1.22完全平方公式（作业设计）-2025-2026学年七年级数学下册（湘教版2024）

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 ---七年级下册第1单元第1.22课《完全平方公式》作业设计 课程基本信息 主备人 朱萍 课型 新授课 学科 数学 年级 七年级 学段 初中 版本章节 湘教版(2024)第一章 作业设计 课标要求 1. 知识与技能：掌握完全平方公式的推导过程、几何意义与结构特征，熟练运用公式进行整式运算和简便计算，规范运算步骤，提升整式运算能力。 2. 过程与方法：经历公式推导、验证、归纳与应用的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学方法，提升归纳推理与代数式变形能力。 3. 核心素养：立足数学运算、逻辑推理、几何直观三大核心素养，通过公式探究与运算训练，夯实学生的推理能力、精准运算能力与数形结合认知能力。 4. 情感与应用：体会乘法公式的简洁性与规律性，养成严谨规范的运算习惯，增强运用公式简化运算、解决实际问题的应用意识。 教材分析 本节课是湘教版（2024版）七年级下册《整式的乘法》的核心重难点内容。本课承接整式乘法、平方差公式等前置知识，是简化整式运算的重要工具，具有极强的承上启下作用。 教材采用“运算推导—几何验证—例题应用—变式拓展”的梯度编排，重视学生自主探究，强调数形结合理解公式本质，避免机械记忆公式，符合初中生认知规律。 完全平方公式是初中代数核心公式之一，是后续因式分解、分式化简、一元二次方程求解、二次函数配方变形的重要基础，贯穿初中代数整体学习过程，是提升学生代数运算能力的关键内容。 本节课教学重点：掌握完全平方公式的结构特征，能熟练进行基础运算。教学难点：理解公式中字母的广义含义，区分完全平方公式与平方差公式，规避漏项、符号错误等典型问题。 学情分析 1. 知识基础：学生已掌握整式加减、幂的运算、多项式乘法及平方差公式，具备基本的整式运算与公式探究能力，为本课学习奠定基础。 2. 认知特点：七年级学生正处于具象思维向抽象思维过渡阶段，擅长具象计算，但对公式抽象结构、字母的广义指代理解不足，容易机械记忆公式，变式迁移与归纳概括能力较弱。 3. 易错痛点：学生高频错误集中在三点：遗漏两倍交叉项、符号运算出错、混淆完全平方公式与平方差公式。同时学生分层明显，基础学生运算粗心，优生缺少公式灵活变形的训练。 4. 学习心理：学生对直接套用的基础题型兴趣较高，但对公式推导、几何验证、综合变式题型存在畏难情绪，需要分层、梯度化练习降低学习难度。 作业设计思路 本次作业立足新课标减负提质、素养导向的理念，结合教材重难点与学生易错点，摒弃机械重复刷题，构建分层、精准、高效的作业体系，实现全员达标、分层提升、素养落地。 1. 分层适配，因材施教：设置基础、提升、拓展三级作业，区分必做与选做，适配学困生、中等生、优等生不同学情，兼顾保底掌握与思维拔高。 2. 靶向设计，突破易错：针对漏项、符号错误、公式混淆三大高频问题设计专项练习，精准击破教学难点，纠正典型错误，培养学生严谨的运算习惯。 3. 素养融合，多维赋能：涵盖基础运算、公式辨析、简便运算、代数式求值、几何应用与探究题型，渗透数形结合、整体代入等数学思想，落实核心素养。 4. 精简高效，严控时长：作业总时长控制在15—20分钟，精选典型习题，去除无效重复内容，搭配少量探究性作业，激发学生思考兴趣。 5. 以练促评，闭环教学：作业兼具检测与诊断功能，可精准暴露学生知识漏洞，为教师课后纠错、个性化辅导提供依据，形成教学闭环。 作业设计内容 （一）基础巩固层（必做，8分钟）——夯实公式基础，规范运算步骤 1、 直接运用完全平方公式填空 （1）(x+3)²=________ （2）(m-2n)²=________ （3）(-a+4)²=________ （4）(2x+5y)²=________ 2、判断题（对的打√，错的打×，并改正错误） （1）(a+b)²=a²+b²（ ） （2）(x-1)²=x²-2x-1（ ） 3、计算题（规范写出推导步骤） （1）(4a-3)² （2）(2x+0.5)² 答案：1、（1）x²+6x+9 （2）m²-4mn+4n² （3）a²-8a+16 （4）4x²+20xy+25y² 2. 判断题（含改正） （1）× 改正：(a+b)²=a²+2ab+b² 易错点：遗漏两倍交叉项2ab，是本节课最典型错误。 （2）× 改正：(x-1)²=x²-2x+1 易错点：常数项平方后为正数，负数平方结果为正，符号判断失误。 3. 计算题（规范步骤） （1）解：(4a-3)²=(4a)²-2·4a·3+3²=16a²-24a+9 （2）解：(2x+)²=(2x)²+2·2x·+()²=4x²+2x+ （二）能力提升层（必做，7分钟）——辨析易错难点，掌握简单变形 1、简便运算（利用完全平方公式简化计算） （1）99² （2）102² 2、公式辨析计算（区分完全平方公式与平方差公式） （1）(x+2)²-(x-2)(x+2) （2）(3m-n)²-(3m+n)² 3、 代数式基础求值：已知a+b=5，ab=3，求(a+b)²的值。 答案：1. 简便运算 （1）解：99²=(100-1)²=100²-2×100×1+1²=10000-200+1=9801 （2）解：102²=(100+2)²=100²+2×100×2+2²=10000+400+4=10404 2. （1）解：原式=(x²+4x+4)-(x²-4)=x²+4x+4-x²+4=4x+8 （2）解：原式=(9m²-6mn+n²)-(9m²+6mn+n²)=9m²-6mn+n²-9m²-6mn-n²=-12mn 3. 解：将a+b=5代入公式，(a+b)²=5²=25 （三）素养拓展层（选做，5分钟）——拓展思维视野，落实核心素养 本层级为拔高题型，包含整体代入求值、几何应用、探究思考，培养学生综合应用能力和数学建模思维，适配优等生。 1. 整体代入求值：已知x-y=4，xy=2，求x²+y²的值。 2. 几何实践应用：一个正方形的边长为(a+2)cm，若边长增加3cm，求正方形面积增加的部分。 3. 探究思考：请结合正方形面积分割的方法，画图验证完全平方差公式(a-b)²=a²-2ab+b²，简要写出推导思路。 答案：1. 解：由完全平方公式变形可得：x²+y²=(x-y)²+2xy 代入x-y=4，xy=2，原式=4²+2×2=16+4=20 2. 解：原正方形面积：S₁=(a+2)²=a²+4a+4 边长增加3cm后，边长为(a+5)cm， 新面积：S₂=(a+5)²=a²+10a+25 增加的面积：S=S₂-S₁=(a²+10a+25)-(a²+4a+4)=6a+21（cm²） 答：正方形面积增加了(6a+21)平方厘米。 3. 探究思考（参考思路） 画图思路：绘制一个边长为a的大正方形，在大正方形内部截取一个边长为(a-b)的小正方形。大正方形面积为a²，减去两个长为a、宽为b的矩形面积2ab，此时多减去了一个边长为b的小正方形面积b²，需补回b²，最终剩余小正方形面积：(a-b)²=a²-2ab+b²，完成公式几何验证。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $