精品解析：福建省漳州市漳浦县中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

漳浦县中学2024—2025学年第二学期期中检测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 已知，则下列不等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，．可以判定的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 5. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的角平分线，， ，，P，Q分别是和上的任意一点；连接，给出下列结论： ①； ②； ③的最小值是； ④若PA平分，则的面积为9．其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 若m为非负数，则用不等式可表示为________． 12. 等腰三角形一个角度数是40°，则其顶角的度数为________． 13. 如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），A，B，C，D均为格点（网格线的交点），直线与所夹的锐角度数为________． 14. 某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是_____． 15. 如图，在中，，点是上一点，连接，若，，，则________． 16. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点对应点，则线段的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 18. 如图，，，若，求度数． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程解满足，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 20. 下面是小华同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，使． 作法：①如图，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接．可知即为所求的角． 根据小明设计的尺规作图过程，回答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）求证：． 21. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在上，点O为原点，点，． （1）画出关于坐标原点O成中心对称的； （2）将绕点O顺时针旋转后得到，请在图中作出，并直接写出点的坐标； （3）连接，求度数． 22. 如图，已知，点E为CD上一点，AE、BE分别平分、，BE交AD的延长线于点F。 （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：。 23. 如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1． （1）求证：∠ABE=∠CAD； （2）求BP和AD的长． 24. 已知正整数x，y满足，且满足不等式组． （1）请用反证法证明：； （2）求所有符合条件的正整数对． 25. 在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（） （1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度． （2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明． （3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长． （4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漳浦县中学2024—2025学年第二学期期中检测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填涂到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂． 1. 已知，则下列不等式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可得到答案． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否必然成立． 【详解】解：A、不等式两边乘以，不等号的方向不变，故正确，不符合题意； B、不等式两边减去，不等号的方向不变，故正确，不符合题意； C、当时，，故原式错误，符合题意； D、不等式两边乘以，不等号的方向改变，故正确，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，．可以判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴在和中 ， 故选：A． 3. 一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了确认一元一次不等式组的解集，正确求出每一个不等式解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”，是解答此题的关键． 由数轴知且，再确定其公共部分即可． 【详解】解：由数轴知：且， 其公共部分为：， 故答案为：B． 4. 如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，则的值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， ， ， 故选：A． 5. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 6. 如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【详解】∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 7. 已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 8. 若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 确定不等式组解集时，同大取大，即可得出答案． 【详解】解：不等式组的解集是， 根据同大取大原则可知：， 当时，不等式组的解集也是， ， 故选B． 9. 如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和公式等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得、，再结合可得是等边三角形，则；然后根据三角形内角和公式可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 10. 如图，是的角平分线，， ，，P，Q分别是和上的任意一点；连接，给出下列结论： ①； ②； ③的最小值是； ④若PA平分，则的面积为9．其中错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】①根据等腰三角形的性质得出垂直平分，得出，根据三角形三边关系即可得出结论；②根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质证明得出即可得出结论；③过点A作于点M，当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可作出判断；④过点P作于点N，得出，求出即可求出结果，从而作出判断． 【详解】解：①∵，是的角平分线， ，， 垂直平分， ， ， ， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵是的角平分线， ， ， ∴， ∵， ， ∵， ， ， ∴， ，故②正确； ③∵，是的角平分线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 如图，过点A作于点M， 当点P在与交点上时，，此时最小，且最小值为， ∵，是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，即的最小值是，故③错误； ④过点P作于点N，如图所示： ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析可知，正确的有①②④，错误的为③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算、垂线段最短、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，作出辅助线、掌握基本的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置． 11. 若m为非负数，则用不等式可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元一次不等式，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式解答即可． 【详解】解：m为非负数用不等式可表示为， 故答案为：． 12. 等腰三角形一个角的度数是40°，则其顶角的度数为________． 【答案】40°或100° 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据为顶角或为底角两种情况，利用三角形的内角和定理和等边对等角解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形中有一个角等于， ∴①若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为； ②若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：， ∴这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 13. 如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），A，B，C，D均为格点（网格线的交点），直线与所夹的锐角度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股定理逆定理，平移的性质，等腰三角形的判定与性质，将平移到，再连接，运用网格与勾股定理算出，，，再运用勾股逆定理证明是等腰直角三角形，即可作答． 【详解】解：将平移到，再连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即直线与所夹的锐角度数为． 故答案为：． 14. 某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．若该程序只运行了2次就停止了，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 分析】按照运算程序列出不等式组求解即可． 【详解】第一次运行：，解得； 第二次运行：，解得； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式组．按照运算程序列出不等式组是本题的关键，注意第二次运行时输入的应是第一次运行后的结果． 15. 如图，在中，，点是上一点，连接，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由三角形面积关系求出，则，再由含角的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：，，，， ， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，若点为上一动点，旋转后点的对应点，则线段的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点为上一动点，旋转后点的对应点， ∴当点与点重合时，有最小值为， ∴线段的最小值是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答． 17. 解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查的是不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，，再确定解集的公共部分，再在数轴上表示不等式组的解集即可. 【详解】.解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 将解集表示在数轴上如图： 18. 如图，，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握是解题的关键．根据，则，再由，可得出，由，求出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 答： 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程的解满足，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． （1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解； （2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，代入即可求解． 【小问1详解】 解：解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：解不等式，得， ∴该不等式的最大整数解是， ∵该方程的解是不等式的最大整数解， ∴，解得． 20. 下面是小华同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，使． 作法：①如图，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接．可知即为所求的角． 根据小明设计的尺规作图过程，回答下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形外角性质得到． 【小问1详解】 解：补全的图形如图所示， 【小问2详解】 证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握几何图形的性质和基本作图方法． 21. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在上，点O为原点，点，． （1）画出关于坐标原点O成中心对称的； （2）将绕点O顺时针旋转后得到，请在图中作出，并直接写出点的坐标； （3）连接，求度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3） 【解析】 分析】本题主要考查旋转和作中心对称作图； （1）根据定义画出点A，B的关于坐标原点O成中心对称的点，然后连接即可得； （2）根据旋转的性质画出点A，B的对应点，连接即可得，写出点的坐标； （3）根据旋转的性质得到为等腰直角三角形即可解题． 【小问1详解】 解：如图所示，′即为所求作； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求作，点的坐标为； 【小问3详解】 如图，连接， ∵由旋转的性质可得：，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 22. 如图，已知，点E为CD上一点，AE、BE分别平分、，BE交AD的延长线于点F。 （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：。 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠F，然后求出∠1=∠F，从而得证； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据整理即可得证． 【详解】（1）证明：如图，∵分别平分， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵， ∴∠2=∠，∠1=∠， ∴是等腰三角形； （2）∵是等腰三角形，且平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 23. 如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ=3，PE=1． （1）求证：∠ABE=∠CAD； （2）求BP和AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）7 【解析】 【分析】（1）根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可得出结论； （2）根据含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形 ∴AB=CA，∠BAE=∠C=60° 在△ABE和△CAD中 ∴△ABE≌△CAD（SAS） ∴∠ABE=∠CAD （2）在△ABP中，∠BPQ=∠ABP＋∠BAP ∵∠ABP=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABP＋∠BAP=∠CAD＋∠BAP=∠BAC=60° ∵BQ⊥AD，PQ=3，PE=1． ∴在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，则∠PBQ=30°. ∴BP=2PQ=6 ∴BE=BP＋PE=7. 由（1）△ABE≌△CAD， ∴AD=BE=7. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 24. 已知正整数x，y满足，且满足不等式组． （1）请用反证法证明：； （2）求所有符合条件的正整数对． 【答案】（1）见解析 （2）和 【解析】 【分析】本题考查反证法，解不等式组； （1）利用反证法设，进而求出与条件矛盾，假设不成立解答即可； （2）根据（1）中结论得到x为1、2、3、4、5，分别代入求出y值解答即可． 【小问1详解】 证明：假设， 则， ∴，即，解得， 但根据，当时，，这与矛盾， ∴假设不成立， ∴； 小问2详解】 解： ∵x，y为正整数，，且由（1）知， ∴x的可能值为1、2、3、4、5， （Ⅰ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解； （Ⅱ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解； （Ⅲ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解； （Ⅳ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解， ∴正整数对符合条件； （Ⅴ）当时，则由①得， ∴，即， 解得， 由②得， 由得， ∴该不等式组无正整数解， ∴正整数对符合条件； ∴综上所述，所有符合条件的正整数对为和． 25. 在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（） （1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度． （2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明． （3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长． （4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________． 【答案】（1）60或240；或150或330；（2）；理由见解析；（3）或；（4）， 【解析】 【分析】（1）如图1中，易知当点在线段和线段的延长线上时，，此时旋转角或；如图1-1所示，过点O作于H，证明三点共线，由等边三角形的性质得到，据此求出旋转角，当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足，据此求出旋转角即可； （2）结论：．只要证明即可． （3）在图3、图4中，分别求出长求解即可． （4）如图5中，由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、，线段的长即为的最大值，线段的长即为的最小值．易知的最大值，的最小值． 【详解】解：（1）如图1中， 是等边三角形， ， 当点在线段和线段的延长线上时，， 此时旋转角或； 如图1-1所示，过点O作于H， ∵， ∴三点共线， ∵是等边三角形， ∴， ∴此时； 当点C在线段上时，即点C在位置时，此时也满足， ∴此时； 综上所述，或， 故答案为60或240；或150或330； （2）结论：，理由如下： 如图2中， 由旋转的性质可知：， ， 在和中， ， ， ； （3）①如图3中，当、、共线时，作于． 在中，，， ，， 在中，， ． ②如图4中，当、、共线时，作于． 同理可得 ∴， 综上所述，当、、三点共线时，的长为或； （4）如图5中，由题意，点在以为圆心，2为半径的上运动，过点作于，直线交于、， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且时，有最小值，最小值为； ∵， ∴， ∴当在线段上，且点P与点B重合时，有最大值，最大值为， 综上所述，的最大值为，的最小值为， 故答案为：6；． 【点睛】本题考查主要圆与三角形综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$