精品解析：安徽省太和第一中学2025-2026学年度高二下学期期中考试数学试题

太和一中2025-2026学年度高二下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件 为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与 相互独立 6. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 8. 下列说法错误的为（ ） A. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲只能站最左端，丙和丁相邻的不同排列方式有12种 B. 从分别标有数字1､2､3､…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和小于8的情况有9种 C. 有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有16种 D. 在7道题中有5道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取两道题，则在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 数列的前 项和为，且 ，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前 项和等于 11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ） A. 在上是“弱减函数” B. 在上是“弱减函数” C. 若在上是“弱减函数”，则 D. 若在上是“弱减函数”，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列 是由实数构成的等比数列， ，且成等差数列，则 的公比为___． 13. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 14. 若 ，不等式恒成立，则正数的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16∼17 题每题15分，第18∼19 题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. （1）求的值； （2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； （3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 16. 在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知等差数列的前 项和为，且满足______． （1）求数列的通项公式； （2）令，其中表示不超过 的最大整数，求． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17. 在 的展开式中， （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项是第几项? 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当 时，证明 19. 已知，直线与曲线和都相切． （1）求 的值； （2）若 ，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和一中2025-2026学年度高二下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】解：函数的定义域为， ， 当 时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 2. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在 上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为 ，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在 上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 3. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差与公比，由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比，即可得解. 【详解】设的公差为，的公比为， 则由题可知，有，解得 或 （舍去），则 ， 因此. 故选：B. 4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据概念，先写出等差数列的前几项，得到通项公式，再求数列的第8项. 【详解】由题意，数列的前几项为：，且数列为等差数列，所以：，故. 故选：C 5. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件 为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型计算可判断A错误；由及可得B错误；应用条件概率公式计算判断C,由独立事件的乘法公式可以判断D. 【详解】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有 个， 事件包括，2个基本事件，所以，故A错误； 对于B：因为不互斥，，， 所以，故B错误； 对于C：事件包括4个基本事件，所以， ，故C错误； 对于D：事件 为“第一次出现偶数点”， ，， ， 与相互独立，故D正确； 故选：D. 6. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 的系数为． 7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 8. 下列说法错误的为（ ） A. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲只能站最左端，丙和丁相邻的不同排列方式有12种 B. 从分别标有数字1､2､3､…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和小于8的情况有9种 C. 有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情况有16种 D. 在7道题中有5道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取两道题，则在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是 【答案】C 【解析】 【分析】由排列组合的方法性质及条件概率进行求解． 【详解】A.丙和丁相邻的排法有种，然后将乙、戊与（丙丁）整体进行排列，排法有种， 因为甲站在最左端，所以不同的排列方法有种.故A正确. B.两张卡片和小于8的情况有：1与2；1与3；1与4；1与5；1与6；2与3；2与4；2与5；3与4共9种情况.故B正确. C.有10个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，故首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球， ①4个球分给一人，有3种分法； ②4个球分给两个人，又有两种情况，一人3个一人1个有种分法；两人都是2个有3种分法；③4个球分给3个人，只有1、1、2这种情况，有3种分法， 按照分类加法计数原理可得一共有种；故C错误. D.记第一次抽到数学题的事件为A，第二次抽到数学题的事件为B， 于是得，，由条件概率公式得， 所以在第一次抽到数学题的前提下，第二次也抽到数学题的概率是.故D正确. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题依次利用排列数、组合数的计算公式与组合数取值约束、组合数方程化简、组合数对称性质，分别代入验算A选项数值，由定义域求出 再估值判断B选项，展开整理排列组合方程求解验证C选项，借助求并计算组合数判定D选项，最终确定正确选项为ACD. 【详解】选项A，根据组合数公式，排列数公式，代入得，选项A正确. 选项B，根据组合数定义，下标大于等于上标且均为非负整数，可得不等式组，解得，又，故 ，原式转化为，选项B错误. 选项C，由排列组合定义知 且，公式展开得，即. 化简得，由题可知 ，所以，选项C正确. 选项D，根据组合数性质，得或，解得或，当时，当时，选项D正确. 10. 数列的前 项和为，且 ，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前 项和等于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为 ，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时， ，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前 项和为： ，所以D正确. 11. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”.根据定义可得（ ） A. 在上是“弱减函数” B. 在上是“弱减函数” C. 若在上是“弱减函数”，则 D. 若在上是“弱减函数”，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据在上的单调性可判断A；根据“弱减函数”的概念，利用导数判断单调性即可判断BC;由“弱减函数”的概念可得在上单调递减，在上单调递增，求导，分离参数，利用导数求最值即可判断D. 【详解】对于A选项，因为函数在上不是增函数，故A不满足条件； 对于B选项，，当时， ，故函数在上是减函数. 令，则， 故函数在上为增函数，故B满足条件； 对于C选项，若在上单调递减，由，得 ， 故的单调递减区间为. 若在上单调递增，则 . 故若在上是“弱减函数”，则 ，故C错误； 对于D选项，若在上单调递减， 则在上恒成立，即. 令， 则，令， 则， 则在上单调递减，故. 故，在上单调递减，. 所以，解得. 若在上单调递增， 则在上恒成立， 所以. 令， 则， 所以在上单调递增，. 所以，解得. 综上，，故D正确. 故选:BD. 【点睛】总结点睛： 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列 是由实数构成的等比数列， ，且成等差数列，则 的公比为___． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知条件数列 是由实数构成的等比数列，且成等差数列，列出等式求出公比 【详解】数列 是由实数构成的等比数列，且成等差数列， ， ， 则 , 化简可得 为实数 则 故答案为2 【点睛】本题主要考查了等比数列、等差数列的综合知识，只需按照题目条件列出等式即可求出结果，本题较为基础． 13. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 【答案】 【解析】 【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得. 【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 14. 若 ，不等式恒成立，则正数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，条件显然成立，所以只需处理的情况即可，此时，令，求导，利用函数的单调性转换求解即可. 【详解】， 又，所以， 当时，上式显然成立， 所以只需处理的情况即可， 此时， 令， 恒成立，所以严格递增， 在恒成立即可， 令，则， 令， 当时，，严格递增， 当时，，严格递减， 所以，所以， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，第15题13分，第16∼17 题每题15分，第18∼19 题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. （1）求的值； （2）若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； （3）若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 【答案】（1）3； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率公式列式求解. （2）利用条件概率公式求解. （3）利用全概率公式求解. 【小问1详解】 由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. 【小问2详解】 从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. 【小问3详解】 从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 16. 在①，；②公差为1，且，，成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知等差数列的前 项和为，且满足______． （1）求数列的通项公式； （2）令，其中表示不超过的最大整数，求． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出等差数列的基本项，求出数列的通项公式； （2）由（1）求出，求出、、和，求出当时，当时，当时，求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 若选①， 因为，， 所以解得， 所以； 若选②， 因为等差数列的公差为1，且成等比数列， 所以，即， 解得，所以； 若选③， 因为等差数列中，，， 所以，即， 解得，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 因为，，，， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以． 17. 在 的展开式中， （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项是第几项? 【答案】（1）1 （2） （3）第6项和第7项 【解析】 【分析】（1）借助赋值法令即可得； （2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得； （3）解不等式组即可得. 【小问1详解】 令，可得展开式中所有项的系数和为； 【小问2详解】 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 的展开式的通项为： ， 故； 【小问3详解】 由的展开式的通项为： ， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或 ， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当 时，证明 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得，进而分和两种情况讨论求解即可； （2）根据题意证明，进而令，再结合（1）得，研究函数的性质得，进而得 时， ，即不等式成立. 【小问1详解】 解：函数的定义域为， ， ∴当时，在上恒成立，故函数在区间上单调递增； 当时，由得，由 得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 证明：因为 时，证明，只需证明， 由（1）知，当 时，函数在区间上单调递增，在上单调递减； 所以. 令，则， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以. 所以 时， ， 所以当 时， 19. 已知，直线与曲线和都相切． （1）求 的值； （2）若 ，其中． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）， ； （2）（i） ；（ii）不妨设， 由（i）知， ， 显然，且 ，所以， 同理，． 要证 ，只需证， 只需证． 又 ，只需证 ． 令函数 ，则 ， 所以函数在（0，1）上单调递增， 由 得 ，所以 显然成立， 综上， ． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可； （ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可. 【小问1详解】 ． 设与 的切点为 ， 则 ，解得，所以． 由与相切，同理得， 所以 ． 【小问2详解】 （i）由 得直线 与 有两个不同的交点，与有两个不同的交点， 由（1）知，，， 在上单调递减，在上单调递增； ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 又，且 ； ，且 ， 作出函数和的图象， 由图象知的取值范围为 ． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $