以一次函数为背景的特殊四边形、特殊三角形存在性问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

以一次函数为背景的特殊四边形、特殊三角形存在性问题专项训练 以一次函数为背景的特殊四边形、特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 以一次函数为背景的特殊四边形存在性问题 以一次函数为背景的特殊三角形存在性问题 考点一 以一次函数为背景的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)若在第一象限内有一点，使得四边形是平行四边形，则点的坐标为______________． (2)若在直线上有一点，平面内有一点，使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10，求点的坐标； (3)在（1）的前提下，若直线与平行四边形的边交于一点，与边交于一点，且平行四边形四个顶点到直线的距离和是，求这条直线的解析式． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． (1)求和的值； (2)如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 变式3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (3)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 考点二 以一次函数为背景的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，． (1)求直线的函数表达式； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求的面积； (3)点是直线上的一个动点，在轴上找一点，连接，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 例2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图在平面直角坐标系中，直线过点，． (1)求直线表达式． (2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点P，Q和封闭图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长、得到图形．若点在图形上或内部，则称点为图形关于点的“位移点”． 已知点、、，正方形的四个顶点分别为，，，． (1)若： ①在中，正方形关于点的“位移点”是___________； ②若在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； (2)若在线段上存在一点，使得点G、H为正方形关于点的“位移点”，且，为以点为直角顶点的直角三角形，直接写出的取值范围． 变式2．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $以一次函数为背景的特殊四边形、特殊三角形存在性问题专项训练 以一次函数为背景的特殊四边形、特殊三角形存在性问题专项训练 考点目录 以一次函数为背景的特殊四边形存在性问题 以一次函数为背景的特殊三角形存在性问题 考点一 以一次函数为背景的特殊四边形存在性问题 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (1)若在第一象限内有一点，使得四边形是平行四边形，则点的坐标为______________． (2)若在直线上有一点，平面内有一点，使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10，求点的坐标； (3)在（1）的前提下，若直线与平行四边形的边交于一点，与边交于一点，且平行四边形四个顶点到直线的距离和是，求这条直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设出点D的坐标，根据平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同列式求解即可； （2）根据平行四边形的性质得到的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5；求出直线的解析式为；可求出，且轴，则；再分两种情况：当点E在点A下方时，，当点E在点A上方时，，据此分别求出点E的纵坐标即可得到答案； （3）过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接，由平行四边形的性质得到，则可证明，进而可证明，根据平行四边形的性质得到，轴，则可证明，进而可求出；求出，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设点D的坐标为， 由题意，、是对角线， 由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得 ， ∴， ∴点D的坐标为； （2）解：∵以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10， ∴的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ∴，且轴， ∴； 如图所示，当点E在点A下方时， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点E的坐标为； 如图所示，当点E在点A上方时， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或； （3）解：如图所示，过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，轴， ∴，轴， ∴， ∴ ∵平行四边形四个顶点到直线的距离和是， ∴， ∴； 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ，即，此时点N的横坐标大于7，不满足点N在上，不符合题意； 当时，，即，此时满足点N在上，点M在上； 综上所述，， ∴直线l的解析式为． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． (1)求和的值； (2)如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，最小值 (3)或 【分析】（1）根据以及点在上求的值，得到点的坐标，将点的坐标代入得到的值； （2）先根据面积关系列方程求点坐标，再利用平移和对称法求折线段最小值； （3）先求点坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，分三种情况讨论点坐标． 【详解】（1）解：点位于上， ， ， 点位于上， ， ， ，． （2）解：连接，，，， ， 设 ，由， ， 解得，则， 设， ，则，取点，连接，如图所示， 则， 且， 过点作关于的对称点， ，， 当且仅当，，三点共线时，原式取最小值． （3）解：， ， 又， ， 过点作的角平分线交线段于点， ∵平分， ， ， ， ∴， ， 又将点沿射线方向平移，， ， ∴， 将代入，得，解得， ， 同理可求得：，，， 设，， ①当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ②当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ③当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ，（舍）． 综上点坐标为或． 例3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【答案】(1)①，；②2 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 或． (3) 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，设．再分、、为对角线三种情况，分别利用平行四边形的性质求解即可； （3）如图：过点A作直线，使得，易得，过D作交于点E，易得，则直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标．再利用平行线的性质、等角对等边可得，设点，然后利用两点间距离列方程求得a的值，可确定点E的坐标，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点和点代入解析式，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为． （2）解：当时，，即． 将 代入得： ，解得． ∴直线的解析式为． 令，得，解得，即． 已知，设． 根据平行四边形的性质，分三种情况讨论： ① 如图：当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ② 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ③ 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． 综上，点E的坐标为或 或． （3）解：如图：过点A作直线，使得，过D作交于点E， ∴， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵， ∴，解得：， ∴，即． 变式3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (3)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，或，见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）先求出，，然后分当点在直线下方时，当点在直线上方时，两种情况求解即可； （）设，，然后分当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴, ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； （3）解：存在，或，理由如下： 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 综上可得：存在，或． 考点二 以一次函数为背景的特殊三角形存在性问题 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图1，直线：与直线交于轴上一点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，． (1)求直线的函数表达式； (2)若线段的垂直平分线与轴交于点，求的面积； (3)点是直线上的一个动点，在轴上找一点，连接，当是以为底边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到，设，则，，由勾股定理得，解方程求出，则； （3）分图3-1和图3-2两种情况，利用一线三垂直模型构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵点在轴正半轴上，， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图所示，∵线段的垂直平分线与轴交于点， ∴， 设，则， 由（1）得，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴； 如图3-1所示，过点E作轴于点H， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴点F的坐标为； 如图3-2所示，过点E作轴于点H， 同理可证明， ∴， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴点F的坐标为； 综上所述，点F的坐标为或． 例2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质以及等面积法求解即可； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵和 ∴ ∵ ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴线段的长为； （3）解：如图： 当时，∵ ∴点的纵坐标为或 ∴或 当时，由于， 则， ∴此时， 综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）如图在平面直角坐标系中，直线过点，． (1)求直线表达式． (2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)Q点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，再将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F， 的长即为的最小值，再求出直线的解析式，即可求得点的坐标，根据，可得点E的坐标； （3）过点M作轴于点F，延长交于点G，设，由点M在线段中垂线上，可得，可得，则，再证明，可得，，再由，即可求解． 【详解】（1）解：（1）设直线表达式为， 将点，代入表达式得， 解得：， ∴直线表达式为． （2）解：如图1，过点C作轴于点D，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F，此时的长即为的最小值， 设直线的解析式为， ∵， ∴，， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时， 点E坐标为，的最小值是． （3）解：如图，过点M作轴于点F，延长交于点G， 设， ∵点M在线段中垂线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴，， ∴， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵延长交于点G，轴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴，， 如图，此时点在下方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 当时，， ∴，， 如图，此时点在上方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 综上所述，Q点坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点P，Q和封闭图形，将图形沿射线方向平移，平移距离为线段的长、得到图形．若点在图形上或内部，则称点为图形关于点的“位移点”． 已知点、、，正方形的四个顶点分别为，，，． (1)若： ①在中，正方形关于点的“位移点”是___________； ②若在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”，直接写出的长的取值范围； (2)若在线段上存在一点，使得点G、H为正方形关于点的“位移点”，且，为以点为直角顶点的直角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2)或 【分析】（1）①将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，则，，，，再判断点与正方形的位置关系，再结合“位移点”的定义即可判断；②根据题意，正方形的边长为2，将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，；将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，；连接、，根据“位移点”的定义可知，点在六边形的内部或边上，再进一步分析求出的长的最小值和最大值，即可得出答案； （2）利用待定系数法可得线段的解析式为，设点的坐标为，其中，将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，，，，进而得出正方形的对角线长为，根据“点G、H为正方形关于点的“位移点”，且”，可知线段为正方形的对角线，再分4种情况讨论点G、H的位置，根据勾股定理列出方程，求出和的关系（或的值），即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①若，则，，，， ∵点， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，如图： ∴，，，， ∵点在正方形的内部， ∴点是正方形关于点的“位移点”； ∵在正方形的外部， ∴点不是正方形关于点的“位移点”； ∵在正方形的边上， ∴点是正方形关于点的“位移点”； 综上，正方形关于点的“位移点”是、； ②由题意得，正方形的边长为2， ∵点、， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，； 将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，； 如图，连接、， ∵在线段上存在一点，使得点为正方形关于点的“位移点”， ∴点在六边形的内部或边上， 当点在线段上，且时，的长有最小值，记此时点为， ∵，，， ∴，， ∴， 又∵点在线段上，， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴的长有最小值； ∵，，， ∴，， ∴， 由图象可知，当点与点或点重合时，的长有最大值； 综上，的长的取值范围为； （2）解：设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵正方形的四个顶点分别为，，，， ∴将正方形沿射线方向平移，平移距离为线段的长，可以得到正方形，且，，，， ∴， 即正方形的边长为2， ∴正方形的对角线长为， 又∵点G、H为正方形关于点的“位移点”，且， ∴线段为正方形的对角线； ①当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， ∵为以点为直角顶点的直角三角形，即， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 即； ②当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：； ③当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：， ∵， ∴， 即； ④当点G与点重合，点H与点重合时， 则，， 同理可得：， ∴， 解得：； 综上所述，的取值范围为或． 变式2．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，直线与坐标轴交于A、B两点，直线：与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点，． (1)用待定系数法求直线的解析式； (2)F是直线上一点，若，求点F的坐标； (3)点P是直线上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先求得点E坐标，C点坐标，从而得出B点坐标，设直线l1的解析式为：，将点E和点B坐标代入，进一步得出结果； （2）作轴于G，交于H，设，则，从而得出，可求得，，进一步得出结果； （3）先求得直线的解析式为：，设，作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接，，从而得出，当时，可求得的解析式，将点Q坐标代入的解析式，从而得出t，进而得出点Q坐标；同样得出当时的结果． 【详解】（1）解：将点代入得， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 作轴于G，交于H， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：如图2-1， ∵，， ∴直线的解析式为：， 设， 作轴，交于G，连接，作轴，交于H，连接， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， 当时， 由得，， ∴， ∴直线的解析式为：， 将点代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 如图2-2， 当时， ∵，， ∴直线的解析式为：， 将代入得， ， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：或． 变式3．（25-26八年级下·上海·月考）一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）先求出点B和点C的坐标，然后分三种情况求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $