求双曲线中的参数及范围问题、求双曲线中的最值问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

求双曲线中的参数及范围问题、求双曲线中的最值问题专项训练 求双曲线中的参数及范围问题、求双曲线中的最值问题专项训练 考点目录 求双曲线中的参数及范围问题 求双曲线中的最值问题 考点一 求双曲线中的参数及范围问题 例1．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的标准方程，焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设切线方程为，联立双曲线方程，再根据，从而得到与的关系，再设直线，从而得到，再代入切线方程，从而得到关于的一元二次方程，再结合，进而求出直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线，则， 双曲线的焦距为，即，得， 所以． （2）由，则有双曲线，且， 又为直角三角形，且点M在第一象限， 则不可能为直角； 若，则点的横坐标为， 将代入中，得，所以符合题意； 若，设点， 则，， 所以， 又因为点M满足， 解得(不符合题意)，或， 则，可得，所以， 又双曲线的渐近线为， 则DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，即不符合题意， 综上，点M的坐标． （3）由双曲线的一条渐近线方程为，即， 则，得双曲线 ， 又双曲线的切线不平行于坐标轴，不妨设切线方程为， 联立，整理得， 则，得， 设直线，， 将代入切线方程得， 则， 整理得， 又双曲线的两条切线互相垂直， 则， 所以， 又点存在，则，解得， 又点在第一象限，则 所以直线斜率的取值范围为． 例2．（25-26高三下·山东·月考）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）为定值，证明过程见解析；（ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入中，得， 所以双曲线方程为； （2）（i）显然直线不为0，故设直线为， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 例3．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与交于不同的两点、（异于双曲线的顶点）. (1)求的方程； (2)为双曲线的下顶点，若以为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若、在双曲线的上支，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)直线过定点，该定点坐标为. (3) 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出、所满足的关系式，即可求出定点坐标； （3）解法一：求出线段的垂直平分线方程，将点的坐标代入此直线方程，可得出，由此可得出线段的中点的坐标，求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围； 解法二：由结合点、都在双曲线的上支上可求出的取值范围，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为， ，由双曲线过点，得， ，， 双曲线的方程为. （2）由（1）知，由，得， 由题意得，① 设、，则，，   ， 由，， 则 ， 由以为直径的圆恒过点，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 直线过定点，该定点坐标为. （3）解法一：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点，    把②代入①，解得或， 又、在双曲线的上支，， 即，，， ， ， ， ， 令，， 由，得，解得，， ，，， 即的取值范围是. 解法二：设线段的中点为， 由（2）得，点， 线段的垂直平分线方程为， 点在线段的垂直平分线上， ，，② 点， 由（2）知， 解得或， 、在双曲线的上支， ，， ， ， ， ， ，， ，，， 即的取值范围是. 变式1．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，实轴的左、右顶点分别为、，虚轴的上、下顶点分别为、，且四边形的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与交于、两点，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设、，设线段的中点为，易知点，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合斜率关系可得出，再结合，，可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形是菱形，且，， 所以四边形的面积为，① 又因为该双曲线的离心率为，② 且，③ 联立①②③可得，，， 所以双曲线的标准方程为. （2）设、，设线段的中点为，易知点， 联立消去整理可得， 所以， 即且④， 由韦达定理可得，. 所以，则， 因为，所以，所以， 所以⑤，结合，可得⑥， 又， 由④⑤⑥得，解得或， 因此实数的取值范围是. 变式2．（25-26高三上·浙江杭州·期末）设双曲线的右焦点为，到其中一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点， （i）求的值； （ii）过平行于的直线分别交直线、轴于、，记，求实数的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得双曲线的方程； （2）（i）设AB直线方程为，，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，把逐步化简，即可求得本题答案； （ii）把和的直线方程分别求出，联立可求得，进而计算可得结论. 【详解】（1）因为到其中一条渐近线的距离为，所以， 又，所以 ， 所以双曲线的方程为； （2）设直线方程为，则 代入双曲线方程得：. 设，则， （i）， 而 ， 所以，则， 所以； （ii）过平行于的直线方程为 ， 直线方程为与联立 得， 即， 则， 所以， 由两式相除得 ，则， 所以， 因为，所以， 故为线段的中点，即， 所以． 变式3．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【详解】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 考点二 求双曲线中的最值问题 例1．（2026·河北唐山·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点． (1)若焦距为12，求的方程； (2)当时，若，证明：轴； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据焦距为12可得，进而求出，即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及题设可得，进而求出坐标，即可证明； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，令，可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，解得， 所以的方程为. （2）当时，直线的方程为，设， 联立，得， 则 ，且， 而，故，将代入， 整理得，同理， 所以 ，解得（负根舍去）， 则双曲线，则的坐标为， 而方程，即为，解得或，则， 所以轴． （3）当时，双曲线，直线的方程为，设， 联立，得 ， 则， 所以， 将直线与渐近线分别联立得： ， 因为， 令，即， 则， 则，即时，的最大值为，经检验符合题意． 例2．（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； （3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值. 【详解】（1）因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且，所以. 又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. （3）由双曲线的对称性不妨设，， 故，， 故 ，其中， 设，则， 故， 而，故， 注意到，故的最大值为. 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）“八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求曲线和的方程； (2)设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； (3)在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 【答案】(1)方程：；方程： (2) (3) 【分析】（1）使用待定系数法，通过椭圆与双曲线的定义，双曲线的渐近线求解； （2）设直线的方程并与双曲线方程联立，消元，韦达定理，表示弦长，利用三角形的面积求解； （3）利用椭圆方程设点的坐标，使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离最大值求解. 【详解】（1）由题意得： 解得 所以椭圆的方程为： 解得 所以双曲线的方程为：. （2）设直线的方程为， 得，设，， 由韦达定理得：，， 原点到直线的距离为， 则，解得， 所以直线l的斜率为： （3）由（2）知直线的方程为：，不妨取直线的方程为，即， ， 椭圆：，设 则点到直线的距离为： ，其中 ，当时，取最大值为， 所以面积的最大值为：. 变式1．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，设切线，联立方程组利用判别式可求得，进而求得，可证到两边距离相等，可证结论； （2）由（1）可知的方程为，联立方程线求得的纵坐标，进而可求得面积的最大值. 【详解】（1） 设，则满足，又可设切线， 则联立化简得. 由，解得， 所以直线，令，得. 直线的方程为，即， 所以到的距离为. 同理点到直线的距离为. 所以，故平分. （2）由（1）可知的方程为， 联立解得. 联立解得. . 当且仅当时，取等号. 所以的面积， 即面积的最大值为. 变式2．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出基本量后可得双曲线的方程； （2）设点为等腰直角三角形的直角顶点，的斜率为，联立直线方程和双曲线方程后可得的坐标，根据结合在双曲线上可得，从而可用表示的面积，利用换元法结合导数可求面积的最小值. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，因为，，所以， 将点代入方程，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设点为等腰直角三角形的直角顶点， 当的斜率为0时， 因为为等腰直角三角形，所以，无解，不存在这样的点； 设的斜率为，不妨设，且（因为不平行于渐近线），则的斜率为， 联立， 整理可得， 故， 故即即故， 又，即， 则， 同理可得， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以，平方可得， 因为，所以. ， 令，，则， 令，，则，， 当时，，当时，, 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 所以，当且仅当时取等号， 当时，由可得，无解， 同理可得时无解， 故时，，所以面积的最小值为. 变式3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，， (1)求双曲线C的方程; (2)若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点 (i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标; (ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值. 【答案】(1) (2)(i)；(ⅱ)4 【分析】（1）利用已知可得的关系式，求解即可； （2）设，则直线PA的方程为，联立方程组，由根与系数的关系求得的坐标，(i)由已知可得，求解即可；(ⅱ) 直线PB的方程为，与双曲线方程联立方程组求得的坐标，进而求得直线MN的方程，可得直线MN过定点，从而可求得线段OG的最大值. 【详解】（1）由题意得， 所以，， 所以双曲线C的方程为 （2）设，则直线PA的方程为， 由，得， 当时，有，此时直线PA与双曲线的渐近线平行， 故直线PA与双曲线只有一个交点，舍去. 当时，有， 所以，所以， (i)因为，， 由，得， 所以， 即点P的坐标为； (ⅱ)直线PB的方程为， 由，得， 因为，所以，即， 所以， 当时，有，所以MN的方程为； 当时，直线MN的斜率， 所以直线MN的方程为， 即， 所以直线MN恒过定点， 又，所以点G在以HO为直径的圆上， 所以当MN垂直于x轴时，点 G与点H重合， 所以，所以线段OG的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $求双曲线中的参数及范围问题、求双曲线中的最值问题专项训练 求双曲线中的参数及范围问题、求双曲线中的最值问题专项训练 考点目录 求双曲线中的参数及范围问题 求双曲线中的最值问题 考点一 求双曲线中的参数及范围问题 例1．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 例2．（25-26高三下·山东·月考）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 例3．（25-26高二上·山东临沂·期末）已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与交于不同的两点、（异于双曲线的顶点）. (1)求的方程； (2)为双曲线的下顶点，若以为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若、在双曲线的上支，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围. 变式1．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，实轴的左、右顶点分别为、，虚轴的上、下顶点分别为、，且四边形的面积为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线与交于、两点，若，求实数的取值范围. 变式2．（25-26高三上·浙江杭州·期末）设双曲线的右焦点为，到其中一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过的直线交曲线于两点（其中在第一象限），交直线于点， （i）求的值； （ii）过平行于的直线分别交直线、轴于、，记，求实数的值． 变式3．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 考点二 求双曲线中的最值问题 例1．（2026·河北唐山·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点． (1)若焦距为12，求的方程； (2)当时，若，证明：轴； (3)若，求的最大值. 例2．（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）“八百里秦川尘土飞扬，三千万老陕齐吼秦腔”.秦腔脸谱是陕西传统文化的重要符号，其线条刚劲有力.某数学兴趣小组在研究秦腔脸谱中“包拯”额头的月牙图案时，发现其轮廓线可由椭圆与双曲线的部分弧线组合而成.已知曲线是椭圆的上半部分（含端点），曲线是双曲线的右支．已知椭圆的离心率为，且经过点；双曲线的渐近线方程为，且其右焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求曲线和的方程； (2)设F为双曲线的右焦点，过点F且斜率存在的直线l与曲线交于A，B两点.若（O为坐标原点）的面积为，求直线l的斜率； (3)在（2）的条件下，若Q是曲线上的动点，求面积的最大值. 变式1．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点. (1)证明：平分； (2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值. 变式2．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知双曲线C：（，）的离心率为，经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若等腰直角三角形的三个顶点均在双曲线上，求面积的最小值. 变式3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，， (1)求双曲线C的方程; (2)若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点 (i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标; (ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $