.10.2.2加减消元法精析精练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

2025-2026人教版七年级数学下精析精练 10.2.2加减消元法 1. 利用加减消元法解二元一次方程组 1．已知有理数x，y满足，则xy的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．在等式中，当时，；当时，；则当时，y的值是______． 3．解方程组 4．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 5．已知方程组和方程组解相同，求的值． 2. 已知二元一次方程组的解求参数 1．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解，同时也是方程的解，则____． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 4．阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 5．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 3. 构造二元一次方程组求解 1．根据，可得，，则______． 2．若单项式与是同类项，__________． 3．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 4．在等式中，当时，；当时，，则_______， _______． 5．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式的值，则的值为______． x 0 1 2 2 5 8 4. 方程组的解与解方程组综合应用 1．已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 2．已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 3．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 4．解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 5．【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 1．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 2．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 3．如图，，是的平分线，和的度数满足方程． (1)求和的度数； (2)求证：； (3)求的度数． 4．【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 5．已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 6．关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 7．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 8．【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______．9．已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 10．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 1．综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 2．综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 3．综合与实践 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“平面直角坐标系中点的变换”主题下设计的问题，请你解答． 观察发现 （1）在平面直角坐标系中，将点变换为（k，b为常数），我们把这种变换称为“k变换”．当时，点经过“k变换”得到的点的坐标为________． 探究迁移 （2）已知点，，经过“k变换”的对应点分别是，，．若点，且，，求的值． 4．综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得__________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下精析精练 10.2.2加减消元法（解析版） 1. 利用加减消元法解二元一次方程组 1．已知有理数x，y满足，则xy的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题利用非负数的性质，多个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组，求解x，y后计算即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴， 将两个方程相加，得，解得． 把 代入，得，解得． ∴． 2．在等式中，当时，；当时，；则当时，y的值是______． 【答案】1 【分析】根据已知的两组对应值列出二元一次方程组，求出的值，得到等式，再将代入等式即可求出的值． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，． 3．解方程组 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，可选用加减消元法进行求解，掌握消元法的步骤即可正确解答． 【详解】解： 由 ，得 ， 解得： ； 把代入①，得 ， 解得： ； ∴方程的解为：． 4．下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1）消元；等式的性质 （2）二 （3） 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 5．已知方程组和方程组解相同，求的值． 【答案】 【分析】联立两方程组中不含与的方程形成新的方程组，求解新方程组得到与的值，代入剩下的方程求出与的值，最后代入所求代数式求解即可． 【详解】解：方程组和方程组解相同， 方程组和方程组解相同， ， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 将代入方程组得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ． 2. 已知二元一次方程组的解求参数 1．若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 2．已知关于x，y的二元一次方程组的解，同时也是方程的解，则____． 【答案】 【分析】先根据方程组得出，再根据得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得：， ∴k的值为． 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【答案】3 【详解】解：， 由②得， 将代入①得， 整理得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数， ∴或， 解得或或13或， ∵k为正整数， ∴或或13，共3个． 4．阅读理解： 【知识背景】在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵． 例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为______； (2)二元一次方程组写成矩阵形式为，则______，______； (3)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了矩阵的定义，二元一次方程组的解，以及代数式求值等知识，理解矩阵的定义是解题的关键． （1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）先移项，然后根据矩阵的定义即可得出答案． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：二元一次方程组即写成矩阵形式为 ∴ （3）∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． 5．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数，已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解x，y互为相反数，求m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求和新定义可得，解方程组得到，根据相反数的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入②得，解得， ∴关于x、y的方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴． 3. 构造二元一次方程组求解 1．根据，可得，，则______． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，进而即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∴， 得： 解得， ∴． 2．若单项式与是同类项，__________． 【答案】 【分析】根据同类项的概念，同类项中相同字母的指数相等，据此列出方程，求出和的值，再计算即可． 【详解】解：与是同类项， ， 解得， 则． 3．对于有理数、，定义新运算：，其中、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于常数、的二元一次方程组，解方程组得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简已知条件得， 解得， 则． 4．在等式中，当时，；当时，，则_______， _______． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，再使用加减消元法解方程即可． 【详解】解：根据题意可得方程组：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为，即，． 5．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式的值，则的值为______． x 0 1 2 2 5 8 【答案】6 【分析】本题考查了求代数式的值，解二元一次方程组．根据表格数据，选取和时的对应值，代入整式中，解方程组求m和n的值，再计算． 【详解】解：由表格可知，当时，，即， 解得； 当时，，即， 代入，得， 解得． 因此． 故答案为：6． 4. 方程组的解与解方程组综合应用 1．已知关于的方程组的解满足，则关于的方程组的解为___________． 【答案】 【分析】通过设，把关于的方程组转化为已知解的关于的方程组，再解关于的方程组得到答案． 【详解】解：方程组可变形为， 令， 则关于的方程组可转化为， 已知原方程组的解是， ∴，解得． 2．已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解， 解方程组，得， 将代入另外两个方程得：，解得， ∴． 3．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于，的二元一次方程组的解为那么关于、的二元一次方程组的解为：____________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 (3)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的二元一次方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则所求方程组可化为，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 故方程组的解为； （3）解：设，，则可化简得， 关于，的二元一次方程组的解为， 的解，即有， 解得：． 故方程组的解为：． 4．解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解得， r， 解得， 即：方程组的解为； （2）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 5．【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用“换元法”解二元一次方程组． （1）设，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，求出方程组的解，进一步求解即可； （2）令，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，进一步求解即可． 【详解】解：（1）设， 则方程组变为：， ∵的解是， 解得， 解得； （2）整理方程组得， 令， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴， 解得． 1．甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 2．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法比较简单： 得：，即③ 得：④ 得：，，代入③得． 所以这个方程组的解是． (1)请你运用小明的方法解方程组． (2)规律探究：猜想关于，的方程组，的解是______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得，再运用题目中的方法求解此方程组； （2）先得，再运用题目中的方法求解此方程组． 【详解】（1）解：， 得：，即， ：， 得，， 把代入得， 所以这个方程组的解是； （2）解： 得：， ∴， ∵， ∴， 得：， 得，， 把代入得， 这个方程组的解是． 3．如图，，是的平分线，和的度数满足方程． (1)求和的度数； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）证明，根据即可证明； （3）根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：，得， ， 代入①得； （2）证明：∵，， ∴ ， ， ； （3）解：是的平分线， ， ∵， ， ． 4．【阅读理解】 （Ⅰ）《九章算术》在方程方面的研究颇有建树．下图所示的算筹图呈现了两个二元一次方程组，把它们写成我们现在的方程组是与   （Ⅱ）对于二元一次方程组，我们可以将的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得该方程组的解为 例：用数表求解二元一次方程组的过程如下： 所以原方程组的解为 【解决问题】 (1)直接写出如图表示的关于x，y的二元一次方程组：________；    (2)分别按照常规方法和数表求解（1）中你写出的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，后面的数是等号右边的常数项，且一个短竖算筹表示1，一个短横算筹表示10”，短竖算筹和短横算筹构成的数，短横算筹表示5，一个短竖算筹表示1，它们的和就是该数，解得即可； （2）用加减消元法和数表法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一个方程中，x的系数为1，y的系数为5，常数项是17，第二个方程中，x的系数为1，y的系数为2，常数项是14， 故方程组为：； （2）解：常规方法： ，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 故原方程组的解为 数表： 所以原方程组的解为 5．已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 6．关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解___________（填“是”或“不是”）“友好关系”； (2)方程组的解与是否具有“友好关系”，请说明理由； (3)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)具有“友好关系”；理由见解析 (3)2 【分析】（1）根据方程组的解得 ，可判定不是“友好关系”； （2）先求方程组的解，再计算看是否满足，求解即可； （3）两式相减，再根据定义，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，不具有“友好关系”； （2）解：与具有“友好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，， 将代入①得，， ， ， 与具有“友好关系”； （3）解：， 由得，， 与具有“友好关系”， ， 解得，， 的值为2． 7．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【详解】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 8．【知识累计】解方程组 解：设，，原方程组可变为 解得：．所以，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： (2)【能力运用】已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程组整体换元法，熟练掌握该方法是解题的关键． （1）仿照题干，设、，原方程组可变为，解方程组，再得到原方程组的解即可； （2）设、，根据题意可得到，解方程即可． 【详解】（1）解：设、， 原方程组可变为， 解得：， 所以， 解得； （2）解：设、， 原方程组可变为， 关于，的方程组的解为， ， 解得， 方程组的解为． 9．已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． (1)用的代数式表示该方程组的解； (2)若该方程组的解满足，求的值； (3)已知，求的最小值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)； (3)时，的最小值为． 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边同乘2后与第二个方程相加，消去未知数，求出关于的代数式，再将代入原方程，求出关于的代数式，从而得到方程组的解。 （2）将（1）中得到的、关于的代数式代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值。 （3）将、关于的代数式代入，得到关于的二次函数，再通过配方法将二次函数化为顶点式，利用平方的非负性求出的最小值及对应的的值。 【详解】（1）解：， ，得：，解得：， 将代入②，得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：∵该方程组的解满足， ∴，解得：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴时，的最小值为． 10．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 1．综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 【答案】（1）；（2）③；（3） 【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）先根据表格中的值，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，即可求出二元一次方程，再将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于c、d的二元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，， ∴ 解方程组得， ∴二元一次方程为， 当时，， 故； （2）解：∵方程为：， ∴①当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故①不符合题意； ②当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故②不符合题意； ③当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵在范围内， 故③符合题意； （3）解：二元一次方程中，当，时，方程为； 当，，方程为； ∴， 解方程组得， 则方程为，即， ∴方程组为：， 解方程组得． 2．综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）当时，化成具体方程组，解答即可． （2）求得原方程组的解，结合，求k的值即可． （3）根据，把方程组进行化简，后根据题意，解方程组即可． 本题考查了解方程组，方程组看错问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组变形为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为． （2）解：方程为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 故方程组的解为． 由得， 解得． （3）解：根据题意，得， 故方程组变形为， 整理，得， 根据题意，方程组的解为，方程组的解为， 故； 解得， 此时方程组变形为， 解得， 故． 3．综合与实践 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“平面直角坐标系中点的变换”主题下设计的问题，请你解答． 观察发现 （1）在平面直角坐标系中，将点变换为（k，b为常数），我们把这种变换称为“k变换”．当时，点经过“k变换”得到的点的坐标为________． 探究迁移 （2）已知点，，经过“k变换”的对应点分别是，，．若点，且，，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了坐标变换、二元一次方程组的应用、坐标与图形、代数式求值等知识点，掌握“k变换”的定义以及正确列出关于m、n的方程组成为解题的关键． （1）直接根据“k变换”的定义求解即可； （2）先根据“k变换”的定义求得，即；进而求得点B、、；由题意可知轴，点M，N的横坐标相等，易得①；再说明②，由①②得到关于m、n的方程组求解，然后求出的值即可． 【详解】解：（1）由“k变换”可知：，即 （2）∵点经过“k变换”的对应点是， ∴，解得：， ∴点经过“k变换”得到点． ∵点经过“k变换”的对应点是， ∴，解得：， ∴，，， ∴点B的坐标为，点的坐标为， ∴点经过“k变换”的对应点是． ∵，点， ∴轴，点M，N的横坐标相等， ∴①， ∴，． ∵， ∴MN=8． ∴②． 联立①②，得或， 解得或． ∴或． 4．综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为__________，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得__________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】解：（1）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得； （3）方程组可化为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $