精品解析：2026 年河南省中招考试能力提升第二次调研 数 学

2026年河南省中招考试能力提升第二次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上有一点，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 由数轴可得点表示的数在和之间， 故点表示的数可能是． 2. 2026年春节期间，河南省接待国内游客6281万人次，旅游收入376.8亿元，带动零售和餐饮企业累计销售总额28.4亿元，实现平稳增长．用科学记数法表示28.4亿是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，解题关键是先转换单位，再确定和的值． 【详解】解：28.4亿． 3. 如图，斗彩雉鸡牡丹纹缸图案绘制精湛、设色艳丽、画面清晰明快，鲜花怒放，枝繁叶茂，展现出姹紫嫣红、春意盎然的景致，胎体厚重但器型端庄规整，是清康熙时期的罕见之作．以下关于斗彩雉鸡牡丹纹缸的说法正确的是（ ） A. 俯视图是一个正方形 B. 主视图和左视图相同 C. 截面可以是三角形 D. 侧面展开图是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、俯视图是两个同心圆，故A错误； B、主视图和左视图都是等腰梯形，故B正确； C、圆台的截面不能是三角形，故C错误； D、侧面展开图是扇环，故D错误． 4. 关于数据的收集，下列说法正确的有（ ） ①小刚调查全班同学最喜欢的体育活动应该用普查； ②神舟二十三号载人飞船发射前对零件的检查工作应该用抽样调查； ③了解一批笔芯的使用寿命，应该用抽样调查； ④小颖想要调查全市70岁以上老人的健康状况，她应该前往医院抽样调查老人一年生病的次数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①调查全班同学，总体数量少，需要准确结果，适合用普查，①说法正确； ②神舟飞船发射对零件安全性要求极高，所有零件都必须检查，必须用普查， 不能用抽样调查，②说法错误； ③测试笔芯使用寿命会破坏笔芯，且这批笔芯总体数量大，适合用抽样调查，③说法正确； ④仅在医院抽样，样本为就医老人，不具有全市70岁以上老人健康状况的代表性， 抽样方法错误，④说法错误； 综上，正确的说法共有2个． 5. 如图，与相切于点，连接，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由切线的性质可得，结合圆周角定理可得即可求解． 【详解】解：与相切于点， ，又， ， ． 6. 河南博物院在2026年春节档推出的《国宝欢乐耶》是该院首部原创文物歌舞剧，它讲述了这样一个奇幻故事：沉睡千年的国宝们在博物馆熄灯后“复活”，为了探寻“何以文明”的奥秘，踏上了一场精彩的冒险．小明和小亮得知消息后都计划在某天去河南博物院观看演出，若《国宝欢乐耶》每天有三场演出，两人随机选择其中一场，恰好观看同一场演出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列树状图，再找出满足条件的结果，代入概率公式计算即可. 【详解】解：设三场演出分别为，根据题意画树状图如下， 总共有9种情况，其中符合题意的有3种， 故所求概率为． 7. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围． 【详解】解不等式组 ， 解不等式①，移项得 ，即 ， ∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律 ∴ ． 8. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列出关于的不等式，求出的取值范围，再对照选项得到答案. 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得， 对照选项，只有选项D的满足. 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到，连接．设线段的长度为，的面积为．当点在上运动的过程中，与的函数关系如图2所示，图象上最高点的坐标为，则矩形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，设，由题意可得，由勾股定理可得，证明为等边三角形，作于点，表示出，结合函数图象计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 设， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作于点， ， 则， ∴， ∴的面积为， 由函数图象可得，函数图象是一条开口向上的抛物线，随着的增大而增大， ∵图象上最高点的坐标为， ∴此时点运动到点，即， 将代入可得：， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一次函数中，随的增大而增大．请写出一个符合要求的值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大，据此写出一个满足条件的的值即可. 【详解】解： 一次函数中，随的增大而增大， ， 故可取. 12. 如图，一艘小船从岛出发，沿北偏东方向行驶一段时间到达暗礁后，右转继续前进，此时的大小为_______． 【答案】##度 【解析】 【详解】解：如图， 过点作，则， ∴， ∴ 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，在轴上，是上的一点，，交于点，点的坐标为，若，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先证，由面积比得到，进而得到即可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是平行四边形， 则，， ， ， ， 又， ，即， 解得，则， ． 14. 一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果，那么这个图形的周长是_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 由题意可得，图形的周长是． 15. 我们将筝形定义为：一条对角线被另一条对角线垂直且平分的四边形．如图，在中，，，分别在边上取点，使四边形是筝形，则筝形的对角线的长为_______． 【答案】3或 【解析】 【分析】先解，再分垂直平分和垂直平分两种情况进行求解． 【详解】解：在中，，， ， 又四边形是筝形， 如图，当垂直平分时，相交于点， 则垂直平分， ，又， 为等边三角形， ； 如图，当垂直平分时，相交于点，过作， ，， ， ， ， ， ， 综上，的长为3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数进行解答即可； （2）利用完全平方公式和多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 17. 某中学生物社团在学校两块面积相等的试验田中分别种植了“美豫168”和“豫单888”两个品种的玉米，两块试验田的播种数量与田间管理保持一致．播种40天后，同学们在两块玉米田中各随机选取了30株玉米测量、记录高度，并对这些数据进行整理、分析，绘制了两个品种玉米高度统计表和“美豫168”高度扇形统计图（如下）．（玉米高度用表示，共分为四组：；D．） 两个品种植株高度统计表 平均数 中位数 众数 方差 D组所占百分比 美豫168 110.7 113 105 66.7 豫单888 111.1 112 116 49.4 请根据以上信息解决问题： （1）若两种品种C组的频数均为6，则___________； （2）每块试验田均播种6000粒种子，若全部种子都出芽且40天内没有植株死亡，请估计两块试验田中高度不低于的植株共有多少株； （3）如果要选一种品种进行推广，应该选择哪一种？请说明理由． 【答案】（1）10 （2）两块试验田中高度不低于的植株共约有7620株 （3） 豫单888， 理由如下：它的平均数略高，方差较低，说明此品种长势较好且更稳定． 【解析】 【分析】（1）先求得C组的占比，再求解即可； （2）利用样本估计总体求解即可； （3）根据“方差”的意义判断即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 解：（株）． 答：两块试验田中高度不低于的植株共约有7620株． 【小问3详解】 略 18. 如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． （1）求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； （2）已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； （3）若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【答案】（1） 解：由题意，得：， ∴， 如图， （2）点左侧所挂物体所受的重力为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格信息可得，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为，可得，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设重力为， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵弹簧测力计的示数不超过， ∴， 解得：， ∵为一根长的匀质木杆的中点， ∴， 综上：． 19. 如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点．在半圆上存在一点使得与平行． （1）请你用圆规和不带刻度的直尺作出点，连接，（保留作图痕迹，不需要写作法）； （2）若，求的长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作即可． （2）如图，连接，与交于点，连接，求解，进一步利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，与交于点，连接， 为直径， ． ∵， ， ， 点是的中点． 又点是的中点， ． ， ． 在中，． 在中，． 20. 清明节期间，王先生的工作团队一起参加了洛阳牡丹节．他们计划先去王城公园赏花，之后的行程大家有不同的意见，有人想去以道教文化为主题的雄奇山岳景区——老君山，也有人想去观看营造了盛唐氛围的沉浸式演出——《唐宫乐宴》．王先生查询了这两个地方的票价后发现：若有3人选择去老君山，5人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1660元；若有4人选择去老君山，4人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1520元．（购票时均不能购买团体票） （1）老君山和《唐宫乐宴》的票价分别是多少？ （2）若该团队又增加了2人，共10人出行，先一起去了票价为50元的牡丹文化节，后每人都在老君山和《唐宫乐宴》中选择一处游玩，若去老君山的人数不多于去《唐宫乐宴》人数的一半，则他们团队在门票上的总花费最少是多少？ 【答案】（1）老君山的票价为120元，《唐宫乐宴》的票价为260元 （2）他们团队在门票上的总花费最少为2680元 【解析】 【分析】（1）设老君山的票价为元，《唐宫乐宴》的票价为元，根据若有3人选择去老君山，5人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1660元；若有4人选择去老君山，4人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1520元，列出方程组，解方程组即可； （2）设有人去老君山，他们团队在门票上的总花费为元，根据去老君山的人数不多于去《唐宫乐宴》人数的一半，列出不等式，求出，再得出．3100，根据一次函数的增减性，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设老君山的票价为元，《唐宫乐宴》的票价为元， 由题意得， 解得， 答：老君山的票价为120元，《唐宫乐宴》的票价为260元． 【小问2详解】 解：设有人去老君山，他们团队在门票上的总花费为元， 由题意得， 解得． 3100． ， 随的增大而减小， 为整数， 当时，取最小值，最小值为（元）． 答：他们团队在门票上的总花费最少为2680元． 21. 一学习小组想要测量路口路灯的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮（）站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子（）长度为3.2米；小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定（），测得此时小亮的影子（）长度为2.4米． （1）路灯的高为多少？ （2）学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议． 【答案】（1）路灯的高为13.6米 （2）多次测量取平均值 【解析】 【分析】（1）设长为米，长为米，证明，根据相似的性质可得，再证，得到，联立即可求解； （2）多次测量取平均值（合理即可）． 【小问1详解】 设长为米，长为米． ， ． ，即． ， ． ，即． 解得 答：路灯的高为13.6米． 【小问2详解】 多次测量取平均值（合理即可）． 22. 如图，点和点是平面直角坐标系中的两个点． （1）若二次函数经过两点，请求出此二次函数的关系式和函数的最大值； （2）若将（1）中的二次函数图象向下平移个单位长度后，与轴交于，两点（点在点左侧）且，求函数图象的平移距离； （3）若二次函数的图象经过点，且当时函数的最小值为，请直接写出的值． 【答案】（1）解析式为，函数有最大值4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解平移后的解析式为，设平移后与轴交于，两点（点在点左侧），可得，，结合可得答案； （3）求解二次函数为，可得抛物线的对称轴为直线，再分两种情况求解即可. 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点和点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴当时，函数最大值为. 【小问2详解】 解：二次函数的图象向下平移个单位长度可得函数解析式为：， ∵设平移后与轴交于，两点（点在点左侧） ∴当，即， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 解得：（经检验符合题意）. 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 此时当时，函数取最小值， ∴， 解得：， 当时，而， ∴当时，当时函数取最小值， ∴， 解得：， 综上：的值为或. 23. 有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ （1）小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； （2）小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 【答案】（1） 解：是，理由如下， 由折叠的性质可知，， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， , ， ， 四边形为菱形； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，由平行的性质可得，即，进而得到即可证明； （2）①同理可证为菱形，再证，，进而得到； ②延长交于，当时，可证与重合，进而得到，则四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当时，， 同理可证四边形为菱形， ， 由折叠可知，， ， 又，则，即， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）； ②的边满足条件时，四边形是矩形， 延长交于， 由①知时，， ， ， ， ，则， 又， ， 又， 与重合， 由折叠可知， 又， ，又， 则四边形是矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招考试能力提升第二次调研 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上有一点，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年春节期间，河南省接待国内游客6281万人次，旅游收入376.8亿元，带动零售和餐饮企业累计销售总额28.4亿元，实现平稳增长．用科学记数法表示28.4亿是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，斗彩雉鸡牡丹纹缸图案绘制精湛、设色艳丽、画面清晰明快，鲜花怒放，枝繁叶茂，展现出姹紫嫣红、春意盎然的景致，胎体厚重但器型端庄规整，是清康熙时期的罕见之作．以下关于斗彩雉鸡牡丹纹缸的说法正确的是（ ） A. 俯视图是一个正方形 B. 主视图和左视图相同 C. 截面可以是三角形 D. 侧面展开图是矩形 4. 关于数据的收集，下列说法正确的有（ ） ①小刚调查全班同学最喜欢的体育活动应该用普查； ②神舟二十三号载人飞船发射前对零件的检查工作应该用抽样调查； ③了解一批笔芯的使用寿命，应该用抽样调查； ④小颖想要调查全市70岁以上老人的健康状况，她应该前往医院抽样调查老人一年生病的次数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，与相切于点，连接，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 河南博物院在2026年春节档推出的《国宝欢乐耶》是该院首部原创文物歌舞剧，它讲述了这样一个奇幻故事：沉睡千年的国宝们在博物馆熄灯后“复活”，为了探寻“何以文明”的奥秘，踏上了一场精彩的冒险．小明和小亮得知消息后都计划在某天去河南博物院观看演出，若《国宝欢乐耶》每天有三场演出，两人随机选择其中一场，恰好观看同一场演出的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 9. 已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到，连接．设线段的长度为，的面积为．当点在上运动的过程中，与的函数关系如图2所示，图象上最高点的坐标为，则矩形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知一次函数中，随的增大而增大．请写出一个符合要求的值：_______． 12. 如图，一艘小船从岛出发，沿北偏东方向行驶一段时间到达暗礁后，右转继续前进，此时的大小为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，在轴上，是上的一点，，交于点，点的坐标为，若，则点的坐标为_______． 14. 一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果，那么这个图形的周长是_______．（结果保留） 15. 我们将筝形定义为：一条对角线被另一条对角线垂直且平分的四边形．如图，在中，，，分别在边上取点，使四边形是筝形，则筝形的对角线的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某中学生物社团在学校两块面积相等的试验田中分别种植了“美豫168”和“豫单888”两个品种的玉米，两块试验田的播种数量与田间管理保持一致．播种40天后，同学们在两块玉米田中各随机选取了30株玉米测量、记录高度，并对这些数据进行整理、分析，绘制了两个品种玉米高度统计表和“美豫168”高度扇形统计图（如下）．（玉米高度用表示，共分为四组：；D．） 两个品种植株高度统计表 平均数 中位数 众数 方差 D组所占百分比 美豫168 110.7 113 105 66.7 豫单888 111.1 112 116 49.4 请根据以上信息解决问题： （1）若两种品种C组的频数均为6，则___________； （2）每块试验田均播种6000粒种子，若全部种子都出芽且40天内没有植株死亡，请估计两块试验田中高度不低于的植株共有多少株； （3）如果要选一种品种进行推广，应该选择哪一种？请说明理由． 18. 如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． （1）求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； （2）已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； （3）若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 19. 如图，是半圆的直径，点是半圆上的一点．在半圆上存在一点使得与平行． （1）请你用圆规和不带刻度的直尺作出点，连接，（保留作图痕迹，不需要写作法）； （2）若，求的长． 20. 清明节期间，王先生的工作团队一起参加了洛阳牡丹节．他们计划先去王城公园赏花，之后的行程大家有不同的意见，有人想去以道教文化为主题的雄奇山岳景区——老君山，也有人想去观看营造了盛唐氛围的沉浸式演出——《唐宫乐宴》．王先生查询了这两个地方的票价后发现：若有3人选择去老君山，5人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1660元；若有4人选择去老君山，4人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1520元．（购票时均不能购买团体票） （1）老君山和《唐宫乐宴》的票价分别是多少？ （2）若该团队又增加了2人，共10人出行，先一起去了票价为50元的牡丹文化节，后每人都在老君山和《唐宫乐宴》中选择一处游玩，若去老君山的人数不多于去《唐宫乐宴》人数的一半，则他们团队在门票上的总花费最少是多少？ 21. 一学习小组想要测量路口路灯的高度，但他们只带了卷尺，经过商讨，他们制定并施行了以下方案：如图，身高1.6米的小亮（）站在离路灯一定距离的地方，测得此时小亮的影子（）长度为3.2米；小亮沿影子所在直线，向路灯方向前进6米后站定（），测得此时小亮的影子（）长度为2.4米． （1）路灯的高为多少？ （2）学习小组担心自己的测量结果与路灯的真实高度相差太大，请你为该小组提供一条减少误差的建议． 22. 如图，点和点是平面直角坐标系中的两个点． （1）若二次函数经过两点，请求出此二次函数的关系式和函数的最大值； （2）若将（1）中的二次函数图象向下平移个单位长度后，与轴交于，两点（点在点左侧）且，求函数图象的平移距离； （3）若二次函数的图象经过点，且当时函数的最小值为，请直接写出的值． 23. 有下面一道题： 你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？ （1）小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由； （2）小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题： ①当___________时，； ②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $