一次函数的实际应用问题、一次函数与几何问题综合应用问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

一次函数的实际应用问题、一次函数与几何问题综合应用问题专项训练 一次函数的实际应用问题、一次函数与几何问题综合应用问题专项训练 考点目录 一次函数的实际应用问题 一次函数与几何问题综合应用问题 考点一 一次函数的实际应用问题 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026年东北地区城市足球联赛将于5月23日正式开赛，这一消息传来令广大球迷热情高涨．小轩是一名足球爱好者，他所在的足球俱乐部计划向某学校捐赠A、B两个品牌的足球共65个，以此弘扬足球运动．经市场调查：购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元． (1)求A，B两个品牌足球的单价各多少元？ (2)俱乐部计划购买A品牌足球的总费用不少于B品牌足球总费用的2倍．经与商家协商，在市场价格不变的情况下，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买足球的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 【答案】(1)A品牌足球每个100元，B品牌足球每个80元 (2)当购买A品牌足球40个，购买B品牌足球25个时，所需费用最少，最少为5400元 【分析】（1）设A品牌足球每个x元，B品牌足球每个y元，根据“购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元”列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个，先根据题意求得，设实际付款总金额是w元，再求得w关于a的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A品牌足球每个x元，B品牌足球每个y元， 根据题意得：， 解得， 答：A品牌足球每个100元，B品牌足球每个80元； （2）解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球个， 则， 解得， 设实际付款总金额是w元， 则，即， ∵，w随a的增大而增大， ∴当时，w最小，， 即时，（元）， 答：当购买A品牌足球40个，购买B品牌足球25个时，所需费用最少，最少为5400元． 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在探究“在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系”时，桐桐采用了如图装置进行探究．实验中，她测得的弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量（单位：）的数据如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 弹簧长度 15 17 19 21 23    (1)求弹簧的长度y关于所挂物体质量的函数解析式； (2)当物体所挂质量为时，弹簧的长度是多少？ 【答案】(1) (2)当物体所挂质量为时，弹簧的长度是 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）设与的函数解析式为，将和代入解析式，可得二元一次方程组，解得即可求得一次函数解析式； （2）把代入求得的一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：由表格数据可知，是的一次函数， 设与的函数解析式为， 将和代入解析式，得， 解得， 弹簧的长度y关于所挂物体质量的函数解析式为； （2）解：当时，， 当物体所挂质量为时，弹簧的长度是． 例3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【答案】(1) 购买1套“安心”充电桩需要4万元，购买1套“优电”充电桩需要6万元 (2) 采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元 【分析】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； （2）解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）综合与实践 【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况． 【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系． 【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 … 总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 … (1)请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）． (2)根据以上判断，求关于的函数表达式． 【解决问题】 (3)已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？ (4)若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？ 【答案】(1)作图见解析，一 (2) (3) (4)小时 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描点、连线，通过观察图象特征，判断函数类型． （2）利用待定系数法，结合表格数据求一次函数表达式． （3）将量筒最大容量代入函数表达式，求出对应时间，再计算达到最大容量的时刻． （4）将成年人日饮水量代入函数表达式，求出对应时间，再换算为小时并估算结果． 【详解】（1）解：如图， 由图象可得发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的一次函数关系； （2）解：设关于的函数表达式为（）． 将，代入，得， 将，和代入，得， 解得， ； （3）解：令，则， 解得， 分钟， ∴量筒内的水刚好达到最大容量； （4）解：令，得， 解得， 分钟小时， ∴这个水龙头小时的漏水量可供一个成年人一天饮用． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）首届福建省城市足球联赛“闽超”于2026年4月19日在海峡奥体中心迎来揭幕战，联赛口号为“福聚八闽，爱拼会赢”，福州球迷小王为了宣传家乡福州队，准备印制大量海报为主队加油，其中有两家印刷厂报价． 甲厂收费标准：每份海报收2.5元印刷费，另收6000元的制版费； 乙厂收费标准：每份海报收5元的印刷费，不收制版费． (1)分别写出两个印刷厂的收费、（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． (2)如何选择印刷厂可以节省印刷费用？ 【答案】(1)， (2)当印刷海报数量少于2400份时，选择乙厂节省费用；当印刷海报数量等于2400份时，选择两个工厂费用相同；当印刷海报数量多于2400份时，选择甲厂节省费用 【分析】（1）根据两厂的收费标准求解； （2）分，，三种情况，分别列不等式或方程求解． 【详解】（1）解：根据甲厂收费标准可得 ， 根据乙厂收费标准可得 ； （2）解：分三种情况讨论： 当时，， 解得， 即当印刷海报数量少于2400份时，选择乙厂节省费用； 当时，， 解得， 当印刷海报数量等于2400份时，选择两个工厂费用相同； 当时，， 解得， 当印刷海报数量多于2400份时，选择甲厂节省费用． 变式3．（25-26八年级下·海南·期中）某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【答案】(1)，，且为整数 (2)获利总额的最大值为元，生产A产品60件，B产品20件 【分析】（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意列出函数关系式即可； （2）根据题意可得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得：，且，为整数； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵中， ∴随的增大而增大， ∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元）， ∴（件）， ∴生产A产品60件，B产品20件，获利总额最大，最大总额为元． 考点二 一次函数与几何问题综合应用问题 例1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)求直线的函数解析式； (3)直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； (4)点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可； （2）过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，构造，以及矩形，然后求出点坐标，再由待定系数法求解函数解析式即可； （3）设交轴于点，根据等腰三角形三线合一可得纵坐标互为相反数，继而设参数坐标建立方程求解； （4）过点作轴于点，通过证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，则 ∴ ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形为矩形， ∴， 设， 则 ∴， 解得 ∴， 设直线 代入，，则， 解得， ∴直线； （3）解：如图，设交轴于点， ∵，轴， ∴ 设，则 ∴，解得 ∴； （4）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 过点作轴于点，则， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴将代入，则， ∴ ∴ ∴． 例2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线分别交轴、轴于两点，直线过点，交轴正半轴于点，且 ，点在上，且横坐标为． (1)求的值． (2)过点作轴交于点，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，，确定点 A的坐标为，代入函数解析式即可求解； （2）将代入函数解析式得出点D的坐标为，确定，结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：∵直线交y 轴于点C， 令，得 ，则点 C  的坐标为， ∴. ∵ ， ∴ ∴点 A的坐标为； 将点代入中，得， 解得； （2）由(1)可知，直线的函数表达式为， 将代入中，得， ∴点D的坐标为， ∵ ∴， 根据题意，得点E与点D的纵坐标相同， ∴点E的纵坐标为. ∴． 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． (1)求和的值； (2)如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，最小值 (3)或 【分析】（1）根据以及点在上求的值，得到点的坐标，将点的坐标代入得到的值； （2）先根据面积关系列方程求点坐标，再利用平移和对称法求折线段最小值； （3）先求点坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，分三种情况讨论点坐标． 【详解】（1）解：点位于上， ， ， 点位于上， ， ， ，． （2）解：连接，，，， ， 设 ，由， ， 解得，则， 设， ，则，取点，连接，如图所示， 则， 且， 过点作关于的对称点， ，， 当且仅当，，三点共线时，原式取最小值． （3）解：， ， 又， ， 过点作的角平分线交线段于点， ∵平分， ， ， ， ∴， ， 又将点沿射线方向平移，， ， ∴， 将代入，得，解得， ， 同理可求得：，，， 设，， ①当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ②当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ③当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ，（舍）． 综上点坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． (1)求证：； (2)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】（1）利用旋转的性质，和证明即可； （2）先求出点坐标，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标，然后分别以为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：存在， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴，， 设，， 以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情况： ①当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ②当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ③当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，并标明自变量的取值范围； (2)若的面积记为，试求关于的函数关系式； (3)如果的面积等于，请直接写出点的坐标和的形状． 【答案】(1) (2) (3)，等腰直角三角形 【分析】（1）通过两点坐标求出直线的解析式，得到与的关系； （2）以为底、的纵坐标为高，列面积公式得到与的关系； （3）代入面积值求出和点的坐标，再用勾股定理的逆定理判断三角形形状． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将点，代入， 可得， 解得， 故关于的函数关系式为． （2）解：设点的坐标为， ， ． （3）解：的面积等于， 则， 解得，则点的坐标为， 可得，， ， 由，可得， 故是等腰直角三角形． 变式3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质以及等面积法求解即可； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵和 ∴ ∵ ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴线段的长为； （3）解：如图： 当时，∵ ∴点的纵坐标为或 ∴或 当时，由于， 则， ∴此时， 综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数的实际应用问题、一次函数与几何问题综合应用问题专项训练 一次函数的实际应用问题、一次函数与几何问题综合应用问题专项训练 考点目录 一次函数的实际应用问题 一次函数与几何问题综合应用问题 考点一 一次函数的实际应用问题 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026年东北地区城市足球联赛将于5月23日正式开赛，这一消息传来令广大球迷热情高涨．小轩是一名足球爱好者，他所在的足球俱乐部计划向某学校捐赠A、B两个品牌的足球共65个，以此弘扬足球运动．经市场调查：购买A品牌足球2个，B品牌足球5个，共需600元；购买A品牌足球4个，B品牌足球1个，共需480元． (1)求A，B两个品牌足球的单价各多少元？ (2)俱乐部计划购买A品牌足球的总费用不少于B品牌足球总费用的2倍．经与商家协商，在市场价格不变的情况下，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买足球的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用． 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在探究“在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系”时，桐桐采用了如图装置进行探究．实验中，她测得的弹簧的长度y（单位：）与所挂物体的质量（单位：）的数据如下表所示： 所挂物体质量 0 1 2 3 4 弹簧长度 15 17 19 21 23    (1)求弹簧的长度y关于所挂物体质量的函数解析式； (2)当物体所挂质量为时，弹簧的长度是多少？ 例3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 变式1．（25-26八年级下·北京·期中）综合与实践 【发现问题】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费，某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况． 【提出问题】小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）与时间（分钟）的函数关系． 【分析问题】小明每隔分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间x（分钟） 0 1 2 3 4 … 总水量y（毫升） 5 10 15 20 25 … (1)请根据表格中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象，根据图象发现容器内总水量（）与滴水时间（）符合学习过的 函数关系（选填正比例或一次）． (2)根据以上判断，求关于的函数表达式． 【解决问题】 (3)已知所用量筒的最大容量为，如果小明从上午开始计时，那么什么时候量筒内的水刚好达到最大容量？ (4)若一个成年人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头几小时的漏水量可供一个成年人一天饮用？ 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）首届福建省城市足球联赛“闽超”于2026年4月19日在海峡奥体中心迎来揭幕战，联赛口号为“福聚八闽，爱拼会赢”，福州球迷小王为了宣传家乡福州队，准备印制大量海报为主队加油，其中有两家印刷厂报价． 甲厂收费标准：每份海报收2.5元印刷费，另收6000元的制版费； 乙厂收费标准：每份海报收5元的印刷费，不收制版费． (1)分别写出两个印刷厂的收费、（元）与印刷数量x（份）之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）． (2)如何选择印刷厂可以节省印刷费用？ 变式3．（25-26八年级下·海南·期中）某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． (1)写出与之间的函数表达式； (2)若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 考点二 一次函数与几何问题综合应用问题 例1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，中a，b满足，C为x轴正半轴上一点，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)求直线的函数解析式； (3)直线：交于点D，P为线段上一动点，过点P作轴，交直线于点Q，若，求点P的坐标； (4)点G为y轴负半轴上一点，于点H，若，求点G的坐标． 例2．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线分别交轴、轴于两点，直线过点，交轴正半轴于点，且 ，点在上，且横坐标为． (1)求的值． (2)过点作轴交于点，连接，求四边形的面积． 例3．（25-26八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． (1)求和的值； (2)如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 变式1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． (1)求证：； (2)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，已知为等腰直角三角形，点、分别是边、上的点，，．建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，解答下列问题： (1)求关于的函数关系式，并标明自变量的取值范围； (2)若的面积记为，试求关于的函数关系式； (3)如果的面积等于，请直接写出点的坐标和的形状． 变式3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的表达式． (2)如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． (3)若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $