2026年中考数学三轮高频压轴考点冲刺训练--几何综合探究问题

2026年中考三轮高频压轴考点冲刺训练--几何综合探究问题 1、 题型核心定位 这类题目是中考数学的压轴题型，以三角形、四边形、圆等基本几何图形为载体，结合图形的变换（平移、旋转、折叠）、动点、动线问题，进行多步骤、层层递进的探究，重点考查逻辑推理、几何直观、模型识别和综合应用能力。 2、 核心解题步骤 1. 拆解问题，分层突破: 题目通常分为多个小问，由易到难、层层递进。先解决前序的基础问题，为后续的探究结论提供铺垫和思路。 2. 识别图形，定位模型:快速识别题目中的基本图形和常见几何模型（如全等模型、相似模型、等腰模型、直角模型、圆的相关模型），明确已知条件和隐含条件。 3. 转化条件，搭建桥梁:将题目中的文字条件、图形关系转化为数学语言，如相等的线段、相等的角、垂直、平行、特殊角度等，为建立证明或计算的逻辑链条搭建桥梁。 4. 多向思考，分类讨论:对于动点、动线问题，或图形位置不确定的情况，需要根据图形的不同位置进行分类讨论，避免漏解。 5. 验证结论，前后呼应:得到结论后，结合图形和已知条件进行验证，确保结论的合理性，同时注意前后问题之间的关联，利用前面的结论解决后续问题。 3、 高频考点梳理 1. 三角形相关探究 ①全等三角形：判定与性质的综合应用，常见模型包括“一线三等角”、“倍长中线”、“截长补短”等。 ②相似三角形：判定与性质的综合应用，包括平行线型、斜交型、母子型等常见模型，用于求解线段长度、比例关系。 ③特殊三角形：等腰三角形、直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，含30°、45°角的特殊直角三角形的边长关系。 2. 四边形相关探究 ①平行四边形：性质与判定的综合应用，中心对称的性质。 ②特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形的性质与判定，边、角、对角线的特殊关系。 ③梯形：等腰梯形的性质，梯形中常见的辅助线作法（平移腰、作高、延长两腰等）。 3. 图形变换探究 ①平移：平移的性质，平移前后图形的对应线段、对应角的关系，平移的距离与方向。 ②旋转：旋转的性质，旋转前后图形的对应线段、对应角的关系，旋转中心、旋转角的确定，常见的旋转模型（如手拉手模型）。 ③折叠：折叠的性质，折叠前后图形的全等关系，对应点的连线被折痕垂直平分，利用勾股定理求解折叠问题中的线段长度。 4. 圆相关探究 ①圆的基本性质：垂径定理、圆周角定理及其推论，圆心角、弧、弦之间的关系。 ②切线的判定与性质：切线的判定定理，切线的性质，切线长定理的应用。 ③圆与三角形、四边形的综合：三角形的外接圆、内切圆，圆内接四边形的性质，圆中相似三角形的应用。 5. 动点与最值探究 ①单动点问题：分析动点的运动轨迹，利用几何性质（如两点之间线段最短、垂线段最短）或函数思想求解最值。 ②双动点问题：分析两个动点之间的关系，转化为单动点问题求解，或利用相似、函数关系建立方程求解。 4、 核心能力要求 1. 模型识别能力：快速识别题目中的常见几何模型，找到解题的突破口。 2. 逻辑推理能力：能够清晰地写出证明或计算的过程，步骤严谨，条理清晰。 3. 几何直观能力：能够根据题目条件，画出辅助线，分析图形的结构和变化趋势。 4. 转化与化归能力：将复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题，利用已学知识解决未知问题。 5. 分类讨论能力：面对多种可能的情况，能有序分类，全面分析，避免遗漏。 5、 常见易错点提醒 1. 辅助线作法不规范，导致后续推理无法进行。 2. 忽略题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等，导致无法找到全等或相似关系。 3. 分类讨论不全面，漏解部分情况，如等腰三角形的腰和底不确定、直角三角形的直角顶点不确定。 4. 计算过程中出现错误，如勾股定理应用错误、相似三角形对应边比例关系找错。 5. 前后问题之间的关联理解不足，无法利用前序结论解决后续问题。 6、 解题核心思想 这类问题的核心思想是“模型化”与“转化”，通过识别和应用常见的几何模型，将复杂的探究问题转化为熟悉的基础问题，利用全等、相似、勾股定理等知识解决。同时，要注重前后问题之间的逻辑关联，层层递进，逐步突破。 例1.（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： (1)如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： (2)“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： (3)在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分两种情况讨论：①当点在边上时；可求，证明，求出，．在中，解直角三角形求出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解； ②当点在的延长线上时，过点作于点，同理①可求，进而可得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出根据勾股定理求出，根据等面积法求出即可． 【详解】（1）解：， 理由：四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ，即， ， ； （2）解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． （3）解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（2），知， 又， ， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点，如解图3， 同理①，易得， ， ， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 例2．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与探究 某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的平行四边形进行了如下探究： (1)【初步探究】如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点，重合），点在上，满足，延长交于点．求的度数； (2)【深入探究】在上述条件下，连接，已知，如图2，若正方形的边长为6，求的长； (3)【变式探究】如图3，矩形中，，，点是边的中点，点在上，且，连接并延长交于点，求的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的性质得到，，结合四边形的内角和为可求解； （2）过点作交于点，证明得到，过点作交于点，则，可求得，则，证明可得，利用平行线分线段成比例求得，进而可求解； （3）过点作交于点， 利用等腰三角形的性质得到，证明得到，进而可求得，则，过点作交于点，分别证明和可得，进而可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，则， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点，则， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作交于点， ， ， 矩形， ， ，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 变式1．（2026·山西阳泉·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探究矩形对角线上添加动点后，在轴对称变换中的数学问题．如图，四边形是矩形，，对角线．点是的中点，点是对角线上一点，连接．点是点关于直线的对称点，连接、． (1)特例分析：如图1，当时，连接，判断四边形的形状，说明理由并直接写出四边形的面积； (2)深入探究：如图2，若点落在对角线上，求的长； (3)拓展探究：点在线段上运动的过程中，当是等腰三角形时、请借助备用图分析，直接写出的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析， (2) (3)或或 【分析】（1）连接交于点，根据折叠的性质，推出，根据中点的定义推出，即可得出四边形是平行四边形，过点作于点，利用勾股定理求出的长，三角函数求出，求出，进而求出的长，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可； （2）根据折叠的性质得到，垂直，在中，利用三角函数进行求解即可； （3）分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 连接交于点， ∵， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 过点作于点， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，即，， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：由（1）知：，， ∵对称， ∴， ∴； （3）解：①由（1）可知：当时，四边形为菱形， 此时，，符合题意， ∴； ②当时，如图，作于点， ∵对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ③当时，如图，作， ∵对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 综上：或或． 变式2．（2026·吉林·一模）综合与探究 【例题再现】 老师在黑板上写了这样一道题：如图①，在中，于点，找出图中所有的相似三角形，并说明理由．图中存在3组相似三角形，兴趣小组发现这道题是个很好的素材，可以得出结论：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形相似，且都与原三角形相似． 【初步探究】 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：_____． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明； 【动手实践】 (2)如图③，的顶点均在的正方形网格的格点上，请仅用直尺画出边上的高； 【拓展探究】 (3)如图④，在中，，于点，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接、、当时，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)作图见解析 (3)是直角三角形，证明见解析 【分析】（1）利用相似三角形的判定即可证明； （2）根据网格图的特征取格点，连接交于即可； （3）证明，可得．由（1）知，可得，可证明，可得，再由，即可解答． 【详解】（1）解：； 选择第一个： 在中，， ， ∵．， ∴． ∴． ∴． 选择第二个： 在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 选择第三个： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：如图所示，即为所求作． （3）解：是直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是直角三角形． 变式3．（2026·辽宁沈阳·一模）【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． (1)【初步探究】 如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则的度数为______； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足， ①将绕点逆时针旋转到，连接，在图3补全图形； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)6． (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，证明，设正方形边长为，则，，结合勾股定理即可解题； （3）①将绕点逆时针旋转至，连接， ②证明，最后用勾股定理即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， 为等腰直角三角形， ． （2）解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质可得，，，， ， ∴，，三点共线． ， ． ，， ． ． ， ． 设正方形的边长为，则，， 在中，，即， 解得，（负值舍去）． ∴正方形的边长为6． （3）解：①如图，将绕点逆时针旋转至，连接， ②由旋转的性质可得，，，， ． 又，， ． ． ． ， ． ， ． ． ∴． ∴． 1．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)的长为或 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【详解】（1）解： 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （2）， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 2．（2026·广西柳州·一模）探究与证明 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，相交于点． (1)如图1，可以看成是绕点顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为_______； (2)如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点落在上，点落在BC上，求的值； (3)【类比探究】如图3，在菱形中，是AB的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由； (4)若（3）中，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)的值与无关，理由见解析； (4)． 【分析】（1）根据题意得到得出答案； （2）根据题意得，得到证明即可得出答案； （3）证明得到过点作于点，根据解直角三角形得到即可求解； （4）由（3）可得，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴旋转角为 故答案为：； （2）解：根据题意得， ， （3）解：的值与无关，理由如下，如图， 由（2）， ∵菱形ABCD中，， 是AB的垂直平分线与BD的交点， 过点作于点， ， 的值与无关； （4） 解：由（3）可得，， 即． 3．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境：已知在与中，，．同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究． (1)操作发现：希望小组的同学将与按图1的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上．与相交于点E，他们提出了如下问题，请你解答：求证：平分； (2)操作探究：创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，他们提出了如下问题，请你解答： 在旋转的过程中，当点与点D重合时，如图2，设与交于点，与交于点，他们提出了如下问题，请你解答： 请求出四边形的周长． (3)探究发现：求真小组按创新小组的操作，在图1的基础上进行旋转，发现在旋转过程中（如图3），以点为顶点的四边形会是矩形，他们提出了如下问题，请你解答：直接写出旋转为多少度时，以点为顶点的四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可证明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是菱形，由菱形的性质即可证得结论； （2）连接，过点D作交延长线于点G，同理可证四边形是平行四边形，然后根据可证，利用全等三角形对应角相等，结合等角对等边可得，从而证得四边形是菱形，接着在中可解直角三角形求得和，进而求得，最后在中利用勾股定理建立方程，即可求得，即可求得答案； （3）①当四边形为矩形时，交于点，连接交于点，过点作，交的延长线于点，先根据平行四边形的性质和矩形的性质，利用勾股定理求得的和，从而求得，易知垂直平分，然后利用勾股定理在和中建立方程，求得，从而得到，进而根据角度的和差和等边对等角求得，即可解答；②当四边形为矩形时，易得，从而得到此时点和重合，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形和是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴平分； （2）解：如图2，连接，过点D作交延长线于点G， 同理可得，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：①当四边形为矩形时， 如图3所示，交于点，连接交于点，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即， 设，则， ∵在和中，， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即此时旋转了； ②如备用图所示，当四边形为矩形时， 则， ∵四边形和是平行四边形，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴此时点和重合，即此时旋转了； 综上，当旋转或时，以点为顶点的四边形是矩形． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2) (3)的长为或3 【分析】（1）根据菱形的性质结合已知条件可得是等边三角形，进而得出，由旋转的性质得进而得出，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可得出四边形是矩形． （2）连接，根据点在的垂直平分线上，得出，由旋转的性质得，进而得出，，证明，进而勾股定理即可求解． （3）分两种情况讨论，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形． 理由：四边形是菱形， ， ，是等边三角形， ． 点与点重合， ， ， ． 由旋转的性质得， ． 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）如图1，连接， 四边形是菱形，， ． 点在的垂直平分线上， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ， ． ． ， 是的中点， ， ． （3）线段的长为或3 解：①当时，如图2， ， ． 为的中点， ，且为的中点． ， ， ． ②当时，如图3， 取的中点为，连接． 为的中点， 为的中位线， ． ， ． ， 是等边三角形， ． 设，则． 为的中点， ，即， 解得， ． 综上所述，的长为或3． 5．（2026·山东临沂·一模）问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每个学习小组一些三角形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出有意义的数学问题或结论． (1)初步探究：希望小组手中的纸片如图，其中，小组的同学在边上取了一点使，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平，该小组的赵虎同学观察思考后说四边形是个特殊的四边形．你认为赵虎同学说的对吗？若对，请说出名称并证明，若不对请说明理由． (2)深入探究：在图的基础上，希望小组的同学继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． 张亮同学观察后说，若，则，如图，请判断张亮同学的说法是否正确，并说明理由； 刘明同学观察后说，当纸片的，，，其他条件不变，仍按照上述过程折叠，如图，若是以为腰的等腰三角形时，可以求出的长，你认为刘明同学说的对吗？若对，请直接写出的长，若不对请说明理由． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)说法正确，理由见解析；的长为或 【分析】（）利用折叠的性质得到，则，，，利用平行线的性质，菱形的判定定理解答即可； （）利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，，利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质解答即可； 设与交于点，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质得到，，，设，则，，再利用的代数式表示出线段，，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；当时，，利用类似的方法解答即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 证明：∵沿过点的直线折叠该纸片，折痕与边交于点，得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：说法正确，理由如下： 由（）知：四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 设与交于点，如图， 当时， 在直角三角形中，，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴ 综上所述，的长为或． 6．（2025·河南郑州·三模）【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情： 如图1，是等边三角形，将绕顶点顺时针旋转得到，连接和，直线和交于点，那么在旋转的过程中，的度数始终等于_____，特别地，当时，_____； 【深入探究】如图2，媛媛继续探究，如果是等腰直角三角形，其中且，同样将绕顶点顺时针旋转得到，直线和交于点，则直线和直线所夹锐角的度数是_____；请猜想线段与的数量关系，并就图2说明理由． 【实践应用】早早在媛媛的探究下继续思考并提出问题：如图3，在矩形中，．，点是边上靠近顶点的三等分点，连接，将绕顶点顺时针旋转得到．连接和，直线交线段于点，在旋转的过程中，当点三点共线时，直接写出此时的长． 【答案】【特例分析】；；【深入探究】；，理由见解析；【实践应用】或 【分析】[特例分析]由题易得，从而在四边形中利用四边形内角和求出即可；连接，易证是的等腰三角形，，据此可得； [深入探究]易证，可得，证明；进而可证点四点共圆，且为直径，所以，根据等腰三角形三线合一即可得解； [实践应用]由前述思路可证M是中点，当点三点共线时，可分两种情况讨论，一是在中间，二是在中间，我们发现，而点的轨迹是以C为圆心，长为半径的小圆，点运动轨迹为以C为圆心，长为半径的大圆，因为，所以直线则和小圆相切，据此即可容易画出图形，进而求解即可． 【详解】解：[特例分析]由旋转可知， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在四边形中， ； ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 过点作于点，则，， ∴ ∴， ∴，即； 故答案为：；； [深入探究]由题意可知，， 又 ∴， ∴， ∴， 记与交于点，则有， ∴； 故答案为：； 线段与的数量关系：；理由如下： ∵， ∴点四点共圆（同弧所对的圆周角相等）， 如图，连接， ∵， ∴为直径， ∴，即， ∵， ∴（等腰三角形三线合一）； [实践应用]∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 记与交于点，则， 又，， ∴， 即：， ∴点四点共圆， ∵， ∴为直径， ∴，即， ∵， ∴，即M为中点， ∵E为靠近点A的三等分点， ∴，， 第一种情况：当在线段中间时，如图，过作于点K，作于点G，过M作于点H， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵M为中点， ∴，， ∴， 在中，； 第二种情况：当在线段中间时，如图， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∴，， ∴，， ∵M为中点， ∴，， ∴， 在中，； 综上，的长为或． 7．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】 （3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且． ①求证：． ②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】（1）见解析（2）（3）①证明见解析② 【分析】（1）推出，，即可推出； （2）连接，证明，设，，则，，，，列出方程，即可得，即可解答； （3）①连接，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，证明，，可得，经过线段的转换即可解答； ②设，可得，即，求得菱形的边长即可解答． 【详解】证明：， ， ， ，且， ， ； （2）如图，连接， 在矩形中，，， ， ，， ，， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ， 设，，则，，，，， ， ， ， ， ，， ； （3）①证明：如图，连接，过点作交的延长线于点， 在菱形中，,， ，， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在上取一点，使得， 在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ， 四边形为菱形， 设， ，即， 解得， 即， 如图，过点作交于点， ， ，， ． 9．（2026·山西大同·一模）综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，见解析 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质可求出，根据含的直角三角形的性质求出，根据平移的性质得出，根据矩形的性质并结合可求出，然后在中，根据正切的定义求出即可； （2）根据折叠的性质得出，，，则可证、D、B三点共线，则，然后根据矩形的判定即可得证； （3）分两种情况讨论：当点F在的上方时，过F作于M，交于N，过D作于H，在中，解直角三角形求出，，根据三线合一的性质求出，根据矩形的判定与性质求出，，根据旋转的性质得出，在中，根据勾股定理求出，最后在中，根据勾股定理求解即可；当点F在的上方时，类似求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵平移后四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即平移距离为； （2）解：四边形是矩形 理由：∵折叠， ∴，，， ∴， ∴、D、B三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴平行四边形是矩形； （3）解：当点F在的上方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 当点F在的下方时，如图，过F作于M，交于N，过D作于H， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转 ∴， ∴在中，， ∴， ∴； 综上，的值为或． 10．（2026·江西吉安·一模）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． (2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 (3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (4)若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)相似，相似比为 (3) (4)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，求出，得到为等腰直角三角形，设，则，结合题意求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （3）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （4）由（1）可得，由相似三角形的性质可得，分两种情况：当在直线右侧时；在直线左侧时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵点A在对角线上，， ∴，即相似比为； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∵经过的中点F， ∴， ∵，， ∴， ∴，即相似比为； （3）解：如图，延长交于点，交的延长线于点， ∵、为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即，所在直线的夹角（锐角）的度数为； （4）解：由（1）可得：， ∴， ∴， ∵A，D，E三点在同一条直线上， ∴分两种情况：如图，当在直线右侧时， 设，则，， 作于，于， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在直线左侧时，作于， 则， 设，则， ∴， 作于， 同理可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 11．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）解：，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 12．（2026·贵州黔东南·一模）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）延长分别交、于点、，根据题意证明，得到，，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （2）令与交于点，延长分别交、于点、，证明，得到，再结合对顶角相等和三角形内角和定理可得，可得； （3）连接，利用勾股定理求出，，分两种情况讨论：①当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同（2）理可证，，则，再结合勾股定理列方程求解即可；②当三点在同一直线上，且点在点、之间时，同①理求解即可． 【详解】（1）解：如图2，延长分别交、于点、， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； （2）解：成立，证明如下： 如图3，令与交于点，延长分别交、于点、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同（2）理可证，， ， ， ， 由（2）可知，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； ②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时， 同①理可得，，， ， ， 整理得： 解得：或（舍）； 综上可知，的长为或． 13．（2026·广东东莞·一模）综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)米 (3) (4)或 【分析】（1）仿照小吴同学方法，得出，把，代入计算即可； （2）根据圆周角定理得出，根据得出，利用勾股定理求出米，利用（1）中距离求出的长即可； （3）以为直径作，连接并延长，交于，连接、、，根据圆周角定理得出点、在上，四边形是正方形，，，利用（1）中结论及勾股定理得出，，再利用勾股定理即可求出； （4）分点在直线的左侧和右侧两种情况，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理，结合（1）中结论，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． （2）如图，连接、、， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 由（1）可知，， ∴（米）． ∴小河最短是沿线段修建，距离为米． （3）解：如图，以为直径作，连接并延长，交于，连接、、， ∵为的直径，， ∴点、点都在上，为的直径， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，，， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点是的中点， ∴，， ∵，点是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（1）可知， ∴， ∴； 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知，， 设，则， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 综上所述，线段与的数量关系是或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考三轮高频压轴考点冲刺训练--几何综合探究问题 1、 题型核心定位 这类题目是中考数学的压轴题型，以三角形、四边形、圆等基本几何图形为载体，结合图形的变换（平移、旋转、折叠）、动点、动线问题，进行多步骤、层层递进的探究，重点考查逻辑推理、几何直观、模型识别和综合应用能力。 2、 核心解题步骤 1. 拆解问题，分层突破: 题目通常分为多个小问，由易到难、层层递进。先解决前序的基础问题，为后续的探究结论提供铺垫和思路。 2. 识别图形，定位模型:快速识别题目中的基本图形和常见几何模型（如全等模型、相似模型、等腰模型、直角模型、圆的相关模型），明确已知条件和隐含条件。 3. 转化条件，搭建桥梁:将题目中的文字条件、图形关系转化为数学语言，如相等的线段、相等的角、垂直、平行、特殊角度等，为建立证明或计算的逻辑链条搭建桥梁。 4. 多向思考，分类讨论:对于动点、动线问题，或图形位置不确定的情况，需要根据图形的不同位置进行分类讨论，避免漏解。 5. 验证结论，前后呼应:得到结论后，结合图形和已知条件进行验证，确保结论的合理性，同时注意前后问题之间的关联，利用前面的结论解决后续问题。 3、 高频考点梳理 1. 三角形相关探究 ①全等三角形：判定与性质的综合应用，常见模型包括“一线三等角”、“倍长中线”、“截长补短”等。 ②相似三角形：判定与性质的综合应用，包括平行线型、斜交型、母子型等常见模型，用于求解线段长度、比例关系。 ③特殊三角形：等腰三角形、直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，含30°、45°角的特殊直角三角形的边长关系。 2. 四边形相关探究 ①平行四边形：性质与判定的综合应用，中心对称的性质。 ②特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形的性质与判定，边、角、对角线的特殊关系。 ③梯形：等腰梯形的性质，梯形中常见的辅助线作法（平移腰、作高、延长两腰等）。 3. 图形变换探究 ①平移：平移的性质，平移前后图形的对应线段、对应角的关系，平移的距离与方向。 ②旋转：旋转的性质，旋转前后图形的对应线段、对应角的关系，旋转中心、旋转角的确定，常见的旋转模型（如手拉手模型）。 ③折叠：折叠的性质，折叠前后图形的全等关系，对应点的连线被折痕垂直平分，利用勾股定理求解折叠问题中的线段长度。 4. 圆相关探究 ①圆的基本性质：垂径定理、圆周角定理及其推论，圆心角、弧、弦之间的关系。 ②切线的判定与性质：切线的判定定理，切线的性质，切线长定理的应用。 ③圆与三角形、四边形的综合：三角形的外接圆、内切圆，圆内接四边形的性质，圆中相似三角形的应用。 5. 动点与最值探究 ①单动点问题：分析动点的运动轨迹，利用几何性质（如两点之间线段最短、垂线段最短）或函数思想求解最值。 ②双动点问题：分析两个动点之间的关系，转化为单动点问题求解，或利用相似、函数关系建立方程求解。 4、 核心能力要求 1. 模型识别能力：快速识别题目中的常见几何模型，找到解题的突破口。 2. 逻辑推理能力：能够清晰地写出证明或计算的过程，步骤严谨，条理清晰。 3. 几何直观能力：能够根据题目条件，画出辅助线，分析图形的结构和变化趋势。 4. 转化与化归能力：将复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题，利用已学知识解决未知问题。 5. 分类讨论能力：面对多种可能的情况，能有序分类，全面分析，避免遗漏。 5、 常见易错点提醒 1. 辅助线作法不规范，导致后续推理无法进行。 2. 忽略题目中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角相等，导致无法找到全等或相似关系。 3. 分类讨论不全面，漏解部分情况，如等腰三角形的腰和底不确定、直角三角形的直角顶点不确定。 4. 计算过程中出现错误，如勾股定理应用错误、相似三角形对应边比例关系找错。 5. 前后问题之间的关联理解不足，无法利用前序结论解决后续问题。 6、 解题核心思想 这类问题的核心思想是“模型化”与“转化”，通过识别和应用常见的几何模型，将复杂的探究问题转化为熟悉的基础问题，利用全等、相似、勾股定理等知识解决。同时，要注重前后问题之间的逻辑关联，层层递进，逐步突破。 例1.（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： (1)如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： (2)“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： (3)在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 例2．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与探究 某校数学兴趣小组同学学习“特殊平行四边形”的知识后，对特殊的平行四边形进行了如下探究： (1)【初步探究】如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点，重合），点在上，满足，延长交于点．求的度数； (2)【深入探究】在上述条件下，连接，已知，如图2，若正方形的边长为6，求的长； (3)【变式探究】如图3，矩形中，，，点是边的中点，点在上，且，连接并延长交于点，求的值． 变式1．（2026·山西阳泉·一模）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探究矩形对角线上添加动点后，在轴对称变换中的数学问题．如图，四边形是矩形，，对角线．点是的中点，点是对角线上一点，连接．点是点关于直线的对称点，连接、． (1)特例分析：如图1，当时，连接，判断四边形的形状，说明理由并直接写出四边形的面积； (2)深入探究：如图2，若点落在对角线上，求的长； (3)拓展探究：点在线段上运动的过程中，当是等腰三角形时、请借助备用图分析，直接写出的长． 变式2．（2026·吉林·一模）综合与探究 【例题再现】 老师在黑板上写了这样一道题：如图①，在中，于点，找出图中所有的相似三角形，并说明理由．图中存在3组相似三角形，兴趣小组发现这道题是个很好的素材，可以得出结论：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形相似，且都与原三角形相似． 【初步探究】 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：_____． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明； 【动手实践】 (2)如图③，的顶点均在的正方形网格的格点上，请仅用直尺画出边上的高； 【拓展探究】 (3)如图④，在中，，于点，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接、、当时，请判断的形状，并说明理由． 变式3．（2026·辽宁沈阳·一模）【问题情境】 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． (1)【初步探究】 如图1，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，则的度数为______； (2)【类比探究】 如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，与互余，，为对角线，且满足， ①将绕点逆时针旋转到，连接，在图3补全图形； ②若，，求的长． 1．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 2．（2026·广西柳州·一模）探究与证明 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】 在正方形中，相交于点． (1)如图1，可以看成是绕点顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为_______； (2)如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点落在上，点落在BC上，求的值； (3)【类比探究】如图3，在菱形中，是AB的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由； (4)若（3）中，其余条件不变，请直接写出之间的数量关系：______（用含的式子表示）． 3．（2026·山西晋城·一模）综合与探究 问题情境：已知在与中，，．同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究． (1)操作发现：希望小组的同学将与按图1的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上．与相交于点E，他们提出了如下问题，请你解答：求证：平分； (2)操作探究：创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，他们提出了如下问题，请你解答： 在旋转的过程中，当点与点D重合时，如图2，设与交于点，与交于点，他们提出了如下问题，请你解答： 请求出四边形的周长． (3)探究发现：求真小组按创新小组的操作，在图1的基础上进行旋转，发现在旋转过程中（如图3），以点为顶点的四边形会是矩形，他们提出了如下问题，请你解答：直接写出旋转为多少度时，以点为顶点的四边形是矩形． 4．（2026·山西吕梁·一模）综合与探究 【问题情境】 如图，在菱形中，，是射线上一动点，将线段绕着点逆时针方向旋转到达的位置，连接是的中点． (1)【操作发现】如图1，当点与点重合时，连接交于点，试猜想四边形的形状，并说明理由． (2)【操作探究】如图2，当点在线段上，点在线段的垂直平分线上，连接，求的长． (3)【拓展探究】如图3，当点在边的延长线上时，连接，，若，请直接写出线段的长． 5．（2026·山东临沂·一模）问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每个学习小组一些三角形纸片，让同学们在动手折叠、观察、探究、发现的过程中提出有意义的数学问题或结论． (1)初步探究：希望小组手中的纸片如图，其中，小组的同学在边上取了一点使，沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平，该小组的赵虎同学观察思考后说四边形是个特殊的四边形．你认为赵虎同学说的对吗？若对，请说出名称并证明，若不对请说明理由． (2)深入探究：在图的基础上，希望小组的同学继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平．连接交边于点，连接． 张亮同学观察后说，若，则，如图，请判断张亮同学的说法是否正确，并说明理由； 刘明同学观察后说，当纸片的，，，其他条件不变，仍按照上述过程折叠，如图，若是以为腰的等腰三角形时，可以求出的长，你认为刘明同学说的对吗？若对，请直接写出的长，若不对请说明理由． 6．（2025·河南郑州·三模）【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情： 如图1，是等边三角形，将绕顶点顺时针旋转得到，连接和，直线和交于点，那么在旋转的过程中，的度数始终等于_____，特别地，当时，_____； 【深入探究】如图2，媛媛继续探究，如果是等腰直角三角形，其中且，同样将绕顶点顺时针旋转得到，直线和交于点，则直线和直线所夹锐角的度数是_____；请猜想线段与的数量关系，并就图2说明理由． 【实践应用】早早在媛媛的探究下继续思考并提出问题：如图3，在矩形中，．，点是边上靠近顶点的三等分点，连接，将绕顶点顺时针旋转得到．连接和，直线交线段于点，在旋转的过程中，当点三点共线时，直接写出此时的长． 7．（2026·山东潍坊·一模）【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 8．（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【问题提出】 （1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：． 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值． 【问题应用】 （3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且． ①求证：． ②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积． 9．（2026·山西大同·一模）综合与实践 数学课上，同学们以含角的平行四边形为载体，开展了平移、折叠、旋转的综合实践活动．如图1，在平行四边形中，． 【智慧小组——平移探究】 (1)如图2，将沿着射线方向平移，得到，点的对应点为．当四边形为矩形时，求平移的距离． 【善思小组——折叠探究】 (2)如图3，将沿着折叠得到，点的对应点为，连接．猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【探索小组——旋转探究】 (3)将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点．当为以为底的等腰三角形时，请你直接写出的值． 10．（2026·江西吉安·一模）综合与实践 把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究． 已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形． 特例研究 (1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________． (2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比． 类比探究 (3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数． (4)若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系． 11．（2026·山东枣庄·一模）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 12．（2026·贵州黔东南·一模）综合与探究： 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动． (1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________； (2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 13．（2026·广东东莞·一模）综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是________．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $