专题06 整式的乘法78道压轴题型专训（13大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题06 整式的乘法78道压轴题型专训（13大题型） 【题型目录】 题型一 幂的混合运算压轴题 题型二 与幂有关运算的新定义问题 题型三 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型五 多项式乘多项式与图形面积 题型六 多项式乘法中的规律性问题 题型七 运用平方差公式、完全平方公式进行运算 题型八 平方差公式与几何图形 题型九 单项式乘多项式的应用 题型十 完全平方公式在几何图形中的应用 题型十一 完全平方式在几何图形中的应用 题型十二 完全平方公式的最值问题 题型十三 乘法公式的新定义问题 【经典例题一 幂的混合运算压轴题】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）（1）若，，求的值； （2）若，，求的值. 2．（2024七年级下·湖南·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 4．（23-24七年级下·湖南常德·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，所以M＝am，N＝an，所以MN＝aman＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M+N），又因为m+n＝logaM+logaN，所以loga（MN）＝logaM+logaN． 解决以下问题： （1）将指数53＝125转化为对数式：　 　． （2）仿照上面的材料，试证明：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）． 6．（23-24七年级下·湖南岳阳·开学考试）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【经典例题二 与幂有关运算的新定义问题】 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）新定义探究题  如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c.例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3. (1)根据上述规定，计算：(3，27)，(4，16)； (2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，试说明：a＋b＝c. 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 9．（24-25七年级下·湖南常德·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 10．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 11．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么．例如：因为，所以，因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______；______． (2)若，则______． (3)在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：． 12．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）数学课外小组的同学发现，很多计算法则逆用时会有神奇的效果．如同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：（其中、为正整数）． 例如：，则； ． 请根据这种新运等解决以下问题： (1)若，则________________； (2)在（1）成立的前提下，当，求的值； (3)若，化简：． 【经典例题三 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 13．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 14．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知甲数为a×10n，乙数是甲数的10倍，丙数是乙数的2倍，甲、乙、丙三数的积为1.6×1012，求a，n的值．（其中，n为正整数） 16．（23-24七年级下·湖南怀化·开学考试）对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 17．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）某公园欲建如图13-2-3所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则为修建该草坪需投资多少元？（单位：米） 18．（23-24七年级下·湖南常德·期中）刚上中学的小明，星期天到爸爸单位参观，发现一位叔叔在检验一批同一包装的产品时，对抽取的5件产品分别称重，记录如下，-1，-2，+3，+1，+2（单位为千克）． （1）如果产品说明书上标明每件产品标准质量为a千克，根据你所学的知识，叔叔记录的“-2”表示什么意思？ （2）如果每件产品标准质量是a千克，则这5件产品称重的总质量是多少？市场上该产品售价是每千克m元，则抽取的这5件产品总价是多少？（均用代数式表示） （3）小明通过叔叔了解到，该产品标准质量，市场上这种产品售价是元每千克，则抽取的这5件产品总价多少元？ 【经典例题四 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 19．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）计算 (1)如果的乘积中不含的一次项，求的值； (2)已知，，求的值． 20．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 21．（2024七年级下·湖南岳阳·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 22．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 23．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是： ，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_________． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求a的值； (3)如果，求的值． 24．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【经典例题五 多项式乘多项式与图形面积】 25．（24-25七年级下·湖南·期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，四个角挖去全等的直角边长分别为和的小直角三角形铁片． (1)计算剩余部分（即阴影部分）的面积； (2)求出当，时的阴影面积． 26．（2024七年级下·湖南·专题练习）[核心素养]如图①，在某住房小区的建设中，为了提供更好的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． (1)求通道的面积； (2)若修建三条宽为米的通道（如图②所示），，剩余草坪的面积为216平方米，求通道的宽度． 27．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式： (1)由图2， 可得等式： ； (2)利用（1） 中所得到的结论， 解决下面的问题： 已知， ， 求的值： (3)如图3，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图4）．求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a、b的式子来表示） ． 28．（24-25七年级下·湖南永州·开学考试）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 29．（24-25七年级下·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 30．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【经典例题六 多项式乘法中的规律性问题】 31．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）（1）填空： ； ； ． （2）猜想： （n为正整数）． （3）求的值． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 33．（23-24七年级下·湖南常德·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 34．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 35．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 36．（23-24七年级下·湖南常德·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 【经典例题七 运用平方差公式、完全平方公式进行运算】 37．（24-25七年级下·全国·期中）观察下列一组等式： (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ① ； ② ； ③ ； (2)计算：． 38．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知：整式，t为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被24整除． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 40．（24-25七年级下·湖南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题． 已知求m，n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (1)已知，求x，y的值． (2)在中，，两条直角边的长分别为a，b，斜边的长为c，若a，b，c满足，则斜边c上的高h的值为__________． 41．（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 42．（24-25七年级下·湖南永州·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【经典例题八 平方差公式与几何图形】 43．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 44．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 45．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 46．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 47．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 48．（23-24七年级下·湖南常德·期末）【教材回顾】苏科版七年级下册数学教材的部分内容： 数学实验室： 在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的（）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？    思路：直接用大正方形面积减去小正方形面积，那么它的面积为 ； 思路：沿虚线将阴影部分剪开拼成图所示的长方形，那么它的面积为 ；由此得到公式 ． 【知识应用】如图，一“”形纸片，其面积为，各边长度如图所示，则 ， ． 【知识迁移】上面是通过不同的方法表示同一图形的面积，从而得出相应的等式．其实，通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成块． （）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ；（等号两边需化为最简形式） （）已知，，利用上面的知识求的值．    【经典例题九 单项式乘多项式的应用】 49．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 50．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 51．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 52．（24-25七年级下·湖南常德·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 53．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）问题提出： 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行()从左向右的第3个数字为m，请用含n的代数式表示m． 问题解决： 小明同学认真观察数阵，经过思考后解决了问题，小明同学分两步解决这个问题 第1步先计算出数阵第行的末尾数字． 第2步再计算出m．请认真分析小明的解题过程并填空． 小明的解题过程： 因为第1行有1个数字是1，第2行有2个数字是2，3，第n行有n个数字， 所以第行应该有个数字，因此前行共有数字个， 所以三角形数阵的第行末尾数字用含n的代数式表示为______(直接填写) 因为第n行()从左向右的第3个数字为m，由此可得：______．(直接填写) 54．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______．    (2)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示）    (3)如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形中，，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为，中草坪铺设面积为，假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现与，间存在某种数量关系，请计算，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．    【经典例题十 完全平方公式在几何图形中的应用】 55．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形的周长为12，分别以和为边向外作正方形，若这两个正方形的面积之和为20，求长方形的面积． 56．（24-25七年级下·湖南常德·期末）如图，军军将边长为（m为正数）的大正方形纸片剪出一个边长为的小正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，设小正方形与长方形的面积分别为． (1)用含有的式子表示，并求出当时，的值． (2)军军研究发现：，本题中，不论取任意正数，的值都不小于．军军的说法正确吗？请说明理由． 57．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）如图是某酒店的一层办公用房的平面图（单位：）（注：图形中的四边形均是长方形或正方形）． (1)用含的式子分别表示会客室的面积为___________，会议厅的面积为___________． (2)如果，会议厅比会客室大多少平方米？ 58．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积． 59．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… (1)直接写出第2025个等式； (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； (3)根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 60．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，我们可以利用整式乘法中公式变形来解决图形问题．我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，，则，而， 所以， 请仿照上例解决下面的问题； (1)若满足，求的值． (2)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，请计算出图中阴影部分的面积之和． 【经典例题十一 完全平方式在几何图形中的应用】 61．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．    (1)用含有a、b的式子表示绿化总面积； (2)若，，求出此时的绿化总面积． 62．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）小思同学学习了教材45页用图来解释完全平方公式．回家后看到家里装修后裁下的瓷砖，他便拣了五块如图所示的瓷砖，其中四块是大小相同的长方形，另外一块是正方形．想利用这些废瓷砖（不再裁）在院子的地面铺个正方形图案，铺好后，发现图案也刚好能解释完全平方公式，你能在网格图中帮小思同学还原他的图案吗？并在下方推导说明对应的完全平方公式．    63．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 64．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 65．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 66．（2024·湖南张家界·三模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形，    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片张，再取型卡片张，还需取型卡片多少张？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值 　 　个． 【经典例题十二 完全平方公式的最值问题】 67．（23-24七年级下·湖南常德·期末）阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题： (1)求多项式的最小值； (2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值． 68．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 69．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______＝（x－_______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由． 70．（23-24七年级下·湖南永州·期末）阅读下面材料并解答后面的问题： 在学了整式的乘法公式后， 小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小丽：能．求解过程如下： ∵，且， ∴，即的最小值是3． 问题： (1)小丽的求解过程正确吗？ (2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程； (3)若，则有最________值（填大或小），请直接写出这个最值是_______． 71．（23-24七年级下·湖南·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 72．（2024·湖南株洲·一模）问题情境： 我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？ 方法探究： 用两条直角边分别为、的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形， 若，可以拼成如图1的正方形，从而得到，即； 若，可以拼成如图2的正方形，从而得到，即． 于是我们可以得到结论：，为正数，总有，且当时，代数式取得最小值为． 另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论． ∵， ∴，， ∴对于任意实数，，总有， 且当时，代数式取得最小值为． 类比应用： （1）对于正数，，试比较和的大小关系，并说明理由． （2）填空： 当时，________． 代数式有最________值为________． 问题解决： （3）若一个矩形的面积固定为，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值，及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由． 【经典例题十三 乘法公式的新定义问题】 73．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 74．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）定义：任意两个数a，b，按规则，扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“吉祥数”． (1)若，，则a，b的“吉祥数”为______； (2)如果，，试说明“吉祥数”c为非负数． 75．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 76．（23-24七年级下·湖南常德·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 77．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    78．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）对于实数a，b，c定义一种新运算，规定 例如： （1）求； （2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积； （3）若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式的乘法78道压轴题型专训（13大题型） 【题型目录】 题型一 幂的混合运算压轴题 题型二 与幂有关运算的新定义问题 题型三 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型四 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型五 多项式乘多项式与图形面积 题型六 多项式乘法中的规律性问题 题型七 运用平方差公式、完全平方公式进行运算 题型八 平方差公式与几何图形 题型九 单项式乘多项式的应用 题型十 完全平方公式在几何图形中的应用 题型十一 完全平方式在几何图形中的应用 题型十二 完全平方公式的最值问题 题型十三 乘法公式的新定义问题 【经典例题一 幂的混合运算压轴题】 1．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）（1）若，，求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）12；（2）27． 【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】（1）当10a=2，10b=3时， 102a+b=（10a）2•10b=22×3=12； （2）当3m=6，9n=2，即3m=6，32n=2时， 32m﹣4n+1=（3m）2÷（32n）2×3=62÷22×3=27． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及同底数幂的乘除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．（2024七年级下·湖南·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可； （3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，代入，即可求解， （2）根据，代入，即可求解， （3）根据两种新定义运算规则，代入后得到：，根据幂的运算法则，整理后，得到，即可求解， 本题考查了，实数的新定义运算，幂的运算，解题的关键是：熟练应用新定义运算法则． 【详解】（1）解：， 故答案为：， （2）解：， （3）解：由题意，得：，则：， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南常德·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 5．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）阅读以下材料： 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，所以M＝am，N＝an，所以MN＝aman＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M+N），又因为m+n＝logaM+logaN，所以loga（MN）＝logaM+logaN． 解决以下问题： （1）将指数53＝125转化为对数式：　 　． （2）仿照上面的材料，试证明：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）． 【答案】（1）3=log5125；（）见解析 【分析】（1）根据题意可以把指数式53＝125写成对数式； （2）先设logaM=x，logaN=y，根据对数的定义可表示为指数式为：M=ax，N=ay，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论． 【详解】解：（1）将指数53=125转化为对数式：3=log5125． 故答案为：3=log5125； （2）证明：设logaM=x，logaN=y， ∴M=ax，N=ay， ∴， 由对数的定义得， 又∵x-y=logaM-logaN， ∴(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0) ． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 6．（23-24七年级下·湖南岳阳·开学考试）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． …… (1)展开式中所有项的系数和是___________ (2)求展开后的结果 【答案】(1)1024 (2) 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类， （1）根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可； （2）先求出，再把上式中的所有的b替换成即可． 【详解】（1）解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 … 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故答案为：1024． （2）由已知得 把上式中的所有的b替换成得， 故答案为：． 【经典例题二 与幂有关运算的新定义问题】 7．（23-24七年级下·全国·课后作业）新定义探究题  如果ac＝b，那么我们规定(a，b)＝c.例如：因为23＝8，所以(2，8)＝3. (1)根据上述规定，计算：(3，27)，(4，16)； (2)记(3，5)＝a，(3，6)＝b，(3，30)＝c，试说明：a＋b＝c. 【答案】(1) (4，16)＝2；(2) a＋b＝c. 【分析】（1）根据已知和同底数的幂法则得出即可； （2）根据已知得出3a=5，3b=6，3c=30，求出3a×3b=30，即可得出答案． 【详解】(1)因为33＝27，所以(3，27)＝3. 因为42＝16，所以(4，16)＝2. (2)因为3a＝5，3b＝6，3c＝30，5×6＝30， 所以3a·3b＝3c，即3a＋b＝3c，所以a＋b＝c. 【点睛】本题考查的知识点是同底数幂的乘法，有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法，有理数的混合运算. 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【答案】(1)96 (2)21 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当时． ． 9．（24-25七年级下·湖南常德·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方的逆运算．根据题意得，，是解题的关键． （1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案． （2）由题意得，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：9； ②∵，即， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，，， 则． 10．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；②2 (2) 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 11．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）规定两个非零数，之间的一种新运算，如果，那么．例如：因为，所以，因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______；______． (2)若，则______． (3)在运算时，按以上规定：设，，请你说明下面这个等式成立：． 【答案】(1)3， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的两数之间的运算法则解答； （3）根据积的乘方法则，结合定义计算； 【详解】（1）解：，， ，， 故答案为：3，； （2）解：∵ ∴， ， 故答案为：； （3）解：设，，， 则，，， ∴， ，即． 【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． 12．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）数学课外小组的同学发现，很多计算法则逆用时会有神奇的效果．如同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数、的一种新运算：（其中、为正整数）． 例如：，则； ． 请根据这种新运等解决以下问题： (1)若，则________________； (2)在（1）成立的前提下，当，求的值； (3)若，化简：． 【答案】(1)125 (2) (3) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （3）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：① ∴ ； 故答案为：125； （2） ， ， ， ， ； （3）， ， ． 【经典例题三 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 13．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 14．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 15．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知甲数为a×10n，乙数是甲数的10倍，丙数是乙数的2倍，甲、乙、丙三数的积为1.6×1012，求a，n的值．（其中，n为正整数） 【答案】a=2,n=3 【分析】根据题意表示出甲乙丙三数，根据之积求出a与n的值即可． 【详解】根据题意得：(a×10n)×(10×a×10n)×(2×10×a×10n) =2a3×103n+2 =1.6×1012， ∵1≤a≤10，n为正整数， ∴2a3=16，即a=2， ∴103n+2=1011，即3n+2=11， 解得：n=3． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则以及科学记数法的要求是解本题的关键． 16．（23-24七年级下·湖南怀化·开学考试）对于一个三位自然数，如果首尾两项和等于中间项的2倍，则称其为等差数．如：123，，则123为等差数；125，，则125不是等差数． （1）试判断246，777是否为等差数； （2）求能被15整除的所有三位等差数的个数，并说明理由． 【答案】（1）246是等差数；777是等差数；（2）有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975；理由见解析 【分析】（1）根据新定义“等差数”的定义判断即可； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为，则a+c=2b，所以a+b+c=3b为3的倍数，进而得出则能被5整除，从而确定个位数c=0或5，然后分类讨论即可得出结果． 【详解】解：（1）∵2+6=2×4， ∴246是等差数； ∵7+7=2×7， ∴777是等差数； （2）设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，等差数为， 则a+c=2b， ∴a+b+c=3b为3的倍数，要使能被15整除， 则能被5整除，即c=0或5， 当c=0时，a=2b，则=210，420，630，840； 当c=5时，a+5=2b， ∴， ，，，， ∴综上所述，能被15整除的等差数有9个：210，420，630，840，135，345，555，765，975． 【点睛】本题主要考查了对整除的理解，理清新定义“等差数”是解答本题的关键． 17．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）某公园欲建如图13-2-3所示形状的草坪（阴影部分），求需要铺设草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，则为修建该草坪需投资多少元？（单位：米） 【答案】平方米；2520元 【详解】解：根据题意可得：草坪的长为7a米，宽为3a米 则S=7a·3a=21（平方米） 21×120=2520 （元） 18．（23-24七年级下·湖南常德·期中）刚上中学的小明，星期天到爸爸单位参观，发现一位叔叔在检验一批同一包装的产品时，对抽取的5件产品分别称重，记录如下，-1，-2，+3，+1，+2（单位为千克）． （1）如果产品说明书上标明每件产品标准质量为a千克，根据你所学的知识，叔叔记录的“-2”表示什么意思？ （2）如果每件产品标准质量是a千克，则这5件产品称重的总质量是多少？市场上该产品售价是每千克m元，则抽取的这5件产品总价是多少？（均用代数式表示） （3）小明通过叔叔了解到，该产品标准质量，市场上这种产品售价是元每千克，则抽取的这5件产品总价多少元？ 【答案】（1）“-2”代表此箱比标准少2kg，为；（2）这5箱总质量为，总价为元；（3）这5件总价6045元 【分析】（1）根据正负数的意义解答即可； （2）分别表示出五件产品的质量，相加即可求出总质量，根据用单价乘以质量数即可求出总价； （3）把，代入代数式即可求解． 【详解】解：（1）“-2”代表此箱比标准少2kg，为， （2）， 元， 答：这5箱总质量为，总价为元． （3）当，时， （元）， 答：这5件总价6045元． 【点睛】本题考查了正负数的意义，整式的加减，求代数式的值，单项式乘以单项式等知识，理解正负数的意义，并表示出各产品的质量是解题关键． 【经典例题四 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 19．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）计算 (1)如果的乘积中不含的一次项，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)3 (2)108 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）先计算，再根据其乘积不含x的一次项，即可得出关于m的等式，解出m即可； （2）逆用同底数幂乘法法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 20．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 21．（2024七年级下·湖南岳阳·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 22．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 23．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）阅读材料：在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：．那么一次项是多少呢？ 要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项系数就是： ，即一次项为．参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为_________． (2)如果计算所得多项式不含一次项，求a的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据给定的方法计算即可； （2）根据给定的方法可得出一次项系数，进一步求解即可； （3）根据给定的方法找出的一次项系数即可． 【详解】（1）解：根据题意，一次项系数为， 故答案为：； （2）根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）的一次项系数为， ， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1)3 (2)是，3 (3)或7或 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； 对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子； 对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是； （3）若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得. 所以m的值为或7或． 【经典例题五 多项式乘多项式与图形面积】 25．（24-25七年级下·湖南·期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，四个角挖去全等的直角边长分别为和的小直角三角形铁片． (1)计算剩余部分（即阴影部分）的面积； (2)求出当，时的阴影面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． （1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可； （2）将，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：当，时， 原式． 26．（2024七年级下·湖南·专题练习）[核心素养]如图①，在某住房小区的建设中，为了提供更好的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道． (1)求通道的面积； (2)若修建三条宽为米的通道（如图②所示），，剩余草坪的面积为216平方米，求通道的宽度． 【答案】(1)平方米 (2)2米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型． （1）根据通道的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可； （2）根据剩余草坪的面积大长方形面积通道的面积，求得剩余草坪的面积，再根据，剩余草坪的面积是216平方米，列出方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：通道的面积为平方米； （2）解： ． ， ． 令，即，解得（负值已舍去）． 答：通道的宽度为2米． 27．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式： (1)由图2， 可得等式： ； (2)利用（1） 中所得到的结论， 解决下面的问题： 已知， ， 求的值： (3)如图3，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（如图4）．求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a、b的式子来表示） ． 【答案】(1) (2)113 (3) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式与几何图形的面积，代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2），， ； （3）由图可知，大长方形的面积为 ， 故阴影部分的面积为 ． 28．（24-25七年级下·湖南永州·开学考试）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式． (1)对于等式，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_________，宽为_________，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和． (2)如图2，试用两种不同的方法求它的面积， 方法1：_________                    方法2：_________ 数学等式：_________ (3)利用（2）中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值． 【答案】(1)， (2)，， (3)19 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键． （1）根据图1即可求出这个大长方形的长与宽； （2）方法1：先求出这个大正方形的边长，再利用正方形的面积公式求解即可得；方法2：根据这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和求解即可得；根据两种方法求出的面积相等即可得出数学等式； （3）将，代入（2）中的数学等式求解即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，这个大长方形的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：方法1：由图2可知，这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为． 方法2：因为这个大正方形的面积等于6个长方形和3个正方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为 ． 数学等式为． 故答案为：，，． （3）解：将，代入得：， 即， 解得． 29．（24-25七年级下·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1)能，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题． （1）按照材料中的竖式方法进行即可； （2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果． （3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案． 【详解】（1）解：能，理由如下： 列竖式如下： （2）解：列竖式如下： 由题意得： ∴且 ∴，， ∴． （3）解：∵长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 而长方形B的周长是A周长的2倍， ∴， ∴， ∴长方形的面积为： ； ∵长方形B的面积比C的面积大76， 长方形的面积为：， ∴， ∴长方形C已知边长的邻边长为：． 30．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． (1)如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (2)若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (3)如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． (4)若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用割补法即可求解； （）延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； 本题整式运算的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（）， ， 故答案为：； （2）解：延长与交于，如图（）， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：延长与交于，延长与交于，如图（）所示， ∵， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：延长与交于，延长与交于，如图（）， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题六 多项式乘法中的规律性问题】 31．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）（1）填空： ； ； ． （2）猜想： （n为正整数）． （3）求的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式规律题，找到规律进行计算是解题的关键． （1）格努多项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）根据（1）的计算结果总结即可． （3）原式乘以，根据等式的规律即可求解． 【详解】解：（1）； ； ． 故答案为：；；； （2）由（1）可知，． 故答案为：； （3） ． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题干信息及规律进行计算即可； （2）把原式化为，再计算即可； （3）把原式化为，再计算即可； 【详解】（1）解：由此我们可以得到：；． （2）解： ； （3）解：    ； 33．（23-24七年级下·湖南常德·期末）计算下列各式，然后回答问题： _______；_______； _______；_______． (1)从上面的计算中总结规律，用公式可表示为： ________； (2)运用上面的规律，直接写出下式的结果： ①_______； ②_______； (3)若成立，且均为整数，则满足条件的k的值可以是_______． 【答案】(1)，，，， (2)①；② (3)19，11，9，，， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则即可得，然后总结规律即可； （2）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得； （3）运用（1）的规律即可得． 【详解】（1）；； ；； ∴； （2）①； ②； （3）∵ ∴， ∵均为整数， ∴当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 当，或，时，； 综上所述，满足条件的k的值可以是19，11，9，，，． 34．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 35．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 【答案】（1）；（2）；（3）系数为80 【分析】本题考查了图形的数字规律： （1）根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； （2）求出n取2，3，4，5时计算结果中第三项的系数，由此得出规律，即可求解； （3）由（2）得：中含的项的系数即为计算结果中第三项的系数，即可求解． 【详解】解：（1）； （2），第三项的系数为； ，第三项的系数为； ，第三项的系数为， ，第三项的系数为， ……， ，第三项的系数为； （3）由（2）得：中含的项的系数是． 36．（23-24七年级下·湖南常德·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． (1)________． (2)的商是________，余式是________． (3)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图3）．另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长（用只含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式乘法和除法；根据题意找出规律是解决此题的关键． （1）根据题意，结合法则找规律计算即可； （2）结合题意，根据多项式除以多项式的法则列竖式计算即可； （3）利用面积关系求长方形的边长即可． 【详解】（1）解：， 用竖式计算如下： 故答案为：； （2）解：．用竖式计算如下， 的商是，余式是， 故答案为：； （3）长方形的周长为：， 长方形的周长为：， ∵长方形的周长是周长的2倍， ， ， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的面积为：， ∴长方形的另一边长为：， ∴长方形的另一边长为：． 【经典例题七 运用平方差公式、完全平方公式进行运算】 37．（24-25七年级下·全国·期中）观察下列一组等式： (1)以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空． ① ； ② ； ③ ； (2)计算：． 【答案】(1)①；②；③； (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，找出其中的规律是解本题的关键． （1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果； （2）先变形，再把一三、二四因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③； （2）原式． 38．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知：整式，t为任意有理数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由； (2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被24整除． 【答案】(1)的值不可能为负数，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的计算，熟记平方差公式是解答的关键； （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式解析计算得出即可求解． 【详解】（1）解：的值不可能为负数，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴的值不可能为负数； （2）证明： ， ∵t是整数， ∴一定能被24整除 ∴当t是整数时，的值一定能被24整除． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解题的关键． （1）根据规定直接计算求值； （2）先利用新定义计算，之后配方成完全平方公式，即可得到答案； （3）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出． 【详解】（1）解：； （2）解：， 是完全平方式， ； （3）解： ， ， ， ， ． 40．（24-25七年级下·湖南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题． 已知求m，n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (1)已知，求x，y的值． (2)在中，，两条直角边的长分别为a，b，斜边的长为c，若a，b，c满足，则斜边c上的高h的值为__________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握非负数的性质、完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出x，y； （2）根据完全平方公式、非负数的性质分别求出，，，再根据得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， 在中，，斜边c上的高h， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 42．（24-25七年级下·湖南永州·期中）春秋时期，孔子有一天对他的弟子们说道：“举一隅，不以三隅反，则不复也．”这句话的意思是说：“教书先生举出一个墙角，学生就应该会独立思考，融会贯通，从而类推到其余三个墙角，然后用三个墙角反证老师先前提出的墙角，如果每个学生都这样学习和思考，教书先生就不用再费力气教学生了”．请阅读下面的解题过程，感受从特殊到一般的数学思想，类比推理解决以下问题． 例题：化简． 解：原式 ． (1)填空：______； (2)化简； (3)运用上面所学内容直接写出下面两题的答案． ______； 若、均为正整数，则______． 【答案】(1)； (2)； (3) ； 【分析】本题考查了平方差公式，读懂题意，理解平方差公式的结构特点是解题的关键． （）根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； （）原式变形后，根据平方差公式即可求解； 原式变形后，根据平方差公式即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 【经典例题八 平方差公式与几何图形】 43．（24-25七年级下·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）． A．            B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)B (2)3 (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是，图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 验证的等式是， 故答案为：B． （2），且， ， 解得：； （3） ． 44．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）珍珍用2张A型卡片、2张B型卡片和1张C型卡片拼成了如图所示的大长方形．其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长方形，C型卡片是边长为b的正方形． (1)请用含a，b的代数式分别表示出B型卡片的长和宽； (2)请用含a，b的代数式表示出拼成的这个大长方形的面积，进行化简；并求当，时该大长方形的面积． 【答案】(1)长为：,宽为： (2)，91 【分析】本题考查了多项式乘多项式、列代数式及代数式求值． （1）结合图形进行分析即可求解； （2）结合（1），利用长方形的面积公式即可求解； 【详解】（1）由题意得：B型卡片的长为：,宽为：； （2）所拼成的长方形的面积为： 当，时， 45．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查正方形的面积公式、平行四边形的面积公式、乘法公式等知识，正确理解图②与图①中的阴影部分面积之间的相等关系是解题的关键； （1）观察图形可知，图①中的阴影部分是边长为的正方形减去边长为的正方形，而图②中的阴影部分是底边长为，高为的平行四边形，所以，； （2）由，得． 【详解】（1）解：，， 理由：图①中的阴影部分是边长为的正方形减去边长为的正方形， ； 图②中的阴影部分是平行四边形，它的底边长为，而它的高为， ． （2）解：图②与图①中的阴影部分的面积相等， ， ． 46．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： (1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； (2)【应用】利用（1）中的结论计算：； (3)【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 47．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片． (1)如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）； A、    B、 C、    D、 (2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题： ①如图2，大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，求不规则四边形的面积； ②计算： 【答案】(1)C (2)①；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差公式以及数形结合思想是解题的关键． （1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，再根据进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可． 【详解】（1）解：图1中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成长为，宽为的长方形，因此面积为， 因此， 故选：C； （2）①设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∵， ∴， ∴ ， 答：不规则四边形BGED的面积为15； ② 48．（23-24七年级下·湖南常德·期末）【教材回顾】苏科版七年级下册数学教材的部分内容： 数学实验室： 在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的（）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？    思路：直接用大正方形面积减去小正方形面积，那么它的面积为 ； 思路：沿虚线将阴影部分剪开拼成图所示的长方形，那么它的面积为 ；由此得到公式 ． 【知识应用】如图，一“”形纸片，其面积为，各边长度如图所示，则 ， ． 【知识迁移】上面是通过不同的方法表示同一图形的面积，从而得出相应的等式．其实，通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成块． （）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ；（等号两边需化为最简形式） （）已知，，利用上面的知识求的值．    【答案】教材回顾：思路：；思路：，；知识应用：，；知识迁移：（）；（）． 【分析】教材回顾：思路：根据图形即可求；思路：根据图形即可求解； 知识应用：根据思路及图形可得方程组，解方程组即可求解； 知识迁移：（）用整体法和用分割法分别表示正方体的体积即可求解；（）把转化为，利用（）的结果计算即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景及应用，立方运算，正确识图是解题的关键． 【详解】解：教材回顾： 思路：由题意可得，图中阴影部分的面积为， 故答案为：； 思路：由题意可得，图中的长方形为，由此得到公式为， 故答案为：，； 知识应用：由思路及图形可得，， 解得， 故答案为：，； 知识迁移：（）正方体的体积用整体法可表示为，用分割法可表示为， ∴可得等式为， 故答案为：； （）∵， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴． 【经典例题九 单项式乘多项式的应用】 49．（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】小聪说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式的乘法和合并同类项，根据题意将代数式展开，将同类项合并即可知小聪说的有道理． 【详解】解：小聪说得有道理． 则此题的结果与a、b无关． 故小聪说得有道理． 50．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，将梯形分成四个三角形：三角形、三角形、三角形、三角形，其中边的长是的2倍，三角形的面积为15，三角形的面积为18，求三角形与三角形的面积之和． 【答案】39 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和代数式的求值． 先设则，的高为a，b，根据题意可知，进而得出梯形的面积，再整体代入求出梯形的面积，然后根据面积的差得出答案． 【详解】解：设则，的高为a，b，根据题意得， 即． 梯形的面积， 所以和的面积之和为． 51．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 【答案】(1)平方米 (2)4平方米 【详解】解：（1）由图可知：厨房长为米，宽为米，这块土地的总面积为： 平方米， 答：这块土地的总面积是平方米． （2）当米，米时，厨房用地面积为： （平方米）． 答：厨房的用地面积为4平方米． 52．（24-25七年级下·湖南常德·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式： （1）仿照题意利用短除法求解即可； （2）仿照题意利用短除法求解即可； （3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案． 【详解】（1）解： ∴商式是，余式是， 故答案为：；； （2）解： ∴； （3）解：∵M是一个整式，m是常数，，， ∴的余数为0， ∴ ∴， ∴． 53．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）问题提出： 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行()从左向右的第3个数字为m，请用含n的代数式表示m． 问题解决： 小明同学认真观察数阵，经过思考后解决了问题，小明同学分两步解决这个问题 第1步先计算出数阵第行的末尾数字． 第2步再计算出m．请认真分析小明的解题过程并填空． 小明的解题过程： 因为第1行有1个数字是1，第2行有2个数字是2，3，第n行有n个数字， 所以第行应该有个数字，因此前行共有数字个， 所以三角形数阵的第行末尾数字用含n的代数式表示为______(直接填写) 因为第n行()从左向右的第3个数字为m，由此可得：______．(直接填写) 【答案】； 【分析】本题是通过观察数阵找规律的题目，关键是找到规律：第n行有n个数字，从而得到前的数字总数，即第行的最后一个数字，从而得到第n行()从左向右的第3个数字，即m的值． 【详解】解：观察数阵，从第1行开始各行分别有整数的个数为：1，2，3，4，5，…，由此发现第n行有n个数； 第行应该有个数字，因此前行共有数字，所以三角形数阵的第行末尾数字用含n的代数式表示为：． 因为第n行()从左向右的第3个数字为m， 由此可得：． 故答案为：；． 54．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______．    (2)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示）    (3)如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形中，，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为，中草坪铺设面积为，假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现与，间存在某种数量关系，请计算，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．    【答案】(1) (2)梯形的面积 (3)总共的草坪铺设面积是；之间的关系为：，，过程见解析 【分析】本题主要考查整式的运算与图形的面积： （1）用二种方式表示出图形面积即可得出结论； （2）由折叠的性质求出的长，从而得出的长，再根据梯形面积公式求解即可； （3）设根据题意得，整理得，再计算梯形面积即可，求出，得，再计算，从而得 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：由折叠得，， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴ （3）解：设设 ∵ ∴ ∴ 整理得， ∴ ， ∴总共的草坪铺设面积为； 之间的关系为：，理由如下： ， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴ 【经典例题十 完全平方公式在几何图形中的应用】 55．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形的周长为12，分别以和为边向外作正方形，若这两个正方形的面积之和为20，求长方形的面积． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式，设长方形的长为x，宽为y，由题意列方程组，利用完全平方公式即可解答． 【详解】解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴长方形的面积是8， 56．（24-25七年级下·湖南常德·期末）如图，军军将边长为（m为正数）的大正方形纸片剪出一个边长为的小正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，设小正方形与长方形的面积分别为． (1)用含有的式子表示，并求出当时，的值． (2)军军研究发现：，本题中，不论取任意正数，的值都不小于．军军的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)军军的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值， （1）根据图形变化前后面积相等求解即可； （2）先将代数式变形成，然后利用的结论进行求证即可； 解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 【详解】（1）由图知， ∴， ∴当时，； （2）军军的说法正确，理由如下， ， 不论取任意正数，总有， ， ∴， 即的值不小于． 57．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）如图是某酒店的一层办公用房的平面图（单位：）（注：图形中的四边形均是长方形或正方形）． (1)用含的式子分别表示会客室的面积为___________，会议厅的面积为___________． (2)如果，会议厅比会客室大多少平方米？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，完全平方公式在几何图形中的应用． （1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出，再根据得到，再将变形为整体代入即可求解． 【详解】（1）解：由图形得，会客室的长为，宽为， ∴会客室的面积为平方米； 会议厅的长为，宽为， ∴会议厅的面积为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：会议厅比会客室大． 58．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)13 (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键． （1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案； （2）根据（1）中的结论，将代入进行计算即可； （3）表示出，再变形整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 59．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律，请观察下列关于正整数的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… (1)直接写出第2025个等式； (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式，并利用整式的运算证明这个结论； (3)根据教材的学习经验，用图形的面积验证代数恒等式是常用的方法，请尝试借助图形的面积验证（2）的结论，具体思路是先将边长为的正方形（如图1）进行适当分割，再在图2处重新画出拼接的图形（要求在图中标出相应线段的长度）． 【答案】(1) (2)用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的乘法，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给的式子即可得解； （2）根据题干所给的式子得出规律即可； （3）根据（2）中的式子将正方形进行分割，再重新拼接即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：第2025个等式为； （2）解：由题意可得：用含n（n为正整数）的等式表示第n个等式为， 左边，右边， ∴左边右边； （3）解：如图所示： ． 60．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，我们可以利用整式乘法中公式变形来解决图形问题．我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，，则，而， 所以， 请仿照上例解决下面的问题； (1)若满足，求的值． (2)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，请计算出图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1) (2)图中阴影部分的面积之和为2900 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． （1）根据题意，设，由材料提示方法，运用完全平方公式变形计算即可求解； （2）根据题意，阴影部分的边长分别为，，由正方形的面积计算公式，完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与都是正方形， ∴， ∵正方形的边长为，，， ∴，， ∴，阴影部分的面积为：， 根据材料提示，设， ∴，， ∴原式． 【经典例题十一 完全平方式在几何图形中的应用】 61．（23-24七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，某区有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为的空白的正方形地块将修建一个凉亭．    (1)用含有a、b的式子表示绿化总面积； (2)若，，求出此时的绿化总面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）阴影部分面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果； （2）把a与b的值代入（1）式计算即可． 【详解】（1）绿化总面积是： ； （2）当，时， 62．（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）小思同学学习了教材45页用图来解释完全平方公式．回家后看到家里装修后裁下的瓷砖，他便拣了五块如图所示的瓷砖，其中四块是大小相同的长方形，另外一块是正方形．想利用这些废瓷砖（不再裁）在院子的地面铺个正方形图案，铺好后，发现图案也刚好能解释完全平方公式，你能在网格图中帮小思同学还原他的图案吗？并在下方推导说明对应的完全平方公式．    【答案】见解析 【分析】将五块瓷砖如图摆放可得，整个图形为正方形，其边长为，根据正方形面积公式，可将整个图形面积表示出来；再根据整个图形面积=四个小长方形面积加上+小正方形面积，也可将整个图形面积表示出来，最后根据两种方法表示面积相等，列出等式，再根据整式的混合运算法则进行推导即可． 【详解】解：如图所示进行摆放，    由图可知，大正方形边长为， ∴大正方形面积； 又∵大正方形面积， ∴， ∵， ∴①的左边， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和几何图形，解题的关键是正确拼出图形，根据图形和整式的混合运算法则推导出完全平方公式． 63．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______． (2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积. 方法①___________；方法②__________． (3)观察图②，试写出，，这三个代数式之间的等量关系______． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是得出等量关系式的关键． （1）由拼图可知，图②阴影部分是边长为的正方形； （2）方法一，直接利用正方形的面积公式表示阴影部分的面积；方法二，从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即可； （3）由（2）的两种方法求阴影部分的面积可得等式； （4）将的变形为：即可求解． 【详解】（1）解：由拼图可知，阴影部分是边长为的正方形， 故答案为：； （2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为； 方法二：从边长为的大正方形减去四个长为，宽为的矩形面积即为阴影部分的面积， 即； 故答案为：，； （3）由（2）的两种方法可得，； 故答案为：； （4）． ，， ． 64．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，原式有最小值是； ， ，原式有最大值是； 并完成下列问题： (1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ． (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)小， (2)①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式有最小值，最小值为； 故答案为小，； （2）解：①由图可得花圃的面积：平方米； ②由①可知：， 当时，，且， 当时，花圃的最大面积为1250平方米． 65．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．    (1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片张，号卡片张，号卡片______张． (3)根据题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①的值为；② 【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用； （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，三者的关系； （2）计算的结果为，因此需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令，从而得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：； 因此有； （2）解：， 需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张， 故答案为：； （3）解：，，， ， ，即的值为； 令， . . . ， . . . ， ， ， 解得． ． ． 66．（2024·湖南张家界·三模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形，    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片张，再取型卡片张，还需取型卡片多少张？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值 　 　个． 【答案】(1)需要卡片张，卡片张，卡片张 (2)要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取型卡片张 (3) 【分析】（1）根据多项式乘以多项式，进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式变形，即可求解； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 【详解】（1）∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）∵A型卡片4张，再取B型卡片1张的面积之和为，且是一个完全平方公式， ∴要用这三种卡片紧瑞拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）依题意，设长方形的边长为， 则 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘法与图形，完全平方公式与图形，熟练掌握多项式乘方法则是解题的关键． 【经典例题十二 完全平方公式的最值问题】 67．（23-24七年级下·湖南常德·期末）阅读材料：在求多项式的最小值时，小明的解法如下：，因为，所以，即的最小值为4．请仿照以上解法，解决以下问题： (1)求多项式的最小值； (2)猜想多项式有最大值还是最小值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)多项式有最大值，最大值为11，理由见解析 【分析】（1）仿照阅读材料，把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：多项式有最大值，最大值为11，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴多项式有最大值，最大值为11． 【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，正确理解题意把给的多项式变形成一个完全平方式与一个数的和或差的形式是解题的关键． 68．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），则　　； 探究问题：（2）已知，则　　； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为2，试求出k的值． 拓展结论：（4）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）9；（4）最大值6 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）把变形为，得出，，然后进行求解即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （3）由得出，根据，是整数，得出，也是整数，求出的最小值为0，的最小值为1，根据S的最小值为2，得出，求出k的值即可； （4）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； （3） ， ，是整数， ，也是整数， ∴的最小值为0，的最小值为1， ∵S的最小值为2， ∴， 解得：； （4）∵， ，即， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 69．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______＝（x－_______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)25，5 (2)的最小值是 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值即可； （3）利用作差法比较大小． 【详解】（1）x2-10x+25=（x-5）2， 故答案为：25，5； （2）x2-8x+2 =x2-8x+16-16+2 =（x-4）2-14， ∵不论x取何值，（x-4）2总是非负数， 即（x-4）2≥0， ∴（x-4）2-14≥-14， ∴当x=4时，x2-8x+2有最小值，最小值是-14； （3）M＞N．理由如下： M-N =4a2+9a+3-（3a2+11a-1） =4a2+9a+3-3a2-11a+1 =a2-2a+4 =a2-2a+1-1+4 =（a-1）2+3， ∵（a-1）2≥0， ∴（a-1）2+3＞0， ∴M-N＞0， ∴M＞N． 【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，因式分解的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 70．（23-24七年级下·湖南永州·期末）阅读下面材料并解答后面的问题： 在学了整式的乘法公式后， 小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？ 小丽：能．求解过程如下： ∵，且， ∴，即的最小值是3． 问题： (1)小丽的求解过程正确吗？ (2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程； (3)若，则有最________值（填大或小），请直接写出这个最值是_______． 【答案】(1)正确 (2)能，的最小值是，过程见解析 (3)大，7 【分析】（1）小丽的求解过程正确； （2）参照小丽的求解过程，构造完全平方公式进行求解即可； （3）参照小丽的求解过程，求出的最值，即可得解． 【详解】（1）解：小丽的求解过程正确； （2）解：能； ； ∵ ∴ 即的最小值是． （3）解： ； ∵， ∴， ∴； ∴有最大值：； 故答案为：大，． 【点睛】本题考查利用完全平方公式求多项式的最值．理解并掌握题干中的解题方法，构造完全平方公式，进行求值，是解题的关键． 71．（23-24七年级下·湖南·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)最大值 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据题干信息直接作答即可； （2）根据完全平方公式的特点解答即可； （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式即可得答案． 【详解】（1）解：①不能分解因式，不是完全平方式； ②，是完全平方式； ③，不能因式分解，不是完全平方式； ④，是完全平方式， 故答案为：②④； （2）∵是一个完全平方式， ∴，解得， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， 即代数式有最大值有最大值，最大值为． 72．（2024·湖南株洲·一模）问题情境： 我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？ 方法探究： 用两条直角边分别为、的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形， 若，可以拼成如图1的正方形，从而得到，即； 若，可以拼成如图2的正方形，从而得到，即． 于是我们可以得到结论：，为正数，总有，且当时，代数式取得最小值为． 另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论． ∵， ∴，， ∴对于任意实数，，总有， 且当时，代数式取得最小值为． 类比应用： （1）对于正数，，试比较和的大小关系，并说明理由． （2）填空： 当时，________． 代数式有最________值为________． 问题解决： （3）若一个矩形的面积固定为，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值，及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）；小；；（3）若一个矩形的面积固定为，它的周长是有最小值，周长的最小值为，矩形的长和宽均为 【分析】（1）根据探究方法中的结论，代入数据即得出结论； （2）先将代数式－2，再＋2，根据探究方法中的结论，代入数据即得出结论； （3）设该矩形的长为，宽为，根据，结合矩形的周长和面积公式即可得出结论． 【详解】探究方法： （1）解：∵当，均为正数时， ∵ ∴， ∴. 类比应用： （2）结合探究方法中得出的结论可知： 当时，，代数式有最小值为. （3）问题解决： 解：设该矩形的长为，宽为， 根据题意知：周长， 且当时，代数式取得最小值为， 此时. 故若一个矩形的面积固定为，它的周长是有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为. 【点睛】本题是以完全平方公式的几何意义为背景的题型，主要考查了正方形面积公式、完全平方公式的展开式，难度不大，由于本题篇幅较长，孩子们很难耐下心来细读，只要读懂题意仿照例题给定方法，套入数据即可得出结论． 【经典例题十三 乘法公式的新定义问题】 73．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“加乘数”． (1)若，，求，的“加乘数”； (2)若，，求，的“加乘数”． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． （1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出（，得到，进而得到c的值； 【详解】（1）当，，时， ； （2）当，时， ∵ ， ∴， ∴， ∴或． 74．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）定义：任意两个数a，b，按规则，扩充得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“吉祥数”． (1)若，，则a，b的“吉祥数”为______； (2)如果，，试说明“吉祥数”c为非负数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的混合运算，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）利用“吉祥数”的运算法则和有理数的混合运算求解即可； （2）利用“吉祥数”的运算法则和整式的混合运算法则，结合完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当，时， a，b的“吉祥数”， 故答案为： （2）解：根据题意，当，， “吉祥数” ， ∵， ∴，即“吉祥数”c为非负数． 75．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算，得出方程求解即可； （2）根据新定义运算求解计算即可； （3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2） ， ． （3）． 理由：， ， ， ． 76．（23-24七年级下·湖南常德·期末）问题提出： （1）数学课上王老师在黑板上写了如下式子： 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： ， 求出 ． 问题解决：（2）请借鉴小丽的方法求出的值． 迁移应用：定义一种新运算：． （3） ． （4）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13；（4） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用，根据材料中的方法正确运用平方差公式是解题的关键．依次按照平方差公式计算即可． （1）依次按照平方差公式计算即可； （2）结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可； （3）按照平方差公式计算即可； （4）由，得，则，……可知，结合题意构造平方差公式的形式进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ； （3）， 故答案为：13； （4）∵， ∴，则，…… ∴， ． 77．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 78．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）对于实数a，b，c定义一种新运算，规定 例如： （1）求； （2）如图，在矩形ABFG和矩形BCDE中，，，，，若，．连接AF和AD，求图中阴影部分的面积； （3）若，求的值． 【答案】（1）15；（2）；（3） 【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则列出方程，得到，运用完全平方公式可得，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得； （3）根据新定义运算法则列出方程，配方得，根据非负数性质可得． 【详解】（1）= 故答案为：15 （2） 又 （3） ， 【点睛】考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$