海南海口英雅盛彼德高级中学2025-2026学年第二学期高二下学期数学期中检测试题

**基本信息** 高二下数学期中检测题，涵盖排列组合、导数应用、二项式定理等核心知识，通过兴趣小组报名、乐队组合、地图着色等实际情境设计问题，体现数学眼光观察现实、思维推理及语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|排列计数、导数单调区间、二项式系数|基础巩固，如第1题4名学生选兴趣小组，考查分步乘法计数原理| |多选题|3|导数性质、排列分组、组合数公式|能力提升，如第9题实习医生轮岗，多条件分类讨论逻辑推理| |填空题|3|区域着色、函数极值点、二项式展开|情境应用，第11题区县地图着色，结合几何直观与计数原理| |解答题|5|切线方程、排列应用、二项式定理、函数单调性与证明|创新综合，如第15题接力赛排法，多条件（相邻/不相邻）考查数学语言表达；第18题函数零点证明，体现逻辑推理与数学思维|

2025—2026学年度第二学期 海南省海口英雅盛彼德高级中学高二（下）数学期中检测题 一、单选题 1．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．已知函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．在的展开式中，的系数是（  ） A． B．21 C．35 D． 4．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有(   ) A．36种 B．78种 C．87种 D．90种 5．若（），则（ ） A． B． C． D． 6．奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 8．已知，则（   ） A．的导函数关于直线对称 B．曲线在处的切线方程为 C．函数的极小值点为 D．函数的极大值点为0 9．将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（    ） A．若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法 B．若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法 C．若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法 D．若被安排在内科，则有56种不同的安排方法 10．下列结论正确的是（    ） A． B．（m，n为正整数且） C． D．满足方程的x值可能为1或5 三、填空题 11．如图，对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有________种.    12．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________. 13．展开式中的第3项与第5项的二项式系数相等，则______，展开式中的的系数为______． 四、解答题 14．（1）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值； （2）曲线在点处的切线与直线平行，求的值； 15．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 16．已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大. (1)求奇数项的二项式系数和； (2)，且，若能被20整除，求的值； (3)求的值. 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 18．已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求证：函数存在两个零点（记为），且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期 海南省海口英雅盛彼德高级中学高二（下）数学期中检测题 一、单选题 1．4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】直接根据乘法原理计算得到答案. 【详解】每个学生有3种选择，根据乘法原理共有种不同方法. 故选：. 【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 2．已知函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的导数与函数单调性的关系，即可求得答案. 【详解】由题意知，定义域为， 得，令，即或， 结合函数定义域可得， 故函数的单调递减区间为， 故选：C． 3．在的展开式中，的系数是（  ） A． B．21 C．35 D． 【答案】A 【详解】根据二项式定理可知的展开式通项为：. 其中，化简通项：. 令，解得. 所以项的系数为：. 4．学校音乐团共有10人,其中4人只会弹吉他,2人只会打鼓,3人只会唱歌,另有1人既能弹吉他又会打鼓.现需要1名主唱,2名吉他手和1名鼓手组成一个乐队,则不同的组合方案共有(   ) A．36种 B．78种 C．87种 D．90种 【答案】B 【分析】由题意得1名主唱只能从3人里面选,然后根据多面手进行分类即可得到结果. 【详解】根据题意有三种情况: (1)从只会弹吉他的4人选2人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人:种; (2)从只会弹吉他的4人选2人,只会唱歌的3人选1人,鼓手从多面手中选:种; (3)从只会弹吉他的4人选1人,只会打鼓的2人选1人,只会唱歌的3人中选1人,多面手作为吉他手:种; 共有:种. 故选:B. 5．若（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6， 所以，所以，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：在中， 令，得，所以， 令，得， 所以，故C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得，故D错误. 6．奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【详解】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 7．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 二、多选题 8．已知，则（   ） A．的导函数关于直线对称 B．曲线在处的切线方程为 C．函数的极小值点为 D．函数的极大值点为0 【答案】BCD 【分析】求出的导函数，根据二次函数的性质求得其对称轴，判断A；利用导数的几何意义求得曲线在处的切线方程，判断B；利用导数求出函数的极小值点和极大值点判断C，D. 【详解】函数的定义域为，， 所以导函数关于直线对称，所以A错误； 因为， 所以曲线在处的切线方程为，即，所以B正确； 因为， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以函数的极小值点为，函数的极大值点为0，所以C，D正确. 9．将，，，，这五名实习医生分别安排到内科、外科、急诊科三个科室进行轮岗学习，要求每个科室至少安排一名实习医生，且每个实习医生只到一个科室轮岗学习，则下列判断正确的是（    ） A．若急诊科要安排两名实习医生，则有60种不同的安排方法 B．若每个科室至多安排两名实习医生，则有180种不同的安排方法 C．若，被安排在同一科室，则有36种不同的安排方法 D．若被安排在内科，则有56种不同的安排方法 【答案】AC 【分析】根据排列、组合的定义，结合分类计数原理、分步计数原理逐一求解判断即可. 【详解】若急诊科要安排两名实习医生， 则有种不同的安排方法，A正确． 若每个科室至多安排两名实习医生，则有种不同的安排方法，B错误． 若，被安排在同一科室，则有种不同的安排方法，C正确． 当内科只安排一名实习医生时，有种不同的安排方法； 当内科安排两名实习医生时，有种不同的安排方法； 当内科安排三名实习医生时，有种不同的安排方法． 故被安排在内科，有种不同的安排方法，D错误． 10．下列结论正确的是（    ） A． B．（m，n为正整数且） C． D．满足方程的x值可能为1或5 【答案】AB 【分析】根据组合数公式和性质判断选项. 【详解】对于A，由公式可知A正确； 对于B，，， 所以（m，n为正整数且），故B正确； 对于C，因，故C错误； 对于D，因为，所以，解得， 当时，，成立，故D错误. 三、填空题 11．如图，对某市的个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，现有种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法有________种.    【答案】 【分析】利用分步乘法计数原理来求得正确答案. 【详解】按①②③④的顺序进行着色， 按分步计数原理可得不同的着色方法有. 故答案为： 12．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】首先求函数的导数，利用导函数有2个零点，求参数的取值范围. 【详解】因为有两个不同的极值点，所以在有2个不同的零点，所以在有2个不同的零点，所以，解得. 所以的取值范围是. 13．展开式中的第3项与第5项的二项式系数相等，则______，展开式中的的系数为______． 【答案】 6； -10. 【分析】解方程即得解；设的通项为，令和，即得解. 【详解】解：由题可知， 解得． 设的通项为， 令，则；令，则. 所以展开式中的的系数为． 故答案为： 四、解答题 14．（1）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值； （2）曲线在点处的切线与直线平行，求的值； 【答案】（1）0或；（2）1. 【分析】（1）先求得曲线在点处的切线方程，再分和，由切线方程与曲线联立求解； （2）由，求导，得到在点处的切线的斜率为2a，然后根据题意，由求解. 【详解】（1）由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 当时，由，解得， 所以曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点； 当时，由，得， 由，解得，符合题意； 综上：实数 的值为0或； （2）由，得 ，则在点处的切线的斜率为2a， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以，解得 . 15．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 【答案】(1)60 (2)480 (3)180 (4)180 【分析】（1）先固定甲、乙在中间两棒的顺序，再从剩余6人选2人排在首尾两棒即可； （2）先选甲、乙中的1人并安排在首尾棒，再从剩余6人中选3人排列剩余3棒即可； （3）先将甲、乙捆绑成一个整体并确定相邻位置，再排列整体内部顺序，最后从剩余6人中选2人排列剩余位置即可； （4）先从剩余6人中选2人排列，再将甲、乙插入其形成的空位中即可. 【详解】（1）先排甲、乙在第2、3棒，有种排法；再从剩下6人中选2人跑第1、4棒，有种排法， 所以共有种排法. （2）先从甲、乙中选1人，有种选法；再安排他跑第1或第4棒，有种排法； 最后从剩下6人中选3人排剩下的3棒，有种排法， 所以共有种排法. （3）先把甲、乙看成一个整体，相邻的位置有三种，整体内部有种排法； 再从剩下6人中选2人排剩下的2棒，有种排法，所以共有种排法. （4）先从除甲、乙外的6人中选2人进行排列，有种排法，此时形成3个空位； 再将甲、乙两人插入空位中，有种排法，所以共有种排法. 16．已知，且展开式中只有第7项二项式系数最大. (1)求奇数项的二项式系数和； (2)，且，若能被20整除，求的值； (3)求的值. 【答案】(1)2048 (2)19 (3)25 【分析】（1）使用二项式系数的性质求解； （2）使用二项式定理求解； （3）将展开后求导，使用赋值法求解. 【详解】（1）因为展开式中只有第7项二项式系数最大，所以，解得， 所以奇数项的二项式系数和为：. （2）由（1）知，则， 由二项式定理可得， 除了第一项外，其余各项都能被20整除， 若能被20整除，则能被20整除， 又因为，且，所以，解得. （3），求导得 ，令，则 ，， 所以. 17．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的单调性. （3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程的为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，上单调递增. （3）由（2）知，若有极小值，则，极小值， 令函数，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，上单调递增，则，即， 所以. 18．已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求证：函数存在两个零点（记为），且． 【答案】(1) (2)证明过程见解析. 【分析】（1）利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可； （2）根据（1）中结论，结合零点存在原理,通过构造函数，再利用导数的性质进行求解证明即可. 【详解】（1）由 设， 因此当时，函数单调递增，， 当时，，因此，所以单调递增； 当时，，因此，所以单调递减， 因此当时，有最小值，即； （2）由（1）可知：在时，单调递减，在时，单调递增， ，因为，， 所以函数在内有且只有一个零点，不妨设，在内有且只有一个零点，设为，即，即函数有两个零点， 即 构造函数 ，当时，单调递减， 因此有，即， 因为，所以， 而，因此， 因为，所以，因为在时，单调递减， 所以由. 【点睛】关键点睛：构造函数是解题的关键. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $