何中的最值问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

利用基本不等式求解三角形、解析几何中的最值问题专项训练 利用基本不等式求解三角形、解析几何中的最值问题专项训练 考点目录 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求解析几何中的最值问题 考点一 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，由边化角，再根据余弦定理，直接求出角C即可； （2）根据三角形中线的性质，求出向量关系，再根据基本不等式和三角形正弦面积公式，求出面积最大值即可. 【详解】（1）由，可得， 化简得，则，解得. （2）由题意可得，所以， 即， 则，化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以， 所以面积的最大值为. 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】（1）； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 例3．（2026·江西南昌·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 变式1．（2026·四川眉山·二模）在中，已知内角，，满足． (1)求； (2)设边上的中线为，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角正弦公式可得； （2）根据中线向量关系及基本不等式，再结合三角形面积公式可得. 【详解】（1）因为，且， 所以，即， 因为，所以，且，所以. （2）因为边上的中线为，所以， ，又，且， 所以，即，当且仅当时等号成立. 所以面积，当且仅当时等号成立. 故面积的最大值为. 变式2．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； （2）在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 变式3．（25-26高三上·重庆北碚·月考）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对化简利用和差公式得到，再由三角形三角关系化简得到，结合同角的平方公式求出. （2）先利用锐角三角函数得到，再由正弦定理化简得到，利用余弦定理和基本不等式求出，从而得到，进而求出的最大值为. 【详解】（1）因为， 所以； 即 即 即得，即 因为，即得到 ； 又因为,所以. （2）因为分别为边上的高，所以, 所以； 由正弦定理,所以，； 所以； 因为,，所以 所以由余弦定理得，即； 即，所以，即 所以，当且仅当时等号成立； 所以； 即当且仅当时，的最大值为 . 考点二 利用基本不等式求解析几何中的最值问题 例1．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 【答案】(1) (2) ①②； 【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合； （2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点坐标的关系，根据过且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与坐标的关系，再通过消去的坐标，推导出的轨迹方程； ②由①得到的轨迹方程，将转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值. 【详解】（1）当，直线方程， 联立双曲线与直线，代入整理得， 由题知直线与双曲线有唯一公共点， 故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件； 当时，，解得， 故实数k的取值集合为. （2）①联立与得：， 由唯一公共点且，得，化简得 ， 设切点，由二次方程顶点公式得 ， 故过且与垂直的直线方程为， 分别令，，得， 将和代入，整理得， 即为的轨迹方程. ②由①知的轨迹方程，故 ， 令，， 原式 当时原式小于0，故最大值仅在时取得， 当时化简得， 由基本不等式，当且仅当时取等， 因此 ，此时， 得，即，代入得，即， 因此最大值为，对应. 例2．（2026·江西·模拟预测）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标为，求得； （2）由（1）得抛物线的方程，设直线的方程为，并与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可得参数，从而得到直线的方程； （3）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得坐标关系，进而用点坐标表示；用坐标表示出点坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，得坐标关系，进而可用表示，利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】（1）因为是的焦点，所以，得. （2）由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. （3）由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 例3．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知椭圆（）过点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线l的方程； （ii）当直线l斜率为1，且不过原点O，直线l与y轴交于点P，T是A关于x轴的对称点．记直线与x轴交于点Q，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点建立方程，求出，即得椭圆方程； （2）（i）解法一：利用点差法利用弦的中点求出弦所在直线的斜率即得；解法二：设直线的方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理求出直线的斜率即得；（ii）设直线，与椭圆方程联立，写出韦达定理，求直线的方程，令，求得，表示出的周长表达式，利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】（1）由题意得，解得： 椭圆C的标准方程是. （2）（i）解法一：设，，则， 相减得：, 中点是，，，代入上式得：， 即l的斜率，的方程为，即. 解法二：当l的斜率不存在时，显然不合题意． 当l的斜率存在时，设方程为，代入得： ， 设，  则，解得： 的方程为，即. （ii）设直线（），令，得：， 设，，则， 联立直线l与椭圆方程消元得：， 由，得， 则，, 直线的方程为， 令，得, ，, 的周长为 （当且仅当，等号成立） 故的周长的最小值为. 变式1．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，直线，是直线上任意一点，过作直线的垂线交线段的中垂线于点，记为坐标原点. (1)求点的轨迹的方程； (2)点异于点，连接交直线于点，求证：； (3)若与交于两点，与交于两点，设线段的中点分别为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）设点，根据题意分别求出坐标，再根据斜率公式求解即可； （3）设直线的斜率为，直线的斜率为，根据题意求出点坐标，再根据三角形的面积公式和基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）因为点在的垂直平分线上，所以点到的距离与到直线的距离相等，    则点的轨迹是以为焦点的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设点，则点，直线方程为，    令可得点， 所以，， 所以，即. （3）由题可得直线的斜率存在且不为0，设的斜率为，则直线的斜率为，    则，， 设， 则， 所以，得，同理用代替得， 则， 又由（2）得， 所以， 当且仅当时取等号， 是的最小值为4. 变式2．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的准线为. (1)求的值. (2)点在上，过点的直线分别与交于点和，且分别为，的中点.若直线与交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据抛物线的准线方程求出结果即可. （2）设，求出的坐标，代入方程化简，结合韦达定理求出直线的方程，然后列出的表达式，根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可得，，解得. （2）设，则. 因为点都在抛物线上， 所以即 则为方程的两个实数根，，. 直线的斜率为， 直线的方程为， 令，得，则. ， 当且仅当时，取得最小值，最小值为6. 变式3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，记在两点处的切线交于点． （i）试判断点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若为坐标原点，点是直线上的一点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）为定值4；（ii）12. 【分析】（1）由焦点坐标、及点代入椭圆方程求解即可. （2）设直线的方程，联立直线的方程与椭圆方程可得，， （i）设在点处的切线方程，联立切线方程与椭圆方程，令可得，进而可得在点处的切线方程，同理可得在点的切线方程，联立两条切线方程求其横坐标即可. （ii）将代入可得点坐标，进而可得直线的方程，求出直线和交点，进而可得为线段的中点，由弦长公式求得，进而可得，由到角公式及直角三角形中正切定义可得，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以的方程为. （2）设直线的方程为， 由得， 所以． （i）显然，在点处的切线的斜率存在，设在点处的切线方程为， 由得， 所以，整理得，解得， 所以在点的切线为，即，同理得在点的切线为， 由得， 所以点的横坐标为定值4． （ii）将代入，得， 直线的方程为， 设直线和交于点，由得， 又，所以为线段的中点． 因为， 所以， 又因为， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为12. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $利用基本不等式求解三角形、解析几何中的最值问题专项训练 利用基本不等式求解三角形、解析几何中的最值问题专项训练 考点目录 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 利用基本不等式求解析几何中的最值问题 考点一 利用基本不等式求解三角形中的最值问题 例1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求C； (2)若D是边的中点，且，求面积的最大值. 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 例3．（2026·江西南昌·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 变式1．（2026·四川眉山·二模）在中，已知内角，，满足． (1)求； (2)设边上的中线为，若，求面积的最大值． 变式2．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 变式3．（25-26高三上·重庆北碚·月考）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 . (1)求; (2)若,设中边上的高分别为 ,求的最大值. 考点二 利用基本不等式求解析几何中的最值问题 例1．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 例2．（2026·江西·模拟预测）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. (1)求的值； (2)若，求的方程； (3)记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 例3．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知椭圆（）过点，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点． （i）当线段的中点坐标为时，求直线l的方程； （ii）当直线l斜率为1，且不过原点O，直线l与y轴交于点P，T是A关于x轴的对称点．记直线与x轴交于点Q，求周长的最小值． 变式1．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，直线，是直线上任意一点，过作直线的垂线交线段的中垂线于点，记为坐标原点. (1)求点的轨迹的方程； (2)点异于点，连接交直线于点，求证：； (3)若与交于两点，与交于两点，设线段的中点分别为，求面积的最小值. 变式2．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的准线为. (1)求的值. (2)点在上，过点的直线分别与交于点和，且分别为，的中点.若直线与交于点，求的最小值. 变式3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，记在两点处的切线交于点． （i）试判断点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由； （ii）若为坐标原点，点是直线上的一点，且，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $