1.1集合 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素特性、集合关系、运算等高考高频内容，以知识清单系统梳理基础概念，结合常用结论构建知识网络，通过考点分析、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破元素互异性、子集关系等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出考教衔接与分层教学特色，如例2链接2023新高考Ⅱ卷集合包含关系题，引导学生用数学思维推理参数取值，例4结合子集性质求参数培养符号语言表达能力。设置自主诊断、跟踪训练等分层练习，配合学霸笔记总结解题策略，助力学生在有限时间内提升抽象能力与应考技巧，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第一节　集合 知识清单 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：________、________、________． (2)元素与集合的关系：①属于，记为________；②不属于，记为∉. (3)集合的表示方法：________、________、Venn图法． (4)常见数集的记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ________ ________ ______ ________ ________ 2.集合间的基本关系 关系 文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) ________ 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 ________ 相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ________ 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅ 3.集合的基本运算 运算 运算表示法 集合语言 图形语言 记法 并集 ________ ________ 交集 ________ ________ 补集 ________ ________ 【常用结论】 1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. 2．A⊆B，A＝A，A＝B，∁UB⊆∁UA以及∁U A∩(∁UB)＝∅两两等价． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1){0，2，1}和{0，1，2}是同一个集合．(　　) (2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}．(　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　) (4){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) 2．已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则(　　) A．1∉M B．－1⊆M C．{－1，1}⊆M D．{－1，1}∈M 3．(人教A版必修一P14T4改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A＝________，(∁RA)＝________． 4．(人教A版必修一P14T6改编)已知全集U＝＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩ (∁UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　集合的含义与表示 例1 (1)(2026·宣城期末)已知集合A＝{0，4，a2}，B＝{0，4，3a－2}，若A＝B，则a的值是(　　) A．1或2 B．－1或0 C．1 D．－1 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则a＝________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面利用互异性能顺利地找到解题的切入点；另一方面当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确． 　跟踪训练　(1)(2026·沧州模拟)已知集合A＝{x|x3－8<0}，则(　　) A．1∈A B．2∈A C．0∉A D．{0，1，2}⊆A (2)已知集合A＝{1，|a－1|，a＋2}，且2∈A，则实数a的值为(　　) A．－1 B．0 C．3 D．－1或3 命题点二　集合间的基本关系 例2 (链接·2023年新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版必修一P9T5(2))已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|1<x<2}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 学霸笔记： (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合的关系． (2)根据集合间的关系求参数值(或范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法求解． 易错提醒：在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性． 命题点三　集合的基本运算 考向1　集合的运算 例3 (1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 (2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} (3)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(1)(源自人教A版必修一P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求 ∁UA，∁UB. (2)(源自人教A版必修一P14T1)集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，求A 学霸笔记：(1)集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可以使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴和Venn图． 考向2　利用集合运算求参数 例4 (2026·新余模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若A＝B，则实数a＝(　　) A．0或1或2 B．1或2 C．0或1 D．1 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：利用结论A⊆B⇔A＝A⇔A＝B对两个集合间的关系进行转化是解题的关键． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P35T9)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，是否存在实数a，使得A＝A？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 提示：请完成课时作业1 第一节　集合 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)确定性　互异性　无序性　(2)①∈　(3)列举法　描述法　(4)N　N*(或N＋)　Z　Q　R 2．A⊆B或B⊇A　AB或BA　A＝B 3．{x|x∈A，或x∈B}　A∪B　{x|x∈A，且x∈B}　A∩B　 {x|x∈U，且x∉A}　∁UA 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．解析：集合M＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，故A错误；－1∈M，元素与集合之间不能用符号⊆，故B错误；根据子集的定义，有{－1，1}⊆M，故C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用符号∈，故D错误．故选C. 答案：C 3．解析：∵A∪B＝{x|2<x<10}，∁RA＝{x|x<3，或x≥7}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}，(∁RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}． 答案：{x|x≤2，或x≥10}　{x|2<x<3，或7≤x<10} 4．解析：∵全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}， ∴A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}， ∵A∩(∁UB)＝{1，3，5，7}， ∴集合A中含有元素1，3，5，7，集合B中不含元素1，3，5，7， ∴B＝{0，2，4，6，8，9，10}． 答案：{0，2，4，6，8，9，10} 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)由题设a2＝3a－2⇒(a－1)(a－2)＝0，可得a＝1或a＝2，当a＝1时，a2＝3a－2＝1，满足题设；当a＝2时，a2＝3a－2＝4，不符合集合元素的互异性，所以a＝1.故选C. (2)因为集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则当a＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝，即集合A＝，则a＝0；当a≠0时，由Δ＝(－2)2－4a＝0，解得a＝1，方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，即集合A＝{1}，则a＝1.综上所述，a＝0或a＝1. 答案：(1)C　(2)0或1 跟踪训练　解析：(1)由题可知集合A＝{x|x3－8<0}＝{x|x<2}，所以0∈A，1∈A，2∉A，故A正确，BC错误；集合{0，1，2}不是集合A的子集，故D错误．故选A. (2)因为2∈A，所以分为以下两种情况讨论．①|a－1|＝2⇒a＝3或－1，当a＝3时，集合A＝{1，2，5}，满足题意；当a＝－1时，集合A＝{1，2，1}，不满足集合的互异性，故舍去．②a＋2＝2⇒a＝0，此时集合A＝{1，1，2}，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，a＝3.故选C. 答案：(1)A　(2)C 例2　解析：因为A⊆B，则有若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述a＝1. 答案：B 真题探源　解析：如图， 由图可知a≥2. 答案：[2，＋∞) 例3　解析：(1)因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，∁UA中的元素个数为5.故选C. 解析：(2)因为A＝{x<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1，0}．故选A. 解析：(3)由题意得M∪N＝{x|－3<x<4}．故选C. 答案：(1)C　 答案：(2)A　 答案：(3)C 真题探源　答案：(1)根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}． (2)因为A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，所以A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3≤x<4}． 例4　解析：由A∩B＝B，可得B⊆A.若B＝∅，则a＝0成立；若B≠∅，又A＝{1，2}，则＝1或＝2，则a＝2或1.综上可得a＝0或1或2.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：若A∪B＝A，则B⊆A， ∴a＋2＝3或a＋2＝a2，解得a＝－1或1或2. ∵a＝－1或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去， ∴a＝2， ∴存在实数a＝2使得A∪B＝A. 学科网（北京）股份有限公司 $