第23章 一次函数 专题一次函数与方程不等式 2025-2026学年人教版八年级数学下册

一次函数专题 一次函数与方程不等式 姓名：______ 班级：______ 考点一：一次函数与一元一次方程 解一元一次方程 kx+b=0 从函数值考虑：相当于在某个一次函数y=kx+b的函数值为0时，求自变量取值。 从函数的图象考虑：相当于已知直线y=kx+b，求它与x轴交点的横坐标。 例1 如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） 例1图 练习1图 A． B． C． D． 练习1 如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 练习2 已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 练习3 如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 练习3图 例2图 例3图 练习4 一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 练习5 把二元一次方程化为的形式为（   ） A． B． C． D． 考点二：一次函数与一元一次不等式 解一元一次不等式 kx+b＞0 或 kx+b＜0 从函数值考虑：相当于在某个一次函数y=kx+b的函数值大于0或者小于0时，求自变量取值范围。 从函数的图象考虑：相当于已知直线y=kx+b，求 这条直线上的点的纵坐标大于0或者小于0时，横坐标的取值范围 例2 已知一次函数的图象如图（4），当自变量时，y的取值范围是__________． 例3 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 练习6 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_____． 练习6图 练习7 图 练习7 如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是________． 考点三：一次函数与二元一次方程组的关系 两个一次函数图像交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； 例4 在平面直角坐标系内，一次函数与正比例函数的图像如图所示，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B．C．D． 例4图 练习8图 练习8：在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． B． D． 练习9 直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． ． 练习9图 练习10图 练习10 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 练习11 已知一次函数与的图象交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解为______． 考点四：一次函数与二元一次方程组的关系 解一元一次不等式，对应的一次函数值大于（小于）另外一个函数的值时，求自变量的取值范围，即一个函数图像上方（或下方）的图象所对应的x取值范围。 例5 如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） 例5图 A. B． C． D． 练习12 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A. B． C. D． 练习12图 练习13 图 练习13 如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） 练习13 图 第1题图 A． B． C． D． 练习14 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 课后小练习 1． 如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A. B． C. D． 2．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 第2题图 第3题图 3．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 第4题图 第5题图 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．关于的不等式的解集，某同学绘制了直线与直线（，为常数，）如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集是_____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数专题 一次函数与方程不等式 姓名：______ 班级：______ 考点一：一次函数与一元一次方程 解一元一次方程 kx+b=0 从函数值考虑：相当于在某个一次函数y=kx+b的函数值为0时，求自变量取值。 从函数的图象考虑：相当于已知直线y=kx+b，求它与x轴交点的横坐标。 例1 如图，直线过点，，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，运用数形结合的思想是解此题的关键．根据直线过点，即可得解． 【详解】解：直线过点， 关于的方程的解是． 故选：B． 练习1 如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 练习2 已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 练习3 如图，一次函数的图象经过点，，则关于的方程的解是（    ） A． B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由一次函数的图象经过点，可得当时，，从而得出答案． 【详解】由条件可知当时，， 方程的解是． 练习4 一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和轴交点的关系，根据已知方程的解确定交点坐标即可． 【详解】解：函数的图象与轴有交点， 此时的， 即， 一元一次方程的解是， 即为该交点的横坐标， 函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：B． 练习5 把二元一次方程化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需通过移项，将的系数化为即可得到结果. 【详解】解：原方程为， 移项得：， 两边同时除以得：． 考点二：一次函数与一元一次不等式 解一元一次不等式 kx+b＞0 或 kx+b＜0 从函数值考虑：相当于在某个一次函数y=kx+b的函数值大于0或者小于0时，求自变量取值范围。 从函数的图象考虑：相当于已知直线y=kx+b，求 这条直线上的点的纵坐标大于0或者小于0时，横坐标的取值范围 例2 已知一次函数的图象如图，当自变量时，y的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用数形结合的方法可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴当自变量时，y的取值范围是． 例3 如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】根据图像确定直线与轴的交点坐标，结合图像在轴下方的部分对应的的取值范围进行求解． 【详解】解：由图像可知，直线与轴的交点为． 当时，．观察图像可知，函数随的增大而增大， 当时，，即． 不等式的解集为． 练习6 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】根据函数图象求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知当时，， ∴不等式的解集是． 练习7 如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解：根据函数图象得，关于的不等式的解集是． 考点三：一次函数与二元一次方程组的关系 两个一次函数图像交点坐标，就是对应二元一次方程组的解； 例4 在平面直角坐标系内，一次函数与正比例函数的图像如图所示，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：∵一次函数与正比例函数的图象的交点坐标为（1，-1）， ∴关于x、y的方程组的解是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 练习8在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． B． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 练习9 直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：将变形为， 直线与直线的图象交于点， 方程组的解为． 练习10 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 练习11 已知一次函数与的图象交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】由两个一次函数图象的交点坐标就是对应两个解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 且二元一次方程组是由两个一次函数的解析式变形得到的， 二元一次方程组的解为． 考点四：一次函数与二元一次方程组的关系 解一元一次不等式，对应的一次函数值大于（小于）另外一个函数的值时，求自变量的取值范围，即一个函数图像上方（或下方）的图象所对应的x取值范围。 例5 如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A. B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再根据图象解答即可求解． 【详解】解：把代入，得， ∴，∴， 由函数图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， ∴不等式的解集为． 练习12 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A. B． C. D． 【答案】A 【分析】不等式的解集，对应直线的图象在直线下方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标判断即可． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，由图可得时，直线的图象在直线下方， ∴的解集为． 练习13 如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 练习14 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点在直线上求出的值，确定交点横坐标，再结合函数图象，找出直线在直线下方部分对应的的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴交点的横坐标为． 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为． 课后小练习 1．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 2．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】图象法求不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 3．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 4．如图，直线和直线相交于点，当时，的取值范围___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，根据函数图像，找出直线在直线下方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】由图像可知，直线 与直线 的交点坐标为， 不等式 即为， 观察函数图像可知，当时，直线 的图像位于直线 的图像下方， 所以的取值范围是． 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．关于的不等式的解集，某同学绘制了直线与直线（，为常数，）如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集是_____________． 【答案】 【分析】先求出两条直线的交点坐标为，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，， 解得， ∴两条直线的交点坐标为， 结合函数图象可得：关于的不等式的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $