2026年中考数学三轮高频压轴考点冲刺训练--二次函数综合之新定义问题

2026年中考三轮高频压轴考点冲刺训练--二次函数综合之新定义问题 1、 题型核心特征 这类问题会在二次函数的基础上，引入一个教材中没有的全新定义（如特殊点、特殊图形、特殊关系），要求学生先理解新定义，再结合二次函数的图像与性质，完成分析、推理与计算，是中考中考查综合能力的高频压轴题型。 2、 解题核心步骤 1. 读懂定义，转化条件:先完整理解题目给出的新定义，明确其核心要素：定义的对象、判定条件、性质特征。将文字描述转化为数学语言，梳理出满足定义的关键条件（如坐标关系、距离关系、图形关系）。 2. 结合二次函数，建立模型:把新定义的条件，与二次函数的相关知识结合起来： ①二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式） ② 图像的基本性质（开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点） ③ 点与函数图像的关系（点在图像上、点不在图像上） ④ 几何相关知识（两点间距离、线段长度、角度关系、图形面积等） 3. 分情况讨论，严谨推理：新定义问题往往存在多种情况，需要根据定义的条件，对可能的情形进行分类，逐一分析，避免漏解。 4. 验证结果，回归定义：得到结果后，需要将结果代回题目，验证是否完全符合新定义的所有条件，确保答案的正确性。 3、 高频考点梳理 1. 新定义“点” 题目会定义一种特殊的点（如“和谐点”“伴随点”），这类点通常与二次函数图像存在特定关系（如在图像上、到顶点距离为定值、与图像的交点满足特定条件）。 解题关键：根据定义写出点的坐标满足的关系式，结合二次函数的解析式，求解参数或坐标。 2. 新定义“图形” 题目会定义一种特殊的图形（如“二次函数伴随三角形”“抛物线的内接矩形”），这类图形的边、顶点与二次函数图像紧密相关，且满足特定的几何性质（如等腰、直角、面积为定值）。 解题关键：先确定图形各顶点的坐标，再结合几何图形的性质（如勾股定理、等腰三角形三线合一、面积公式）建立方程求解。 3. 新定义“关系” 题目会定义一种二次函数与其他图形（直线、圆、三角形）之间的特殊关系（如“相切”“贴合”“匹配”），要求根据关系的条件，分析二次函数的参数或图像特征。 解题关键：将定义的“关系”转化为数学等式或不等式，结合二次函数的性质进行分析。 4、 核心能力要求 1. 信息解读能力：快速理解陌生的新定义，抓住定义的本质。 2. 知识迁移能力：将新定义的条件，转化为熟悉的二次函数、几何知识问题。 3. 分类讨论能力：面对多种可能的情况，能有序分类，全面分析，避免遗漏。 4. 方程与函数思想：通过建立方程、利用函数性质，求解参数或点的坐标。 --- 5、 常见易错点提醒 1. 误解新定义的条件，忽略定义中的限制（如点的位置、图形的形状），导致后续计算全部出错。 2. 忽略分类讨论，漏解部分情况（如等腰三角形的腰不确定、点的位置在对称轴左右两侧）。 3. 计算过程中，未结合二次函数的自变量或图像的实际范围，得到不符合题意的解。 4. 验证环节缺失，未检查结果是否完全满足新定义的所有条件。 6、 解题核心思想 这类问题本质上是“新瓶装旧酒”，所有的解题方法都来自教材中的二次函数、几何、方程知识，新定义只是题目情境的包装。解题的核心是“剥去新定义的外衣，转化为熟悉的问题”，用已学知识解决陌生问题。 例1．（2026·河南开封·一模）新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 例2．（2026·山东聊城·一模）我们规定：对于二次函数，若其图象上的点满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点为该二次函数的“和谐点”．已知二次函数，请结合“和谐点”的定义解决下列问题： (1)求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴； (2)求该二次函数的所有“和谐点”的坐标； (3)已知二次函数（为常数）不存在“和谐点”，求的取值范围． 变式1．（2026·山东日照·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； (3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 1．（2026·四川成都·二模）如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线表达式； (2)当时，求当面积最大值时点的坐标； (3)定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 2．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 3．（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 5．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 6．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 7．（25-26九年级下·河南洛阳·一模）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 8．（2026·湖南长沙·二模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成： (1)点的“简朴”点是________； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”； (3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围． 9．（2025·江苏宿迁·三模）已知二次函数，我们定义其“开口大小”如下：若存在一点在该抛物线上，满足，其中为抛物线的顶点，则称为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数的顶点坐标为，在函数图像上取点，则有，所以二次函数的开口大小为，“标志点”为，根据上述材料，解决下列问题： (1)抛物线的开口大小是______； (2)对于抛物线，是否存在满足定义条件的“标志点”？若存在，求出点的坐标，若不存在，请简要说明理由； (3)已知某抛物线的“标志点”为，且开口大小为4，求该抛物线的解析式． 10．（2026·四川成都·模拟预测）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考三轮高频压轴考点冲刺训练--二次函数综合之新定义问题 1、 题型核心特征 这类问题会在二次函数的基础上，引入一个教材中没有的全新定义（如特殊点、特殊图形、特殊关系），要求学生先理解新定义，再结合二次函数的图像与性质，完成分析、推理与计算，是中考中考查综合能力的高频压轴题型。 2、 解题核心步骤 1. 读懂定义，转化条件:先完整理解题目给出的新定义，明确其核心要素：定义的对象、判定条件、性质特征。将文字描述转化为数学语言，梳理出满足定义的关键条件（如坐标关系、距离关系、图形关系）。 2. 结合二次函数，建立模型:把新定义的条件，与二次函数的相关知识结合起来： ①二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式） ② 图像的基本性质（开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点） ③ 点与函数图像的关系（点在图像上、点不在图像上） ④ 几何相关知识（两点间距离、线段长度、角度关系、图形面积等） 3. 分情况讨论，严谨推理：新定义问题往往存在多种情况，需要根据定义的条件，对可能的情形进行分类，逐一分析，避免漏解。 4. 验证结果，回归定义：得到结果后，需要将结果代回题目，验证是否完全符合新定义的所有条件，确保答案的正确性。 3、 高频考点梳理 1. 新定义“点” 题目会定义一种特殊的点（如“和谐点”“伴随点”），这类点通常与二次函数图像存在特定关系（如在图像上、到顶点距离为定值、与图像的交点满足特定条件）。 解题关键：根据定义写出点的坐标满足的关系式，结合二次函数的解析式，求解参数或坐标。 2. 新定义“图形” 题目会定义一种特殊的图形（如“二次函数伴随三角形”“抛物线的内接矩形”），这类图形的边、顶点与二次函数图像紧密相关，且满足特定的几何性质（如等腰、直角、面积为定值）。 解题关键：先确定图形各顶点的坐标，再结合几何图形的性质（如勾股定理、等腰三角形三线合一、面积公式）建立方程求解。 3. 新定义“关系” 题目会定义一种二次函数与其他图形（直线、圆、三角形）之间的特殊关系（如“相切”“贴合”“匹配”），要求根据关系的条件，分析二次函数的参数或图像特征。 解题关键：将定义的“关系”转化为数学等式或不等式，结合二次函数的性质进行分析。 4、 核心能力要求 1. 信息解读能力：快速理解陌生的新定义，抓住定义的本质。 2. 知识迁移能力：将新定义的条件，转化为熟悉的二次函数、几何知识问题。 3. 分类讨论能力：面对多种可能的情况，能有序分类，全面分析，避免遗漏。 4. 方程与函数思想：通过建立方程、利用函数性质，求解参数或点的坐标。 --- 5、 常见易错点提醒 1. 误解新定义的条件，忽略定义中的限制（如点的位置、图形的形状），导致后续计算全部出错。 2. 忽略分类讨论，漏解部分情况（如等腰三角形的腰不确定、点的位置在对称轴左右两侧）。 3. 计算过程中，未结合二次函数的自变量或图像的实际范围，得到不符合题意的解。 4. 验证环节缺失，未检查结果是否完全满足新定义的所有条件。 6、 解题核心思想 这类问题本质上是“新瓶装旧酒”，所有的解题方法都来自教材中的二次函数、几何、方程知识，新定义只是题目情境的包装。解题的核心是“剥去新定义的外衣，转化为熟悉的问题”，用已学知识解决陌生问题。 例1．（2026·河南开封·一模）新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入得到关于m的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出的解析式即可； （2）先分别用t表示点P、点Q的坐标，再根据两点间距离为5列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，即，解得：； ∴二次函数， ∴二次函数的“相关二次函数”为． （2）解：由（1）可得，， ∴当时，，， ∵点与点之间的距离为5， ∴，即，解得：或． 例2．（2026·山东聊城·一模）我们规定：对于二次函数，若其图象上的点满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点为该二次函数的“和谐点”．已知二次函数，请结合“和谐点”的定义解决下列问题： (1)求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴； (2)求该二次函数的所有“和谐点”的坐标； (3)已知二次函数（为常数）不存在“和谐点”，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标，其对称轴为直线； (2)或 (3) 【分析】（1）由求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）由“和谐点”定义可得，则，解方程计算即可； （3）由“和谐点”定义可得，则，根据二次函数（为常数）不存在“和谐点”，则方程无解，得到，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标，其对称轴为直线； （2）解：由“和谐点”定义可得， ∵， ∴， 解得， ∴或， ∴二次函数的所有“和谐点”的坐标为或； （3）解：由“和谐点”定义可得， ∵， ∴， 整理得， ∵二次函数（为常数）不存在“和谐点”， ∴方程无解， ∴， 解得． 变式1．（2026·山东日照·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位后与轴交于、两点，若线段，求的取值范围； (3)若定义：当在抛物线的对称轴同一侧，且满足时，称为二次函数的黄金区间．请问该二次函数是否存在黄金区间？若存在，请求出黄金区间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，黄金区间为 【分析】（1）把代入求得a的值即可解答； （2）先求得平移后新的函数解析式，再求出新函数解析式于x轴的交点坐标，再根据线段列关于t的不等式求解即可； （3）分对称轴左侧和右侧两种情况，结合函数增减性和黄金区间的定义，建立方程或方程组，求解并判断是否有符合条件的区间即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）解：抛物线向下平移个单位后的函数解析式为， 令，则． 设方程的两根为​，则． 由根与系数的关系可得， ∵， ∴，即，解得：． 所以 t 的取值范围为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线，开口向上，顶点为． ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 黄金区间定义： 在对称轴同一侧，且． ①区间在对称轴右侧（），此时y随x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴m，n 是方程 的两个根，解得， ∴，即； ②区间在对称轴左侧，此时y随x的增大而减小； ∴当时，，当时，， ∴​ 两式相减： ， ∵，即， ∴，即， 将代入得，即， ∴， ∴方程无实根，故左侧不存在黄金区间． 综上，存在黄金区间，为． 变式2．（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可； 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是. 1．（2026·四川成都·二模）如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线表达式； (2)当时，求当面积最大值时点的坐标； (3)定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点为且过原点，设顶点式，将代入，解得，故抛物线表达式为； （2）由直线得，证得，结合根与系数的关系求得，得到直线解析式；再用割补法表示的面积，转化为二次函数求最值，得； （3）设中点，用中点公式表示，代入直线得“伴生曲线U”：；根据直线过点得，联立后令判别式，解得． 【详解】（1）解：∵为抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 将原点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时， 解得， ， 过A，C分别作轴的垂线，垂足为M，N，如图， ∴， ， ， ， 设， ∴， ∴，即， 联立， ∴ ， ，， 将代入中， 得 解得， 将和代入中， 得 解得或， 由图可得，， 又∵， ， ∴ ， 直线的解析式为． 由题意得，设， 过作轴交于点，连接，如图， ∴， ∴ ， 由图可得， ， ∵为定值， ∴当时，最大，此时面积最大， ∴， 点的坐标为； （3）解：设， 由（2）知， 为中点， ， ∴， 点在直线上， ∴将代入得， ， 伴生曲线U为， ∵直线过， ∴ 解得， ∴， 联立直线与伴生曲线得， ， ∵直线与伴生曲线有且只有一个交点， ∴， 解得． 2．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， 画图如图所示： ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 3．（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 【答案】(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析； (2)； (3)①；②的最大值为． 【分析】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值． （1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”； （2）根据定义列方程，即可求解参数； （3）① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求； ② 利用对称性表示的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值． 【详解】（1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下： 先将抛物线配方：， 顶点坐标为，顶点到直线的距离为：， 联立抛物线与直线的方程：， 解得，，截距为， 截距的一半为，而顶点到直线的距离为，， 因此不具有“等距截线性质”； （2）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”： 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为： 联立抛物线与直线的方程：， 设两根为，由韦达定理，，， 截距为：， 根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半： 令（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则， 代入得：， 解得（舍去），故； （3）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为： ① 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为， 根据定义，距离等于截距的一半，即，解得或， 又因为抛物线开口向上，顶点在直线下方（否则截距不存在或不符合定义）， 故； ② 由①得抛物线为，关于直线对称， 设，则， 抛物线， 抛物线的最低点即顶点为， 在上方，在下方， ，解得， 的长度为：， ，即的最大值为． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键： （1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果； ②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果； （2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，， ∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，， ∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使， ∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为， ∴； ∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点， ∴； ∵是该函数图像的生长点， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴， ①当点在线段上时，则：， ∴， 解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意； ∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴， ∴， 把，代入，得：， ∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 5．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 6．（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是； 由得：原抛物线为， ∴， 将变形为代入得出， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； 同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； ∴距离为：． 7．（25-26九年级下·河南洛阳·一模）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于m的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于s的方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设点P的坐标为，由定义知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为或； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 整理得：， ∴， 解得：． 8．（2026·湖南长沙·二模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成： (1)点的“简朴”点是________； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”； (3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“简朴曲线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“简朴曲线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当0≤c≤3时，n的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是， ∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即． 故答案为：． （2）将点M（1，-3）代入抛物线得：，解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“简朴曲线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“简朴曲线”为： ， 即 ∵其顶点坐标为（m，n）， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为， ∴当0≤c≤3时，n的取值范围是． 9．（2025·江苏宿迁·三模）已知二次函数，我们定义其“开口大小”如下：若存在一点在该抛物线上，满足，其中为抛物线的顶点，则称为该抛物线的开口大小，称点P为抛物线的“标志点”．如：二次函数的顶点坐标为，在函数图像上取点，则有，所以二次函数的开口大小为，“标志点”为，根据上述材料，解决下列问题： (1)抛物线的开口大小是______； (2)对于抛物线，是否存在满足定义条件的“标志点”？若存在，求出点的坐标，若不存在，请简要说明理由； (3)已知某抛物线的“标志点”为，且开口大小为4，求该抛物线的解析式． 【答案】(1)2 (2)存在，标志点 (3)抛物线的解析式为或 【分析】题目主要考查二次函数的性质，新定义的理解，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意确定顶点坐标，再由标志点的定义得出，即可求解开口大小； （2）设标志点，则，根据题意得出抛物线的顶点坐标为：，根据定义得出方程求解判断即可； （3）设抛物线的解析式为，顶点坐标为，根据题意得出，分两种情况分析：当时，当时，结合定义分别求解即可． 【详解】（1）解：解：∵， ∴顶点坐标为， ∵在该抛物线上，满足， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴开口大小为：， 故答案为：2； （2）设标志点，则， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵标志点在该抛物线上，满足， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， 当时，， ∴标志点； （3）设抛物线的解析式为，顶点坐标为， ∵开口大小为4，“标志点”为， ∴， ∴， 当时，， ∴， 此时， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， ∴， 此时， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 综上可得：抛物线的解析式为或． 10．（2026·四川成都·模拟预测）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $