精品解析：2026年四川成都市部分中学中考一模试卷 数学

2026年成都市部分中学中考一模试卷 数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. - D. -1 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），观察这个物体，则它的左视图是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办．某校为了解学生对本届全运会游泳项目（蝶泳、仰泳、蛙泳）的知晓情况，随机调查了200名学生，其中对本届全运会新增游泳项目了解的学生有110名，则估计该校2400名学生中，对本届全运会新增游泳项目了解的学生有（ ） A. 880名 B. 1100名 C. 1210名 D. 1320名 6. 如图，在菱形中，是上一点，且，连接，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有雀燕二十五只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？（注：古代质量单位中1斤两，1两铢），题目大意：1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？设有只燕、有只雀，则可列方程组为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的两个交点分别为，．则下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. C. 当时，随的增大而增大 D. 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：____________． 10. 关于的分式方程的解为，则的值为_____． 11. 如图，在中，，则的长为_____． 12. 遗传物质的双螺旋结构由四种碱基构成，某片段序列为“”，若从中随机选取一个碱基，则选取到碱基A的概率为_____． 13. 如图，在中，，分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线分别与边相交于点，，连接．若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）； （2）． 15. 某校在体育节期间开展了丰富多彩的体育活动，活动结束后，学校计划从初一（1）班、（2）班中评选出一个“体育节综合表现优秀班级”．以下是这两个班级的五项评比指标的得分统计图：请根据统计图信息，解答下列问题： （1）初一（1）班在体育节中得分的极差为 分； （2）从平均数、中位数、众数中任选一个角度，试判断哪个班的表现更好？ （3）若学校将“开幕式表演”“团体操表现”“田径项目成绩”“精神文明”“观众参与度”这五项得分按的比例确定各班的综合成绩，请你通过计算判断应评选哪个班为“体育节综合表现优秀班级”． 16. 如图1是一款教学设备的实物图，如图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图，该教学设备是由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的摄像头组成．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水平桌面的距离．（结果精确到，参考数据： 17. 如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，求及的长． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，当时，点，在反比例函数的图象上（点在点左侧），且射线，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，作，点为直线上一点，点在反比例函数在第一象限内的图象上，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，则代数式的值为_____． 20. 已知一元二次方程的两根之和为，两根之积为，若点在正比例函数的图象上，则的值为_____． 21. 如图，正八边形内接于，连接，若的半径为2，则的面积为_____． 22. 如图，在矩形中，是边上一动点（不与点重合），先将矩形沿着折叠，点的对应点为，再将矩形折叠，使点的对应点恰好落在所在的直线上，折痕为为边上一点．若，则的长为_____；当取得最大值时，则的长为_____． 23. 把满足勾股定理的三个正整数称为勾股数．若两两互质（除1以外，没有其他公约数），则称为本原勾股数．对于任意正整数（其中，且一奇一偶、互质），则构成一组本原勾股数．如：时，对应的本原勾股数为，则为一组本原勾股数．当时，对应的本原勾股数中使最小的一组为_____；若是一个完全平方数，则这样的本原勾股数中，使最小的一组为_____（按从小到大的顺序）． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2025/2026四川省城市足球联赛的两个吉祥物“超哥”“超妹”——这对以大熊猫为原型、融合川剧变脸元素，承载着四川21个市（州）足球梦想的玩偶，深受广大市民的喜爱．某商店计划购进这两种吉祥物“超哥”“超妹”进行销售，已知购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个“超哥”吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元． （1）求这两种吉祥物的单价； （2）该商店计划购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍，将“超妹”吉祥物的售价定为35元/件，若要使“超哥”吉祥物的利润率不低于25%，则该商店最少可以获得多少利润？ 25. 如图，在Rt中，为射线上一点，以为直角边在右侧作，直线与直线交于点，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点在上时，若，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当点在的延长线上时，若，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，过点作平行于轴的直线交对称轴于点为顶点． （1）求抛物线的表达式及点的坐标； （2）为抛物线上一点，连接，若，求直线的表达式； （3）过作直线，交抛物线于点，，连接，，直线，分别交轴于点，，在抛物线的对称轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网命组卷网 2026年成都市部分中学中考一模试卷 数学 注意事项： 1.全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分：考试时间120分钟. 2.在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束， 监考人员将试卷和答题卡一并收回. 3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字 体工整，笔迹清楚 4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在 草稿纸、试卷上答题均无效. 5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等 A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分) 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一 项符合题目要求) 1.下列四个数中最小的数是() A.1= B.0 c.V2 D.-1 第1页/共46页 6学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 【详解】根据实数的大小关系，正数大于0，负数小于0，两负数相比较，绝对值大的反而小，可知最小的 数为V② 故选C 2.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），观察这 个物体，则它的左视图是(). 从前面看 D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查物体的三视图，根据左视图需从左侧正投影观察物体的特征，即可得出答案。 【详解】解：，陀螺由上方圆柱体与下方圆锥体组成，其左视图需从左侧正投影观察， ∴上方圆柱体左视图：矩形（高为圆柱高，宽为底面直径）， 下方圆锥体左视图：等腰三角形（高为圆锥高，底边为底面直径）， ∴分析各选项： A选项：下部为半圆，不满足题意： B选项：上方为矩形，下方为等腰三角形，满足题意： C、D选项：均为同心圆结构，不是左视图，不满足题意. 3.下列计算正确的是() 第2页/共46页 6学科网列组卷网 A.x2.x3=x6 B.（x2y2）°=x5y C.6xy2-2xy2=4xy2 D.(x+1)2=x2+1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，根据同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、完全平方公式，逐一判 断即可. 【详解】选项A:·同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ==r≠，A不衍合盟意 选项B:“积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘， :.(xy2)=(x2(y2'=xy≠xy,B不符合题意， 选项C:,合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变， :6y-2y=(6-2)y=4,c正确， 选项D:“根据完全平方公式(a+b}'=d2+2ab+b :(x+=x+2x+1≠2+1，D不符合题意. 4在平面直角坐标系0y中，将点(2,3刊先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到 的点的坐标为() A.（4,2) B.（4,3) c.(0,2) D.(0,3) 【答案】A 【解析】 【分析】利用“左减右加横坐标，下减上加纵坐标”的规律计算即可得到结果， 【详解】：原来点的坐标为(2,3)，将该点先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度。 .平移后点的横坐标为-2-2=-4，纵坐标为3-1=2， 第3页/共46页 6学科网 列组卷网 得到的点的坐标为（4,2) 5.第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办.某校为了解学生对 本届全运会游泳项目（蝶泳、仰泳、蛙泳）的知晓情况，随机调查了200名学生，其中对本届全运会新增 游泳项目了解的学生有110名，则估计该校2400名学生中，对本届全运会新增游泳项目了解的学生有 () A.880名 B.1100名 C.1210名 D.1320名 【答案】D 【解析】 【分析】先求出样本中了解全运会新增游泳项目的学生频率，再用总人数乘以该频率得到估计值. 【详解】解：·抽查的200名学生中，了解项目的学生有110名， 110 =0.55 ∴样本中了解项目的学生频率为200 ∴估计该校2400名学生中，了解项目的学生人数为2400×0.55=1320（名）. 6.如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，且DE=DC,连接BD,若∠C=7O°，则∠BDE的度 数为(). B A.30 B250 C200 D150 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理等知识点. 根据菱形的性质得到∠BDC=55°，根据等腰三角形的判定和性质得到∠EDC=40°，继而得到 第4页/共46页 6学科网可组卷网 ∠BDE=15° 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， .DC=BC. ,∠DBC=∠BDC=180°-∠C)=550 .DE=DC. :2∠DBC=∠C=700 .∠EDC=180°-2∠C=40°， .∠BDE=∠BDC-∠EDC=55°-40°=15°， 7.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢.有雀燕二十五 只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？（注：古代质量单位中1斤=16两，1两=24铢），题日大意： 1只雀重1两9铢，1只燕重1两5铢.雀和燕一共有25只，共重2斤13铢.燕、雀各有多少只？设有x 只燕、有y只雀，则可列方程组为()· x+y=25 x+y=25 A. 29x+33y=781 33x+29y=781 x+y=25 x-y=25 C. 29x+33y=768 D. 33x+29y=768 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意知有x只燕、有y只雀， .雀和燕一共有25只， ∴.x+y=25 第5页/共46页 命学科网命组卷网 由题意，按古代质量单位换算，得1只燕29铢，1只雀33铢，所有的雀和燕共重2斤13铢，即 2×16×24+13=781 （铢)， .29x+33y=781 ,故选A. &如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数'=心+2a+c(a<0)的图象与x轴的两个交点分别为 A(-4,0),B.则下列说法正确的是（） B A对称轴为直线= B.4a2-4ac<0 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.8a+c=0 【答案】D 【解析】 【分析】由对称轴公式即可判断A选项；由二次函数图象与抛物线的交点情况得到判别式情况，即可判断 B选项：由二次函数图象的增减性即可判C选项，将点4(-4,0)代入二次函数解析式即可判断D选项 2a x=- =-1 【详解】解：对称轴为直线2a,故选项A错误： ,二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴.(2a-4ac>0,即4a2-4ac>0,故选项B错误： x=-1 抛物线开口向下，对称轴为直线 第6页/共46页 命学科网命组卷网 时，随的增大而增大：当X>时，y胞 x<-1 y 当 时，随的增大而减小， “当<一时.》随”的增大而增大，当1<x<0时 时，随的增大而减小，故选项C错误： 将点A(-4,0)代入二次函数，a×(-4+2a×(-4)+c=0, ∴.8a+c=0 故选项D正确。 第II卷（非选择题，共68分) 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9-x2= 9.因式分解： 【答案】 (3+x)3-x) 【解析】 【详解】解：9-x2 =32-x2 =(3+x)(3-x) m =1 10.关于x的分式方程x-1x+1的解为x=-3,则m的值为一 【答案】2 【解析】 +3=1 m 【详解】解：将解代入方程得：-3-1-3+1， 解得：m=2 1.如图，在⊙0中，∠4BC=45,01=3,则4C的长为 第7页/共46页 6学科网命组卷网 B A 3 【答案】2π 【解析】 【分析】先由圆周角定理可得∠10C=2×∠ABC=90° 再根据弧长公式进行计算即可得到答案 【详解】解：由圆周角定理可得 ∠AOC=2×∠ABC=90° ..AC= 90×3×2π3 =一π 360 2 l2.遗传物质DNA的双螺旋结构由四种碱基A,T,C,G构成，某DNA片段序列为“AATCGT”, 若从中随机选取一个碱基，则选取到碱基A的概率为一， 【答案】3 【解析】 【分析】先确定所有可能的基本事件总数，再确定选取到碱基A这一事件包含的基本事件个数，代入概率 公式计算即可. 【详解】根据题意，该DNA片段共有6个碱基，其中碱基A的个数为2. P= 21 根据概率公式，可得：63. 1 13.如图，在R△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,分别以点4和C为圆心，大于2AC的长为半径作弧， 两弧相交于点M和V,作直线MN分别与边 C,AC 相交于点D,E,连接D.若AE=4,则D 第8页/共46页 6学科网命组卷网 的长为 B D M 【答案】5 【解析】 【分析】由作图痕迹知，MN为边AC的垂直平分线，得到AC=2AE=8,利用勾股定理求出BC,再 利用平行线分线段成比例定理即可求出AD的值， 【详解】解：由作图痕迹知，MN为边AC的垂直平分线， ∴.AD=CD,AE=CE .AE=4, ∴.AC=2AE=8 在Rt△MBC中，∠BMC=90,4B=6 … ∴由勾股定理，得BC=VAB2+AC=10 .DE⊥AC,∠BAC=90° .DEI∥AB AE BD .CE CD, .AE=CE, .BD=CD即：D是BC的中点， 第9页/共46页 6学科网命组卷网 ·∠BAC=90°， .AD=-BC=5 2 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14.计算与解不等式组 45-2+0 +2c0s30°-V16 2x<3(x+2)① (2) x1s2+x-1② 23 【答案】(1)1 (2)-6<x≤1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和解一元一次不等式组. (1)根据特殊角三角函数值，负整数指数幂的运算法则，二次根式的化简法则，绝对值的化简法则计算， 再进行实数的加减混合运算即可. (2)根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1等运算步骤，依次解两个一元一次不等式，再 求出两个不等式解集的公共部分即可得出答案. 【小问1详解】 解5-2+ +2cos30°-V16 =2-v5+3+2x5-4 =1； 【小问2详解】 第10页/供46页 命学科网 列组卷网 2x<3(x+2)① 解： x-1≤2+x-1@' 23 解不等式①，去括号，得：2x<3x+6, 移项，合并同类项，得：x>-6, 解不等式@，去分母，得3(x-)s2(2+x)-6 去括号，得：3x-3≤4+2x-6, 移项，合并同类项，得：x≤1， “该不等式组的解集为 -6<x≤1 15.某校在体育节期间开展了丰富多彩的体育活动，活动结束后，学校计划从初一(1)班、(2)班中评 选出一个“体育节综合表现优秀班级”，以下是这两个班级的五项评比指标的得分统计图：请根据统计图 信息，解答下列问题： 体育节得分 得分/分个 100 100 100100 100 90 90-- 80 80 70 70 60 60 口初一(1)班 40 口初一(2)班 20 0 开幕式 团体操田径项 精神 观众参五项评比指标 表演 表现 目成绩 文明 与度 (1)初一(1)班在体育节中得分的极差为分： (2)从平均数、中位数、众数中任选一个角度，试判断哪个班的表现更好？ (3)若学校将“开幕式表演”“团体操表现”“田径项目成绩”“精神文明”“观众参与度”这五项得 分按2：2：4：1：1的比例确定各班的综合成绩，请你通过计算判断应评选哪个班为“体育节综合表现优秀 班级”， 第11页/共46页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)40 (2)从众数的角度，初一(1)班的表现更好（答案不唯一） (3)评选初一(2)班为“体育节综合表现优秀班级” 【解析】 【分析】(1)根据极差的定义计算即可： (2)利用平均数、中位数、众数的意义做决策即可： (3)根据加权平均数的计算公式求解即可， 【小问1详解】 解：初一(1)班在体育节中得分最大值为100分，最小值为60分， 100-60=40 极差为 (分)： 【小问2详解】 解：从众数的角度来说，初一(1)班得分的众数为100分，初一(2)班得分的众数为90分， ·初一(1)班得分的众数高于初一(2)班， ∴.初一(1)班的表现更好（答案不唯一）： 【小问3详解】 解：2+2+4+1+1=10， 100x2+100x 初一(1)班： 10 2+60x4+10x+70×0-20+20+24+10+7=81(分》： 1 10 10 10 90×2+100 2+80× 4 1 +70× +90 初一(2)班： 10 10 10 10 ×1=18+20+32+7+9=86 10 分)· .81<86 分 分， ∴.应评选初一(2)班为“体育节综合表现优秀班级”， 16.如图1是一款教学设备的实物图，如图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图，该教学设备是由 底座P吧、支撑臂B、连杆BC、悬臂CD和安装在D处的摄像头组成：已知支撑臂B与底座P的 PO CD D P9, 第12页/共46页 学科网命组卷网 =60°，AB=20cm BC∥P 夹角 底座高为3，连 ,水平桌 面MNPe,连轩BC与悬臂 CD B=110°，CD=8cm ,求点D到水平桌面 N 1cm 的夹角 的距离DE.(结果精确到cm,参考数据： sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，V3≈1.73) D B M、 E 图1 图2 28cm 【答案】 【解析】 【分折1过点4作4FLBC于点F,延长BC交DE于点了，延长PO交DE于点，则四边形4FT 是矩形，故AF=LT,根据三角函数分别求出AF和DT,代入DE=DT+TL+LE求解即可得出结果. 【详解】解：如解图，过点4作MF上BC于点F,延长BC交DE于点T,延长P P交DE于点L,则 四边形AFTL是矩形， .AF=LT. D C ----1L E .BC∥PQ ∴.∠B=a=60° 第13页/供46页 学科网 组卷网 在Rt△AFB中， SinB=AF AB, sin60°=4F AB. AB=20 cm 4F=20-sin60°=20x5 ≈17.3(cm) .B=110° .∠DCT=180°-110°=70° sin∠DcT=DT sin700=DT 在Rt△CTD中， DC,即 C, .CD=8 cm ∴.DT=8sin70°≈8×0.94=7.52(cm) .DE=DT+TL+LE=7.52+17.3+3=27.82≈28(cm) 答：点D到水平桌西MN的距窝DE的为28cm 17.如图， O0是△BC的外接圆，O1为O0的半径，连接B0并延长交4C于点D.过点作O0k 的 切线，交BD的延长线于点E,且∠AOE=∠BAC. (1)求证：AB=AC: 第14页/供46页 6学科网 命组卷网 (2)若sin∠OAB= V10 10,BC=6,求AB及AE的长. 【答案】(1) 证明：如图，延长AO交BC于点F,连接OC, OA=OB. .∠OBA=∠OAB」 ·∠AOE=∠OBA+∠OAB=2LOAB∠A0E=∠BAC,∠BAC=∠0AB+∠OAC ∴.∠OAB=∠OBA=∠OAC ∵OA=OC, .∠OAC=∠OCA, :.180°-∠OBA-∠OAB=180°-∠OAC-∠OCA. .∠AOB=∠AOC, ∴.∠BOF=∠COF 又OB=OC. BF=CF,OF⊥BC .AF BC 垂直平分， .AB=AC. 第15页/共46页 6学科网 6组卷网 (2)AB=3V10, AF=I5 4 【解析】 【分析】(1)延长AO交BC于点F,连接OC,先利用等边对等角以及三角形外角性质，证明 ∠OAB=∠OBA=∠OA ,接若利用三角形内角和证明∠A0B=∠AOC,得到BOF=∠CO ,结合 OB=OC ,即可判断1厂垂直平分BC,从而得证， BC (2)由(1)知AF⊥BC,AB=AC,利 in∠OAB=BF AB求得AB,再用勾股定理求得AF,设 OA=r,则OF=9-,在Rt△OFB中，由匀股定理，户=3+(9-r,解得r,最后利用 △BOF∽aEOA,对应边成比例即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 AF⊥BC,AB=AC 解：如图，由(1)知 B .BC=6 1 ..BF=CF= BC=3 .sin∠OAB= V10 10 第16页/供46页 6学科网列组卷网 在Rt△AFB中， sin∠OAB=BF、Vo 3V10 AB10,即AB10, .AB=3V10 AF=AB2-BF2=9 OA=rOF=9-r 设 ,则 在Rt△OFB中，由勾股定理，得=32+(9-r}, ∴.r=5 .0F=4 :B是O 的切线， OA⊥AE, ∴.AE∥BC ∴.∠OBF=∠OEA ∴.△BOF∽△EOA BF OF 34 EAOA,即EA5, E-15 4… 18.如图1，在平面直角坐标系xO0少中，直线y=x与反比例函数 y=(k≠0)】 的图象在第一象限内交于 点A,且0A=3V2 第17页/供46页 命学科网命组卷网 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式： (2)如图2，当x>0时，点C,D在反比例函数的图象上（点C在点D左侧），且CD⊥射线OA,若 CD=82,求点C的坐标： (3)在(2)的条件下，作BC∥OA,点N为直线BC上一点，点M在反比例函数在第一象限内的图 象上，当△AMN为等腰直角三角形时，求点M的坐标. 9 【答案】(1)少= (2)C(1,9) 8点te号7列支品k-2i7+2而k+2wio7-w而 【解析】 【分析】（山设点1a,）,根据幻股定理，得到0A=+d=32,求出点4(3,3）则k=3×3=9 9 即可求出反比例函数的表达式为) X; C,.CH∥y (2)过点作 轴，过点D作DH∥x轴交于点H,推导出 CDH 为等腰直角三角形，设点 第18页/供46页 6学科网组卷网 4小.则9e?)D2c007-pM-8:求e-l:0c的座对.p阿客 79 (3)先推导出 c=k,=1,求出直线BC的表达武为)=x+8,分类讨论：①∠4MW=90, MN=M。∠ANM=90,MN=AN,@∠MN=90,MM=AN,③点N在点M的上方时，适 N ② ,③ 项分析求解即可. 【小问1详解】 解，~直线y=x与反比例函数'大的图象在第一象限内交于点4 “设点4(a,a) 0A=32 .0A=V2+a2=32 解得a=3(负值己舍去)， 点43,3)， ∴.k=3×3=9 ·反比例函数的表达式为上、 x: 【小问2详解】 解，知解图O,过点C作CH∥y轴，过点D作DM/x轴交于点”， .CD⊥OA 射线 第19页/共46页 6学科网组卷网 D 图① 由反比例函数图象的对称性可知，点C和D关于直线y=x对称，且点H在射线OA上， ∴.aCDH 为等腰直角三角形 段Hee.Aco)n2 CD=82, 9 -c=8 ∴.CH=DH=8,即c 解得c=1或c=-9(舍去)， 六点C的坐标为1，)， 【小问3详解】 解：由(2)得点C(,9列 .BC∥OA :.knc kpa =1 设直线BC的表达式为y=x+b,将点C(L,9)代入，得 1+b=9 第20页/共46页 6学科网6组卷网 .b=8 BC ·直线 的表达式为少=x+8 ①如解图②， ∠AMN=90°MN=MA y个 H M H 图② 过点M作H,H,∥x轴，过点N,A分别作H1MH,MH21MH,垂足分别为点H,H, ∴.∠H1=∠H2=90 ∴.∠H2AM+∠H,MA=90° ,∠HMN+∠H,MA=90° .∠HMN=∠H2AM ∴.△NMH≌aMAH2（AAS) 9 设点Mm .MH =AH,=5-3.NH,=MH=3-m m “,将点N代入直线BC的表达式y=x+8中， 第21页/供46页 6学科网命组卷网 9 9 m-2+3+8= 得 -3+m, m m 9 m=7, ②如解图③， ∠NM=90,N=4N,过点N作∥y轴，过点M,A分别作 MH1A,H,MH,1H,H,垂足分别为点H,,由O同理，可得△MH,N≌aNHM(AAS) H M N B/H25 图③ 同理，设点V(m,n+8),则点H,(,3) ∴.AH2=NH1=3-n,NH2=MH1=n+8-3=n+5 专耳，的飘坐标为：++，=n+5+3-n+31, ∴点H(1 .9 ∴.点M的纵坐标为11，将点M的纵坐标代入反比例函数x中，得 9-11即x=1 9 ,即11， 第22页/共46页 6学科网列组卷网 合4品 ©∠M1N=90,1M=N,点M在点A的上方时，如解图@，过点A作，，∥y轴，过点M,N分 别作M1H,NH1,,垂是分别为 H1,H2 由①同理，可得△MH,M≌aNH,A(AAS)】 M.H H B 0 图④ 9 M皿，=AH,=3-mA=N2-3 六点H的级坐标为的，=加，点N的横笔标为一M,=3》 +3 6 将点N代入直线BC的表达式'=x+8 中，得 6-9+8=m, m .m1=7-2W10,m2=7+2V10 (舍去)， 第23页/共46页 6学科网列组卷网 点M(7-2i0,7+210), ④点N在点A的上方时，如解图同，过点A作HH,∥'轴，过点N,M分别作 NH,⊥H,H2,MH2⊥H,A, 垂足分别为H,山， △AH,N≌AMH2A 由①同理可 9 Mm,- MH3 AHL,=m-3,AH,NH =3-9 点H的纵坐标为AH1+y4=m,点N的横坐标为 M+x,=3-9+3=6-9, m :6 9 将点N代入直线BC的表达武'=x+8中 中，得 69 +8=m m .m=7-210(含去)，m,=7+210 :点M(7+210,7-210) 章上装，点M坐3，)R品女-2wn72w西+a07-2w可 第24页/共46页 6学科网命组卷网 B 1 图⑤ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 2026 6a+9 a+3 19已知a- =-3 a+ 则代数式 a a2的值为 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、分式的化简以及代数式的整体代入求值 根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后 得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值. 6a+9 a+3 a+ 【详解】解： a a+6a+9 a2 a+3 =(a+32a2 a a+3, =a(a+3) =a2+3a 2026 .∵a- =-3 a 第25页/共46页 学科网 命组卷网 “等式两边同时乘0，得-2026=-30 .a2+3a=2026 原式=a+3a=2026 20.已知一元二次方程d-2a-8=0的两根之和为m,两根之积为”，若点(m,”川在正比例函数y=x 的图象上，则k的值为一 【答案】-4 【解析】 【分析】首先，根据一元二次方程根与系数的关系，设方程的两根分别为4，B ,得+B=2,aB=-8 再将点(2，-8)代入y=c中，即可得出的值 ,B&+B=2,aB=-8 【详解】解：设方程的两根分别为 ,则 ∴.m=2,n=-8 :点(m,m）在正比例函数y=c的图象上， 将点(2,8）代入，得2k=-8, .k=-4 ABCDEFGH 21.如图，正八边形 内接于⊙0 ，连接 的面积为_ 第26页/共46页 6学科网命组卷网 B 【答案)22 【解析】 【分析】连接OA,过点A作AM⊥OB于点M,先求出 ∠B0A=360 845 ,再求出 4M=04n45-2-5,到m8M=45=25 2 即可解容 【详解】解：如图，连接OA,过点A作AM⊥OB于点M, B :多边形ABCDEFGH是正八边形， ·∠B0A=360 =45° 8 .⊙0 为2，BF是O0 的半径 的直径， ∴.OA=2∠BAF=90°BF=2×2=4 :.AM=04.sin45=2x 2 第27页/共46页 学科网命组卷网 ·SMr= IBF.AM=1x4x2-22 22如图，在矩形MBCD中，AB=8AD=6, 是边4B上一动点（不与点 A,B 中， 重合)，先将矩形沿着 DP折叠，点A的对应点为A',再将矩形折叠，使点B的对应点B恰好落在PA'所在的直线上，折痕为 PE,E为BC边上一点，若PD=PE,则PB的长为一：当BE取符最大值时，则PB的长为 B D 【答案】 ①.6②.4 【解析】 【分析】由折叠的性质、同角的余角相等推出∠BPE=∠ADP,证明aPM'D≌△EB'P(AAS)得 DM=PB,再结合折叠的性质即可得PB的长，设PB=X,MP=AB-BP=8-X ，根据折叠的矩形 AD AP 68-x 的性质证明△ADP∽ABPE,则BPBE, 即xBE,即可得 E=名x-8到=x-4+0<<8 ,再根据二次函数的性质求最值。 【详解】解：由折叠的性质得∠APD=∠APD,∠BPE=∠B'PE∠PA'D=∠A=90° ∠PB'E=∠B=90°DA=DAN'PB=PB' 如解图①， 第28页/共46页 6学科网命组卷网 B B' C 图① .'∠APD+∠A'PD+∠BPE+∠B'PE=180° ∴.2（∠PD+∠B'PE)=180° ∴.∠A'PD+∠B'PE=90° 又'ZAPD+∠ADP=90 .∠B'PE=∠ADP(同角的余角相等)， 在△PAD和△EB'P中， ∠PA'D=∠EB'P ∠A'DP=∠B'PE PD=EP ∴.△PA'D≌△EB'P(AAS) .DA'=PB', ∴.DA=DA=PB=PB .PB=DA=6 设PB=x, ∴.AP=AB-BP=8-x 如解图②， 第29页/供46页 6学科网命组卷网 B E B'(A') 图② .'∠A'PD+∠B'PE=90° .∠DPE=90° ∴.∠APD+∠BPE=90° “四边形 ABCD 为矩形， ∴.∠B=∠A=90°， ∴.∠ADP+∠APD=90° ∴.∠ADP=∠BPE ∴.△ADP∽aBPE, :4D-AP68-x BPBE,即xBE, E=-名(-8到=名x-4+0<x<8) 6 1 <0 6 8 .当x=4时，BE有最大值为3，即PB=4. 23、把满足勾股定理4+6=2 的三个正整数 称为勾股数.若a6,c丽 a,b,c 两两互质（除1以外，没有其 他公约数)，则称为本原勾股数.对于任意正整数m,n(其中m>n,且m,n一奇一偶、互质)，则 第30页/共46页 命学科网命组卷网 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n 构成一组本原勾股数.如：m=2,”=引时，对应的本原勾股数为 a=2-1P=3,b=2×2x1=4,c=2+=5.则34,5)为组本原勾股数.当m+n=7时，对应的木 原勾股数中使a+b+C最小的一组为一；若a+b+C是一个完全平方数，则这样的本原勾股数中，使 a+b+c 最小的一组为一（按从小到大的顺序）. 【答案】 ①.(7,24,25) ②.(16,63,65) 【解析】 m=6,n=1m=5,n=2m=4,n=3 a,b,c 【分析】①根据题意，可得 :然后依次求得三种情况中 即可判断；②由思意，a+b+c=2m+2mm=2m(m+川）.设a+h+c=尺，k为正整数，则 2m(m+川)=.先证明m+n与2m互质.2m为完全平方数，然后根据2m=l, 2m=4,2m=9,2m=16 a,b,c 四种情况，求得符合条件的，即可得出答案 【详解】解：①，m+n=7, m=6,n=1m=5,n=2m=4,n=3 ,满足条件的正整数有： a=m-n,b=2m,c=m+nr,当m=6,n=l时 时， a=35,b=12,c=37 a+b+c=84: .a=m'-n',b=2mn,c=m2+n ,当m=5,n=2 时， :0=21,b=20,c=29 第31页/供46页 6学科网6组卷网 .a+b+c=70 :a=m-n,b=2mmc=+,当m=4,n=3时. .a=7,b=24,c=25. ∴.a+b+c=56 :a+h+C最小的一组为2,24,25列 ②：a=m2-,b=2m,c=m2+n :.a+b+c=2m2+2mn=2m(m+m） 设a+b+c=,k为正整数，则2m(m+n）=2 m与n互质，且一奇一偶， ∴.m+n为奇数，且m与m+n互质，且m+n与2互质， 六m+与2m互质. :2m(m+m)=k尺，且m+n与2m互质， ..m+n 2m 与“均为完全平方数， m= 需分情况：当2m=1,则2， ,m为正整数， 不成立： 当2m=4,则m=2, .'m>n .∴.n=1 m+n=2+1=3 ，此时 第32页/供46页 6学科网 命组卷网 3不是完全平方数， 不成立： 9 m= 当2m=9,则2， ,m为正整数， 不成立 当2m=16,则m=8, .m>n, ∴.n=1,3,5,7 当m=8n=1 时，此时m+n=8+1=9 ,符合题意， a=m-n',b=2mn.c=m+m a=63,b=16,c=65 ∴.a+b+c=144 ,144是完全平方数， 成立 当m=8,n=3 时，此时m+n=8+3=11 ,11不是完全平方数， 不成立 当m=8n=5 m+n=8+5=13 ，此时 ,13不是完全平方数， ∴不成立： m=8,n=7 m+n=8+7=15 当 时，此时 第33页/供46页 6学科网命组卷网 .15不是完全平方数， 不成立 综上所述，满足条件且a+b+C最小的本原勾股数为(16,63,65) 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24.2025/2026四川省城市足球联赛的两个吉祥物“超哥”“超妹”一一这对以大熊猫为原型、融合川刷变 脸元素，承载着四川21个市（州）足球梦想的玩偶，深受广大市民的喜爱.某商店计划购进这两种吉祥物 “超哥”“超妹”进行销售，己知购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个 “超哥”吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元. (1)求这两种吉祥物的单价： (2)该商店计划购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍， 将“超妹”吉祥物的售价定为35元/件，若要使“超哥”吉祥物的利润率不低于25%，则该商店最少可以 获得多少利润？ 【答案】(1)“超哥”吉祥物的单价为36元/个，“超妹”吉祥物的单价为30元/个 (2)该商店最少可以获得760元利润 【解析】 【分析】(1)首先，根据题意设该商店购进“超哥”吉祥物的单价为x元/个，购进“超妹”吉祥物的单 价为y元/个，然后，根据购进2个“超哥”吉祥物和3个“超妹”吉祥物需要162元；购进5个“超哥” 吉祥物和2个“超妹”吉祥物需要240元，列出关于X,y的方程组，解方程组即可； (2)首先，根据题意设购进“超哥”吉祥物的数量为a个，则购进“超妹”吉祥物的数量为2a,再列出 方程a+2a=120,解得a=40,即2a=80,然后，根据题意再设“超哥”吉祥物的售价定为每件m元， 该商店获得的利润为w元，得出w=(35-30)×80+(m-36)×40=40m-1040 接着，由“超哥”吉 祥物的利润率不低于25%，得出m≥45，最后，根据一次函数的图象与性质得出当m=45时， w=40×45-1040=760 ,得出该商店最少可以获得760元的利润. 第34页/共46页 学科网命组卷网 【小问1详解】 解：设该商店购进“超哥”吉祥物的单价为x元/个，购进“超妹”吉祥物的单价为'元/个， 2x+3y=162 x=36 由题意得： 5x+2y=240,解得y=30 答：“超哥”吉祥物的单价为36元/个，“超妹”吉祥物的单价为30元/个： 【小问2详解】 解：，购进两种吉祥物共120个，且购进“超妹”吉祥物的数量为购进“超哥”吉祥物的2倍， 2a 一设购进“超哥”吉祥物的数量为个，则购进“超妹”吉祥物的数量为， ∴.a+2a=120 解得0=40.即2a=80 ,即1 设“超哥”吉祥物的售价定为每个m元，该商店获得的利润为W元， ∴.w=(35-30)×80+(m-36)×40=40m-1040 25% “超哥”吉祥物的利润率不低于 m-36 2≥25% 36 ,解得m≥45 又40>0. .w随m的增大而增大， ÷当m=45时.w=40×45-1040=760 时， 答：该商店最少可以获得760元的利润， 25如图，在RtAARC中，∠A=90,1B= AC,D 3 为射线BA上一点，以CD为直角边在CD右侧作 RtACDE,∠DCE=90,∠DEC=∠ABC,直线DE与直线CB交于点F,连接BE. 第35页/供46页 6学科网组卷网 B B 图1 图2 【初步感知】 (1)如图1，当点D在AB上时，若CD=BD,求证：∠CDE=∠BDE; 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若AB=8,求BE的长： 【拓展延伸】 (3)如图2，当点D在B 的延长线上时，若MB=8DF=2EF BE ,求 的长。 【答案】(1) 证明：CD=BD .∠DCB=∠DBC, ·∠CED=∠ABC .∠CED=∠DCB. ∴.∠DCB+∠CDE=∠CED+∠CDE=90°， .DF⊥BC ·.∠CDE=∠BDE: 2 BE=25 3 (3) BE=150 41 第36页/共46页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】(I)由已知条件可得∠CED=∠DCB,DF⊥BC即可得证； AB BC AC (2)先证出△CDE≌△BDE(SAS),△ABCAFBD得到FBBD FD,再证ACFD∽AEFC,得 到比例式即可求解： 3)分别过点D,E作CB日 M,N ”的垂线，垂足为 M,N,可得△CEDABC,再由 .,∠CDM=∠ECN ∠DMC=∠CNE △DCM∽△CEN △BENADBM 可证得 由圆的相关性质可证出 ,最后由 △DMF∽AENF 计算比例即可. .∠DMC=∠CNE=90° ∴.△DCM∽△CEN 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知∠CDE=∠BDE. CD=BD 在 与 中， ∠CDE=∠BDE .△CDE ABDE DE=DE ∴ACDE2△BDE(S,A,S),CE=BE DF⊥BC, 由(1)知 ∠CFE=∠BFE=90° 在△ABC和△FBD中， 第37页/供46页 命学科网命组卷网 ∠A=∠DFB=90°，∠ABC=∠FBD ∴.△ABC∽AFBD, :B-BC、4C FB BD FD 4 AB=-AC 3,且AB=8, .AC=6 BC=10 由勾股定理，得 :CE=BE,DF⊥BC, DF-CF-C- .8106 5 BD FD BD=25,FD=15 15 4 25 .CD= A ∠DCE=90° ∴.∠CDF+∠DCF=∠CDE+∠CED=90° ∴.∠DCF=∠CED .∠CFD=∠EFC=90°， ∴.△CFDP△EFC 第38页/供46页 6学科网 命组卷网 1525 FD_CD,即4=4， FC EC 5 EC 25 ∴.EC= 3. ..BE= 25 3; 【小问3详解】 如图，分别过点D,E作CB M,N ”的垂线，垂足为点 A .'∠DEC=∠CBA,∠DCE=∠CAB ∴.ACED∽△ABC AB-4AC, 3 CD AC 3. CE AB 4 .∠DCE=90 ∴.∠DCM+∠ECN=90° .∠DMC=90° .∠DCM+∠CDM=90°， .∠CDM=∠ECN .∠DMC=∠CNE=90° 第39页/共46页 6学科网6组卷网 .△DCM∽△CEN ∴.∠DEC=∠ABC .∠DEC=∠ABC ∴.C,D,B,E 四点共圆， ∴.∠DCE+∠EBD=180°， ∴.∠EBD=90° .△BENP△DBM, EN BM AB 4 'BN DM AC 3. EN=4x,∴.BN=CM=3x BE =5x 设 ,则 .∠DMF=∠ENF=90°，∠DFM=∠EFN ∴.△DMF∽aENF .DF =2EF DM DF 2 EN EF = ∴.DM=8x BM 4 8x31 32 ∴BM= BC=10, 由(2)知 ∴.CM+BM=10 第40页/供46页 6学科网 组卷网 32 30 x+ x= 即 x=10 31 解得41， BE=5x=150 1. 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三 角形的性质，圆的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键 26如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=广+bx过点1(3,3)，过点A作平行于x轴的直线交对 B,P 称轴于点为顶点 备用图 (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2C为抛物线上一点，连接1CBC,若5=5 ,求直线CP的表达式： (3)过B作直线DE，交抛物线于点D,E,连接PD,PE,直线PD,PE分别交x轴于点M,N, 在抛物线的对称轴上是否存在定点F,使得∠MV=90 ？若存在，求点F的坐标：若不存在，请说明 理由 【答案】(1)y=x2-2x.B(1,3) (2) y=3x-4y=-3x+2 或 8点F的标)成-) 【解析】 第41页/共46页 学科网命组卷网 【分析】(1)抛物线过点(3,3)， 可将点坐标代入解析式求出b;再根据抛物线对称轴公式，结合AB 平行于x轴的性质，求出点B的坐标 (2)设点C的横坐标为c,利用三角形面积公式，以AB为底，点C到直线4B的距离为高，求出c 的值，再代入抛物线解析式求出C的坐标，最后结合顶点P的坐标求直线CP的表达式. (3)设直线DE的解析式，与抛物线联立，利用韦达定理得到D、E的横坐标关系；再分别写出直线 PD PE 的解析式，求出与”轴交点M、N的坐标和 MN ,利用勾股定理和韦达定理进一步求解即可。 【小问1详解】 解：~抛物线y=t+bc过点1(3,3列 .b=-2, 抛物线的表达式为)=-2x x=1 抛物线的对称轴为直线 AB‖x 轴， 点B,3) 【小问2详解】 解：如解图①，“点C在抛物线 C y=x2-2x 上 第42页/共46页 6学科网命组卷网 LD 图① “设点C(,x-2x)】 :点43,3)，点B,3) .AB=2, S.ABC=5 8m号48x以-w=x242-2=5 x2-2x。-3=5 ∴父-2x-3=5,即-2x-8=0.解得=4或=-2 或号-2x-3=-5,即号-2+2=0 得该方程无解， ∴.C(4,8)或C(-2,8) 由(1)知抛物线的对称轴为直线x=1, 点P1,-) 设直线CP的表达式为y=mx+m(m≠0，将点C(4,8),P(,-)代入， 第43页/供46页 可学科网命组卷网 m+n=-1 m=3 解得 得]4m+n=8 n=-4, 直线G 的表达式为少=3x-4 同理，由点C(-2,8),P1,-)得直线C,P的表达式为y=-3x+2, 综上所述，直线CP的表达式为'=3x=4或)=-3x+2 或 【小问3详解】 解：存在定点F, 如解图②，设点Do号-2x）,点E(c,-2x),假设点D在点E右侧， G 图② :点B(,3)在直线DE上， 故根据点B坐标可设直线DE的表达式， ·设直线DE的表达式为y=k(x-)+3=a-k+3 .D,E 为直线与抛物线的交点， 联立直线DE与抛物线，得r-2x=c-k+3, 得r-(k+2)x+k-3=0 得ng=k-3,xn+xg=k+2 第44页/共46页 6学科网命组卷网 设直线PD的表达式为'=x+么（化≠0） 将点P(,-)D(x号-2xo)代入，得 k+b=-1 ∫k=x,-1 kxn+b=x号-2x’解得b=-xD, 直线PD的表达式为y=(,-)小x-xn. 同理，得直线PE的表达式为'=(xg一)x-, 设点F(L,),因为∠MFN=90, ∴.FM⊥FN M=w-w==-少(-5- xp-1 xg-1 (p-1)(xg-1):-(xp+x)+1. w小r-r,m心+r- FM2+FN2=MN2 同 x号+x后-2(x+xE)+2+22[xng-(x+xE)+1] +号-2xn [XpxE-(xp+xg)+17 LXpxE-(xp+xE)+17 第45页/供46页 学科网命组卷网 则有2(n+x)+2+22[xnxg-(n+x)+1]=-2xnxg, 代入韦达定理结果，得 -2(k+2)+2+22[k-3-(k+2)+1]=-2×(k-3) -2k-4+2+(-4)}2×22=-2k+6 1=t 2 :应r的〔兮》-》 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、三角形面积公式、一次函数解析式的求法、两直线垂直的条件， 解题关键是合理利用韦达定理、中点坐标公式，结合垂直的性质求解定点坐标 第46页/共46页