精品解析：福建漳州市漳浦县2025-2026学年八年级下期中数学试题

2025-2026学年第二学期期中检测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年春晚主题为“骐骥驰骋势不可挡”，其主标识以“四马齐驱”为核心创意，融合中国传统云纹、雷纹、回纹，勾勒出四匹骏马齐头并进、拾级而上的动态意象，象征团结奋进、势不可挡的时代精神．请你根据图形判断该主标识属于哪种数学变换（ ） A. 轴对称 B. 中心对称 C. 平移 D. 旋转 3. 如图是车辆限高标志，车辆的高的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角必为锐角 B. 有一个角是的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 斜边相等的两个直角三角形全等 5. 下列四张扑克牌各自旋转后，图案不发生改变的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题纸的相应位置． 11. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为______ ． 12. 若数轴上从左到右顺次排列的2个点分别表示两个实数和，则a的取值范围是________． 13. 如图，一次函数（，是常数）的图象，则不等式的解集是______． 14. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角．如图，其中，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗站立时高度_______． 15. 如图，点I为的平分线和的平分线的交点，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 16. 点沿着动点所在的直线方向平移个单位长度到点，则点的坐标为______． 三、解答题：本题共9题，共86分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形． 19. 在2026年春晚舞台上，《武BOT》中呈现的人形机器人与武术演员同台表演形式．该表演将传统武术与智能科技结合，展示空翻、耍棍、醉拳及六合拳对练等高难度动作．在舞台台面上建立一个平面直角坐标系．如图，三个机器人、、构成，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续变换，绕点顺时针旋转得到，则此时的坐标________． 20. 证明命题：在三角形中，如果某个角的平分线与这个角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．学习小组通过作垂线以及证明全等的思路得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 21. 如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1． （1）写出旋转角的度数； （2）求证：∠A1AC＝∠C1． 22. 为落实“十五五”绿色低碳发展，我县交通局计划采购一批新能源公交车，包括纯电动公交车和氢燃料公交车两种车型．每辆纯电动公交车售价120万元，每辆氢燃料公交车售价180万元，交通局共采购两种车型20辆． （1）若总购车款为3000万元，求采购的纯电动公交车和氢燃料公交车各多少辆？ （2）若每辆纯电动公交车每年可减少碳排放60吨，每辆氢燃料公交车每年可减少碳排放80吨．交通局要求这批新车每年减少的碳排放总量不低于1400吨，则纯电动公交车的数量最多可以是多少辆？ 23. 【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 24. 新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． （1）根据上述定义填空：_______； （2）关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； （3）若，求所有满足条件的实数的值． 25. 如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求OC、BC的长； （2）当t＝1时，求△CPQ的面积； （3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中检测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上！请不要错位、越界答题！！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A， ，可得，但不一定小于，例如时， ，原变形错误，不符合题意． B， ，不等式两边同时减2，不等号方向不变， ，原变形正确，符合题意． C， ，不等式两边同时乘，不等号方向改变， ，原变形错误，不符合题意． D， ，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，，原变形错误，不符合题意． 2. 2026年春晚主题为“骐骥驰骋势不可挡”，其主标识以“四马齐驱”为核心创意，融合中国传统云纹、雷纹、回纹，勾勒出四匹骏马齐头并进、拾级而上的动态意象，象征团结奋进、势不可挡的时代精神．请你根据图形判断该主标识属于哪种数学变换（ ） A. 轴对称 B. 中心对称 C. 平移 D. 旋转 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移、轴对称、旋转及中心对称的定义，结合图形中四个“马”形图案的形状、大小及方向特征进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知，该主标识由四个形状、大小完全相同的图案组成 且这四个图案的方向一致，未发生旋转或翻折， ∵平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动， ∴该图形可以看作是由一个基本图案通过平移得到的， ∴该主标识属于平移变换． 3. 如图是车辆限高标志，车辆的高的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据限高标志的含义可知，车辆高度不能超过，且高度必须大于，据此列出不等式组并在数轴上表示即可． 【详解】解：标志为限高 车辆高度应满足 又车辆高度必须为正数 车辆高度的范围是 在数轴上表示为：处为空心圆圈向右，处为实心圆点向左． 观察选项，只有D选项符合． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 等腰三角形的底角必为锐角 B. 有一个角是的三角形是等边三角形 C. 等腰三角形的顶角一定是锐角 D. 斜边相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 等腰三角形两个底角相等，三角形内角和为，若底角为直角或钝角，则两个底角的和 ，加上顶角后内角和超过，不符合三角形内角和定理 ∴ 等腰三角形的底角必为锐角，A是真命题； B选项：只有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，任意三角形有一个角为不一定是等边三角形，因此B是假命题； C选项：等腰三角形顶角可以是钝角，例如顶角为，两底角各为的等腰三角形存在，因此等腰三角形顶角不一定是锐角，C是假命题； D选项：斜边相等的两个直角三角形，直角边不一定对应相等，无法判定全等，因此D是假命题． 5. 下列四张扑克牌各自旋转后，图案不发生改变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：将图A，B，C绕某点旋转图案都发生了变化，而图D绕中心点旋转，图案没有发生变化，所以D符合题意． 6. 将一副三角板按照如图方式摆放，点、、共线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质．先求出的度数，再根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数． 【详解】解：由三角板的性质可得，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7. 用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法的方法进行第一步假设即可得到答案． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”的第一步应先假设， 故选：A． 8. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得直线是线段的垂直平分线，可得，再结合题意得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得，进而得出关于的方程，则答案可得． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴，即． 在中，， ∴， 即， 解得． 9. 如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再根据30度角的直角三角形的性质得，运用勾股定理得，然后代入数值计算，得，再结合旋转性质以及勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直线与轴，轴分别交于、两点 ∴令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 在中，， 即， 解得， ∵把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上）， ∴，， 过点作，如图所示： 则在中，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 10. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题纸的相应位置． 11. 如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置从点运动到了点，则的度数为______ ． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据题意得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 若数轴上从左到右顺次排列的2个点分别表示两个实数和，则a的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，求不等式的解集，根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大列出不等式求解． 【详解】解：由题意，得 解得． 故答案为：． 13. 如图，一次函数（，是常数）的图象，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据由函数图象可知，当时，一次函数图象位于轴的上方即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，一次函数图象位于轴的上方，即， ∴不等式的解集是． 14. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角．如图，其中，站立时，且保持所在直线始终与地面垂直，则机器狗站立时高度_______． 【答案】 【解析】 【分析】作，交于点H，根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点B作，交于点H， ∵， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， ∴． 15. 如图，点I为的平分线和的平分线的交点，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接AI，BI，由点I为△ABC的内心，得到AI平分∠CAB，根据角平分线的定义得到∠CAI=∠BAI．根据平移的性质得到AC∥DI，由平行线的性质和等角对等边得到AD=DI，BE=EI，根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：连接AI，BI， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB， ∴∠CAI=∠BAI． 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI=∠AID． ∴∠BAI=∠AID， ∴AD=DI． 同理可得：BE=EI， ∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB， 因为，即图中阴影部分的周长为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查角平分线的定义、平移的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义、平移的性质和平行线的性质和等角对等边． 16. 点沿着动点所在的直线方向平移个单位长度到点，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出动点运动所在直线的解析式，得到运动方向的直线的，再求出点平移所在直线的解析式，设出点的坐标，利用平移距离结合两点间距离公式列方程，求解即可得到点的坐标． 【详解】解：由动点，消去参数得所在直线解析式为， 可知运动方向与点平移方向相同，因此点平移所在直线， 设点平移所在直线解析式为，将代入得 ， 解得， 因此点平移所在直线解析式为． 设，由平移距离为，根据两点间距离公式得 ， 整理得 ，即， 解得或. 当时，，此时； 当时，，此时． 三、解答题：本题共9题，共86分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示为： 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集是． 18. 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．求证：△BCD为等腰三角形． 【答案】 证明：在中，，， ， 平分， ， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】先根据三角形内角和得：，由角平分线及已知角可得：，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的证明，角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质． 19. 在2026年春晚舞台上，《武BOT》中呈现的人形机器人与武术演员同台表演形式．该表演将传统武术与智能科技结合，展示空翻、耍棍、醉拳及六合拳对练等高难度动作．在舞台台面上建立一个平面直角坐标系．如图，三个机器人、、构成，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． （1）在图中画出； （2）为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； （3）队形继续变换，绕点顺时针旋转得到，则此时的坐标________． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：画出如图所示， 的坐标为． 20. 证明命题：在三角形中，如果某个角的平分线与这个角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．学习小组通过作垂线以及证明全等的思路得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： （1）尺规作图：过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 过点D作的垂线如下图： （2） 证明：∵于点E，于点F， ∴． 又平分， ∴． 又∵D是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据作垂线步骤，过点D作的垂线即可． （2）由垂线的定义得出，由角平分线的性质定理得出，由线段中点的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，由等角对等边得出． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 略． 21. 如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1． （1）写出旋转角的度数； （2）求证：∠A1AC＝∠C1． 【答案】（1）60°； （2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1， ∴A1B=AB，∠C=∠C1， 由（1）知，∠ABA1=60°， ∴△A1AB是等边三角形， ∴∠BAA1=60°， ∴∠BAA1=∠CBC1， ∴AA1∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠A1AC=∠C（两直线平行，内错角相等）， ∴∠A1AC=∠C1． 【解析】 【分析】（1）∠CBC1即为旋转角，其中∠ABC=120°，所以，∠CBC1=180°-∠ABC； （2）由题意知，△ABC≌△A1BC1，易证△A1AB是等边三角形，得到AA1∥BC，继而得出结论； 【详解】（1）解：∵∠ABC=120°， ∴∠CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°， ∴旋转角为60°； （2）略 22. 为落实“十五五”绿色低碳发展，我县交通局计划采购一批新能源公交车，包括纯电动公交车和氢燃料公交车两种车型．每辆纯电动公交车售价120万元，每辆氢燃料公交车售价180万元，交通局共采购两种车型20辆． （1）若总购车款为3000万元，求采购的纯电动公交车和氢燃料公交车各多少辆？ （2）若每辆纯电动公交车每年可减少碳排放60吨，每辆氢燃料公交车每年可减少碳排放80吨．交通局要求这批新车每年减少的碳排放总量不低于1400吨，则纯电动公交车的数量最多可以是多少辆？ 【答案】（1） 采购纯电动公交车10辆，氢燃料公交车10辆 （2） 纯电动公交车最多可以是10辆 【解析】 【分析】（1）设采购的纯电动公交车x辆，氢燃料公交车y辆，根据采购两种车型的辆数和为20辆，及采购两种车型的车款和等于3000万元得出方程组，求出解即可； （2）设纯电动公交车为a辆，则氢燃料公交车辆，根据纯电动公交车和氢燃料公交车每年减少的碳排放总量大于等于1400吨列出不等式，求出解集，再根据解集得出答案． 【小问1详解】 解：设采购的纯电动公交车x辆，氢燃料公交车y辆， 根据题意，得， 解得， 所以采购的纯电动公交车10辆，氢燃料公交车10辆； 【小问2详解】 解：设纯电动公交车为a辆，则氢燃料公交车辆， 根据题意，得， 解得， 所以纯电动公交车最多可以是10辆． 23. 【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【解析】 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 24. 新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． （1）根据上述定义填空：_______； （2）关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； （3）若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 25. 如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）求OC、BC的长； （2）当t＝1时，求△CPQ的面积； （3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 【答案】（1）OC＝2，BC＝2；（2）S△PQC＝；（3）t为或时，△OPM是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）求出∠B，根据直角三角形性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可； （2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，求出PQ，CH即可解决问题． （3）有三种情况：①OM＝PM时，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP时，此时不存在等腰三角形；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG＝t﹣2，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2， ∴∠B＝30°， ∴OA＝OB＝， 由勾股定理得：AB＝3， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B， ∴OC＝BC， 在△AOC中，AO2+AC2＝CO2， ∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2， ∴OC＝2＝BC， ∴OC＝2，BC＝2． （2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1， ∴PQ∥OB， ∴∠CPQ＝∠B＝30°， ∵CQ＝CP．CH⊥QP， ∴QH＝PH， ∴CH＝PC＝，QH＝PH＝CH＝， ∴QP＝ ∴S△PQC＝•PQ•CH＝××＝． （3）如图（2）所示： ∵ON⊥OB， ∴∠NOB＝90°， ∵∠B＝30°，∠A＝90°， ∴∠AOB＝60°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC＝30°， ∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°， ①OM＝PM时， ∠MOP＝∠MPO＝30°， ∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°， ∴OP＝2OQ， ∴2（t﹣2）＝4﹣t， 解得：t＝， ②PM＝OP时， 此时∠PMO＝∠MOP＝30°， ∴∠MPO＝120°， ∵∠QOP＝60°， ∴此时不存在； ③OM＝OP时， 过P作PG⊥ON于G， OP＝4﹣t，∠QOP＝60°， ∴∠OPG＝30°， ∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t）， ∵∠AOC＝30°，OM＝OP， ∴∠OPM＝∠OMP＝75°， ∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°， ∴PG＝QG＝（4﹣t）， ∵OG+QG＝OQ， ∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2， 解得：t＝． 综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握以上知识点是解决此类综合性较强的问题的关键，同时解决动点问题时要注意分情况考虑． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $