求椭圆中的参数及范围问题、求椭圆中的最值问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

求椭圆中的参数及范围问题、求椭圆中的最值问题专项训练 求椭圆中的参数及范围问题、求椭圆中的最值问题专项训练 考点目录 求椭圆中的参数及范围问题 求椭圆中的最值问题 考点一 求椭圆中的参数及范围问题 例1．（2026·山西晋城·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程． (2)不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则． ①证明：直线恒过定点； ②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 例2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 例3．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上的动点. (1)求椭圆的方程； (2)若是钝角，求点横坐标的取值范围. 变式1．（25-26高三上·天津·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，是线段的中点，直线与相交于点． （i）求直线的斜率之积； （ii）求的正切值的取值范围． 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆点A是x轴正半轴上一点，设过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线于点P． (1)若点A的坐标为，且求b的取值范围； (2)若，直线EA垂直于x轴，记直线EM，EP，EN的斜率分别为，问是否存在点A，使得总成等差数列？若存在，求点A的坐标，并加以证明；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 考点二 求椭圆中的最值问题 例1．（2026·广东汕头·二模）设是椭圆的左、右焦点，点是第一象限内上的动点，直线交于点.已知存在点，使得的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)设直线交于点，记分别为的内切圆半径，求的最大值. 例2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知曲线与曲线，椭圆的离心率为，且2是的等比中项． (1)求曲线的方程； (2)若点是曲线上的动点，，过点分别作轴的垂线，，射线分别交于点．坐标平面内动点满足，点的轨迹为曲线． （ⅰ）求证：曲线过定点； （ⅱ）当曲线所围成的平面区域面积最小时，过曲线上的动点作的两条切线、切点分别为，求面积的最大值． 例3．（2026·四川成都·三模）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 变式1．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直． (1)求C的标准方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 变式2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的左、右顶点，直线与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)以线段为直径作圆，点始终在圆内（包括圆周），求的取值范围； (3)过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 变式3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知动点，分别在直线和上，且，为的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，在曲线上，，且的外心在直线上． （i）若直线过点，求直线的方程； （ii）求点到直线距离的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $求椭圆中的参数及范围问题、求椭圆中的最值问题专项训练 求椭圆中的参数及范围问题、求椭圆中的最值问题专项训练 考点目录 求椭圆中的参数及范围问题 求椭圆中的最值问题 考点一 求椭圆中的参数及范围问题 例1．（2026·山西晋城·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程． (2)不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则． ①证明：直线恒过定点； ②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①过定点，证明过程见解析；② 【分析】（1）根据离心率和所过的点，结合得到方程组，求出椭圆方程； （2）①设出直线的方程，联立椭圆方程，根据得到，故恒过点； ②根据比例关系得到各个三角形的面积关系，变形得到关于M，N两点坐标的关系，分两种情况，求出关于的关系式，得到取值范围. 【详解】（1）由题意得，，又， 解得，所以椭圆的标准方程为； （2）①因直线的斜率存在，可设其方程为， 依题意，，否则不满足点在轴上方，点在轴下方， 由点不在直线上，即， 将代入，消去得（*）， ，即， 设，则， 则，， ， 因为，所以， 则，即，解得， 故直线的方程为，恒过点； ②由①得，由可知点为的重心， 连接，则在线段上，且，其中， 因为，所以，， 而，， 故， 因为，则,，， 故 ， 其中，， 故， 因，故（*）可化为，恒成立， 解得， 若，则， 则， ， 因为，所以， 若，则， 则， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 例2．（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆经过点，且椭圆的两个焦点坐标分别为、． (1)求出椭圆的标准方程； (2)若、是椭圆上异于的点，直线、以及轴围成一个以为顶点的等腰三角形． ①求证：直线的斜率为定值； ②求弦长的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①由题可得，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理化简可得出的值； ②求出的取值范围，结合弦长公式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆定义可得 ， 因为，所以，则， 由题，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）①由题可得，从而直线的斜率必定存在， 设、，设直线的方程为， 联立，可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 因为， 即， 即 ， 整理可得， 即， 又因为直线不过点，所以，所以，即； ②由①可知，，由得， 因为，所以，因此的取值范围是. 例3．（25-26高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上的动点. (1)求椭圆的方程； (2)若是钝角，求点横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，结合，解出即可求解； （2）设点，由已知得，利用两点间距离公式得，又，进而求解. 【详解】（1）由题意得：，所以， 又，所以，所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，所以，又， 又因为是钝角，所以， 所以，即①， 又，代入①得，所以， 所以点横坐标的取值范围. 变式1．（25-26高三上·天津·期末）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，过点且斜率存在的直线与椭圆相交于，两点，是线段的中点，直线与相交于点． （i）求直线的斜率之积； （ii）求的正切值的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据离心率和所过点列方程组可求答案； （2）（i）方法一设直线的方程为，方法二设直线的方程为，然后同椭圆方程联立，写出韦达定理，表示出直线的斜率可得答案； （ii）方法一根据直线横截距方程得到利用正切的和角公式，结合韦达定理，表示出目标式，求解最值可得范围.方法二和方法三都是根据直线纵截距方程得到利用正切的和角公式，结合韦达定理，表示出目标式，求解最值可得范围. 【详解】（1）由题意可得 解得， 椭圆的方程为. （2）（i）方法一：由题意可知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 由，联立得， ， 得， 则， 直线的方程为，得， 则. 方法二：设直线的方程为， 联立方程，得， ， 得， ， 直线的方程为，得， 则. （ii）方法一：由（i）方法一可知，， 得，，， 在直角中，， 在直角中，， ， 因为， 所以， ， 所以， 所以的正切值的取值范围是. 方法二：由（i）方法二可知，， 得， 在直角中，， 在直角中，， ， 因为 所以， ， 所以， 所以的正切值的取值范围是. 方法三：由（i）方法二可知，， 得， 在直角中，， 在直角中，， ， 因为， 所以， ， 所以， 所以的正切值的取值范围是.    变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知椭圆点A是x轴正半轴上一点，设过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线于点P． (1)若点A的坐标为，且求b的取值范围； (2)若，直线EA垂直于x轴，记直线EM，EP，EN的斜率分别为，问是否存在点A，使得总成等差数列？若存在，求点A的坐标，并加以证明；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点，证明见解析. 【分析】（1）设点，利用两点间距离公式，结合得，由建立不等式求解即得. （2）假定存在并设出点，按直线l的斜率是否为0分类求出，再由等差数列列式求出即可. 【详解】（1）设点，则，即且， 则 ， 由，得， 由，得，则，解得， 因此，又，解得， 所以b的取值范围是. （2）当时，椭圆， 假定存在点A，使得总成等差数列，设，点， 当直线l斜率不为0时，设直线，则点， 由消去得， ，， 而， 则 ，而， 因此，整理得， 即，又，则，解得，满足， 当直线l斜率为0时，不妨令，而， ，由，得， 又，则，解得， 所以存在点A，使得总成等差数列，点. 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）对取特殊值，即可根据两点距离公式求解，或者利用，结合圆的方程，即可求解，或者结合比例式求解， （2）根据三角形的面积公式，结合向量的坐标运算，将点坐标代入椭圆方程，即可求解①，根据阿波罗尼斯圆的性质，可求解，进而结合点点距离可求解，，即可根据斜率公式求解. 【详解】（1）方法（1）特殊值法，由题意可得， 取，则， 又离心率为且，故，解得， ∴，，椭圆的方程为. 方法（2）设，由题意（常数）， 整理得：， 故，又，解得：，， ∴，椭圆的方程为． 方法（3）设，则． 由题意， ∵为常数，∴，又， 解得：，，故， ∴椭圆的方程为. （2）①由，又， ∴（或由角平分线定理得） 令，则， 设，则有， 又直线的斜率，则， 代入得： ，即， ∵，∴． ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， ，，在以，为定点的阿波罗尼斯圆上， 设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为， 则有，即，解得：, 又，故，∴， 又， ∴， 解得：，， ∴， ∴直线的方程为． 考点二 求椭圆中的最值问题 例1．（2026·广东汕头·二模）设是椭圆的左、右焦点，点是第一象限内上的动点，直线交于点.已知存在点，使得的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)设直线交于点，记分别为的内切圆半径，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分析长度关系，利用计算出正弦、余弦函数值，充分利用三角形面积，最后再用余弦定理解决问题； （2）把的最大值转化求解面积之差的最大值，转化为三角形高的差的最大值，最后转化为点的纵坐标之差的最大值，运用联立方程转化一个关于P的坐标的表达式，通过均值不等式解决问题. 【详解】（1）设，那么 ， 由于，那么 由可知， 所以， 在中，， 即， 解得 或（由于,不满足椭圆的定义，舍去） 所以， 由,可得 所以，， 所以，椭圆的方程. （2）设，那么直线方程为, 直线方程为 令，则直线方程为， 令，则直线方程为， 联立 所以， 联立 所以， 所以， 因为，所以 当且仅当即取等号， 所以，的最大值为. 例2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知曲线与曲线，椭圆的离心率为，且2是的等比中项． (1)求曲线的方程； (2)若点是曲线上的动点，，过点分别作轴的垂线，，射线分别交于点．坐标平面内动点满足，点的轨迹为曲线． （ⅰ）求证：曲线过定点； （ⅱ）当曲线所围成的平面区域面积最小时，过曲线上的动点作的两条切线、切点分别为，求面积的最大值． 【答案】(1)曲线的方程：，曲线的方程：; (2)（ⅰ）见解析过程，过定点； （ⅱ）面积的最大值为 【分析】小问1运用椭圆的几何性质即可求解； 小问2的第1问设好点，利用点M计算出轨迹方程，从而得到定点的坐标； 小问2第2问先运用圆的性质表示出面积，再利用椭圆的性质进行求解. 【详解】（1）解：因为2是的等比中项， 所以 解得， 所以曲线的方程：，曲线的方程：. （2）（ⅰ）设，则直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以， 设，由， 即， 由，得 ， 那么， 化简得 ， 即曲线的方程，经过定点； （ⅱ）因为曲线的方程是圆心在，半径， 所以，，由于，故当时，取最小值， 此时，曲线的方程为即， 设圆心，那么 ， 设，则，那么， 即单调递增，当取最大值时，取最大值. 又，故取最大值时，t取最大值； ，又， 所以， ， 根据二次函数性质可知 ， 所以，， 所以，最大值为. 例3．（2026·四川成都·三模）已知椭圆的左焦点为. (1)求的离心率； (2)为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据椭圆方程直接算离心率； （2）①联立，证明与椭圆相切即可；②先得到点坐标，再求直线，的斜率关系，再利用为定值得到的轨迹方程，表示出进行求解． 【详解】（1）由椭圆知， 故，所以的离心率； （2）①由点在椭圆上，得，则点在直线上， 由，联立消去得， 即， 也即， 将代入上式化简，得， 因为， 故切线的方程为； ②由①知，的方程为，当时，，则得， 由于，故直线的斜率， 由于，故直线的斜率， 又与交于点， 所以， 设，则， 化简得的轨迹方程为， ， 所以当时，的最小值为． 变式1．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直． (1)求C的标准方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)存在，定圆的方程为 (3)，的方程为或 【分析】（1）先根据与轴垂直求出的值，再根据点在椭圆上以及求解出. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用得到之间的关系，再利用原点到的距离为定值从而确定圆的方程. （3）根据三角形的面积公式，其中为定值，利用弦长公式将表示成的函数，然后利用换元法求解出最大值即可. 【详解】（1）因为与轴垂直，所以，， 又点在椭圆上，，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，. 联立得，整理得. ，即. ， ，，即，整理得. 原点到直线的距离，将代入得 故距离为定值，所以存在定圆与直线相切. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，. 联立，，则，. ，得，即直线的方程为， 此时直线与圆相切，符合题意. 综上，存在定圆与直线相切，定圆的方程为. （3）由三角形面积公式得，其中为定值. 当直线的斜率存在时，， 将代入整理得. 令，则. 当时，即（此时）时，有最大值. 此时三角形面积有最大值，最大值为. 此时，代入，得，. 直线的方程为或. 当直线的斜率不存在时，由（2）可得或. 此时，. 综上，面积的最大值为，此时直线的方程为或. 变式2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的左、右顶点，直线与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)以线段为直径作圆，点始终在圆内（包括圆周），求的取值范围； (3)过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】解：当时，直线，令，得，即椭圆的上顶点为，故. 又的周长为，即，又，解得. 所以椭圆的方程为. 由知，，设，直线与椭圆方程联立得， 则 进而可得． 由题意知，对于任意的恒成立，即， 即， 将上面的代入上式，整理得 对于任意的恒成立， 故解得，故的取值范围为. （3）. . 故的最大值为. 变式3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知动点，分别在直线和上，且，为的中点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，在曲线上，，且的外心在直线上． （i）若直线过点，求直线的方程； （ii）求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】1）利用两点间距离公式和中点公式分析即可； （2）（i）设直线方程，联立直线与曲线方程，结合韦达定理求出即可； （ii）方法一：利用点到直线的距离公式以及函数导数与单调性求最值（不含参数）分析求解即可；方法二：利用三角形外心的性质结合韦达定理以及函数导数与单调性求最值（不含参数）分析求解即可. 【详解】（1）设，， 由题得①， 设，则，代入①可得，即， 所以曲线的方程为． （2）如图所示： 由题可设直线方程为，，， 联立得， 则即，，， 由条件中垂线方程为即 ②， 同理可得的中垂线为③， 则由题联立②③消去可得，即（*） （i）由直线过点得，则由（*）可得， 所以直线的方程为； （ii）方法一：， 由可得，， 令，则 设，则， 令，因为，所以解得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，取不到， 所以的最大值为，当时等号取到，即. 方法二：设外心，到、、距离相等得， 化简得， 所以， 则，同理， 、是两根， 则有可得（*）， 由可得，， 令，则 设， 则， 令，因为，所以解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，取不到， 所以的最大值为，当时等号取到，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $