分式与分式方程：分式的化简求值问题、分式的实际应用问题专项训练-2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

分式与分式方程：分式的化简求值问题、分式的实际应用问题专项训练 分式与分式方程：分式的化简求值问题、分式的实际应用问题专项训练 考点目录 分式的化简求值问题 分式的实际应用问题 考点一 分式的化简求值问题 例1．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：化简： ， 把代入计算，原式． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 把代入：原式 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 例4．（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ． 当时，原式． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·月考）化简与求值 (1)分式化简：； (2)先化简，再求值：，其中从、0、中选取恰当的数． 【答案】(1) (2)，当时，原式；当时，原式 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式；当时，原式． 变式2．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】 【详解】解： ， 当，2时，分式无意义，所以， 当时，原式． 变式3．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】，2027 【详解】解： ， 当时，原式． 变式4．（25-26八年级下·宁夏吴忠·月考）化简求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 考点二 分式的实际应用问题 例1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】(1)①，；②，； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； （2）证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3）证明：，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 例2．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 例3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 变式1．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 变式2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）随着外卖行业的快速发展，送餐效率成为影响用户体验的关键因素．某校初二数学兴趣小组对两种常见的送餐速度规划方式进行数学分析，通过计算比较两位外卖员的送餐总时间，筛选出更高效的送餐方案，为骑手配送提供参考． 活动主题 两位外卖员不同送餐方式下的总时间比较 活动准备 1．知识准备：分式的化简与加减运算；2．工具准备：草稿纸、计算器；3．设定前提：单次送餐的全程路程为定值，忽略红绿灯、路况拥堵等额外影响因素，仅考虑速度与路程、时间的数学关系． 活动计划 甲外卖员：先用的速度走完全程的一半，再用的速度走完剩余的一半路程；乙外卖员：先用的速度走完全程时间的一半，再用的速度走完另一半时间． 确定思路 1．利用公式，分别列出甲，乙两人走完全程所用时间的代数式； 2．采用作商法比较两个代数式的大小，从而判断两人所用时间的大小； 3．结合计算结果，得出配送效率的最优方案． 根据以上信息，回答下列问题： (1)用含，，的式子分别表示甲，乙两位外卖员的送餐时间； (2)哪个外卖员的走完全程所有的时间最少？ 【答案】(1) 甲外卖员的送餐时间为，乙外卖员的送餐时间为 (2) 乙外卖员走完全程所用的时间最少 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确地列出代数式是关键． （1）根据行程问题公式列代数式即可； （2）采用作商法比较两个代数式的大小，从而判断两人所用时间的大小． 【详解】（1）解：对于甲外卖员： 前半段路程时间为 ， 后半段路程时间为 ， ； 对于乙外卖员： 设总时间为，则前半段时间走的路程为，后半段时间走的路程为， 总路程， ； （2）解： ， ，且 ，， ， ， ， ，即， 乙外卖员走完全程所用的时间最少． 变式3．（25-26九年级上·北京·月考）实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 【答案】数据计算：，；实验结论：二；推广证明：方案更好，计算见解析 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． 数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算即可： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算，然后比较即可． 【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，； 实验结论：， ∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少， ∴方案二的漂洗效果最好． 故答案为：二； 推广证明：方案A结果： 方案B结果： 方案更好 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $分式与分式方程：分式的化简求值问题、分式的实际应用问题专项训练 分式与分式方程：分式的化简求值问题、分式的实际应用问题专项训练 考点目录 分式的化简求值问题 分式的实际应用问题 考点一 分式的化简求值问题 例1．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）先化简，再求值：，其中． 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 例4．（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·月考）化简与求值 (1)分式化简：； (2)先化简，再求值：，其中从、0、中选取恰当的数． 变式2．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 变式3．（25-26八年级下·山东济南·期中）先化简，再求值：已知，求的值． 变式4．（25-26八年级下·宁夏吴忠·月考）化简求值：，其中． 考点二 分式的实际应用问题 例1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 例2．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 例3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 变式1．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 变式2．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）随着外卖行业的快速发展，送餐效率成为影响用户体验的关键因素．某校初二数学兴趣小组对两种常见的送餐速度规划方式进行数学分析，通过计算比较两位外卖员的送餐总时间，筛选出更高效的送餐方案，为骑手配送提供参考． 活动主题 两位外卖员不同送餐方式下的总时间比较 活动准备 1．知识准备：分式的化简与加减运算；2．工具准备：草稿纸、计算器；3．设定前提：单次送餐的全程路程为定值，忽略红绿灯、路况拥堵等额外影响因素，仅考虑速度与路程、时间的数学关系． 活动计划 甲外卖员：先用的速度走完全程的一半，再用的速度走完剩余的一半路程；乙外卖员：先用的速度走完全程时间的一半，再用的速度走完另一半时间． 确定思路 1．利用公式，分别列出甲，乙两人走完全程所用时间的代数式； 2．采用作商法比较两个代数式的大小，从而判断两人所用时间的大小； 3．结合计算结果，得出配送效率的最优方案． 根据以上信息，回答下列问题： (1)用含，，的式子分别表示甲，乙两位外卖员的送餐时间； (2)哪个外卖员的走完全程所有的时间最少？ 变式3．（25-26九年级上·北京·月考）实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水． 若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ； 实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）． 推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗． 方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中； 方案B：第一次和第二次都用斤清水． 请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $