精品解析：四川成都市金堂中学校等学校2025-2026学年高三下学期4月月考数学试卷

高三年级数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考箱号用0.5毫米的黑色签字笔填写消楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2、选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3、考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 而全集，所以. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将的分母实数化，化为的形式，即为所求． 【详解】 复数的虚部是1 故选：B 【点睛】本题考查复数的除法运算以及概念，关键是将其分母实数化，化为的形式，进行判断，属于基础题． 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，即，解得，故原不等式的解集为：. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，则． 5. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 16 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式展开通式直接计算即可. 【详解】由展开式的通项得， 令，得，常数项为. 6. 人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（ ） A. 10000 B. 15000 C. 20000 D. 30000 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，得， 则有，解得，. 当训练个单位的数据量所需的时间为时，则有，解得. 7. 如图，在三棱锥中，，，且为中边上的高．给出以下结论：①；②等于直线与平面所成的角；③是二面角的平面角．其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【详解】对于①，因为，，平面，， 所以平面，又平面，所以，①正确； 对于②，因为平面，所以等于直线与平面所成的角，②正确； 对于③，因为，，平面，， 所以平面，由二面角的定义可知，是二面角的平面角，③正确． 8. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据的表达式判断出的奇偶性和单调性，再结合得出之间的关系，最后根据均值不等式即可求出的最小值． 【详解】因为， 则函数为奇函数，又由， 可知在定义域上单调递增， 由可得， 所以，即， 又因为，， 则， 当且仅当，即当，时，等号成立，所以的最小值为12． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件，满足：，，则（ ） A. 事件与互为对立事件 B. 如果，那么 C. 如果事件，互斥，那么 D. 如果事件，相互独立，那么 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：如果事件与事件互为对立事件，则， 但，，； 选项B：如果，则，即； 选项C：如果事件，互斥，则； 选项D：如果事件，相互独立，则事件与，事件与也分别相互独立， 即，， 因此. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 函数的对称轴方程为， 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，根据函数的图象知，， 周期，所以，故A错误； 对于B，由，， 有，即， 所以，，则，， 因为，所以，即， 由， ，故B正确； 对于C，因为的对称中心为，， 令，，则，， 当时，，故C正确； 对于D，由的对称轴方程为，， 令，，所以，， 所以函数的对称轴方程为，，故D正确． 11. 设过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则不存在最小值 C. 若，则弦的中点的轨迹方程为 D. 若，直线与直线：相交于点，则直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可判断A；设出直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理即可判断B；根据中点坐标公式即可判断C；求出的纵坐标，得到方程，即可判断D. 【详解】对于A：当时，为抛物线的焦点，准线为，. 根据抛物线定义可知，故选项A正确. 对于B：可设直线的方程为，与抛物线方程联立可得， ，所以，， 则，故存在最小值，选项B错误. 对于C：设的中点为，由B知，. 所以，， 若，则，所以，故选项C正确. 对于D：易知直线的方程为， 其与直线的交点的纵坐标为， 所以所在直线为，故直线，选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得. 13. 已知等差数列中，，，则______. 【答案】12 【解析】 【分析】方法1，利用等差数列性质求解；方法2，利用等差数列通项公式列式求出首项、公差，进而求出目标项. 【详解】方法1：已知为等差数列，则， 由，得，解得， 又，所以. 方法2：设等差数列的公差为， 依题意，，解得， 所以. 14. 若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“函数”的定义，将不等式转化为，再构造函数，再用导数求函数的最大值，从而可得所求值的范围. 【详解】由，且，所以， 所以， 依题意，为区间上的“函数”，所以，即， 所以在上恒成立，得在上恒成立. 令，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 故当时，函数在区间上取得极大值，也是区间上的最大值， ，实数的取值范围为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由， 有，即， ，， ，； 【小问2详解】 由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，， 在中，由余弦定理有 ，， 的周长. 16. 如图；在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的动点，且. （1）若//平面，判断点在何位置，并证明你的结论； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）为中点，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：利用直三棱柱的性质，将线面平行条件转化为平面，再通过线面平行的性质定理得到，结合平行线分线段成比例及题设的条件，推导出为中点；方法2：以为原点建立空间直角坐标系，设参数表示各点坐标与向量，求出平面的法向量，利用列方程求解，从而确定为中点； （2）方法1：先设参数，用均值不等式求出三棱锥体积取最大值时为中点，再通过作辅助线找到二面角的平面角，最后计算其三角函数值；方法2：先利用均值不等式求出三棱锥体积最大时的参数​，再通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 方法1：若平面，则为中点， 理由如下： 在直三棱柱中，， 平面，平面， 平面， 又平面平面， 故，， 又，， 又，， 即为的中点，从而为的中点， 故当平面时，为中点； 方法2：以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，（）， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 由得 取，得，， 则平面的一个法向量， 欲使平面，即使平面， 则，， 得，可知为的中点， 故当平面时，为中点； 【小问2详解】 方法1：不妨设，（）， 则三棱锥的体积 ， 当且仅当，即时取“＝”， 此时，，分别为，的中点， 过点作于点， 可知为的中点，连接，则， 在直三棱柱中，平面， ，， 平面，， 是二面角的平面角， ，，，， ， 则， 故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为. 方法2：三棱锥的体积为 ， 当且仅当，即时取“＝”， 此时，平面的一个法向量， 平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，可知， 则， 故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：存在正实数，使得时，函数有且只有3个零点. 【答案】（1）①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，在区间上单调递增； ④当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，再求导，根据分类讨论，判断函数单调性即可. （2）结合导数与极值的关系及极值的正负证明即可. 【小问1详解】 由，可知， ， ①当时，， 则当时，，当时，， 此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，， 则当时，，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，，在区间上单调递增； ④当时，， 则当时，，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 综上所述：①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，在区间上单调递增； ④当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可知，当时， 是函数的极大值点，极大值， 函数的极小值， 令（）， 即，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则是的极大值点，即的极大值为， 又当时，，则的值域为， 即的极小值取值范围是， 又，则存在，使得，即为方程的根， 当时，在上单调递增，则，即， 又当时，，当时，， 存在正实数，使得时，函数有且只有3个零点. 18. 已知直线：，椭圆：.过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于点，. （1）判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论： （2）过点作直线的垂线，与直线相交于点， （ⅰ）求面积的最小值： （ⅱ）证明：直线与椭圆有且只有一个公共点. 【答案】（1）直线与以线段为直径的圆相离，证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设点，，点，到直线的距离分别为，，由两点间距离公式可得，根据直线与圆位置关系判断方法判断即可； （2）（ⅰ）方法1：设直线的方程可设为，直线与椭圆联立方程组，结合（1）以及三角形面积公式计算求解；方法2：设直线的方程可设为，直线与椭圆联立方程组，结合（1）求得，结合题意求得，根据三角形面积公式利用导数求解即可；（ⅱ）设点处切线为，斜率为，则的方程为， ，直线与椭圆联立方程组，由得，证明后即可证明直线与椭圆有且只有一个公共点. 【小问1详解】 直线与以线段为直径的圆相离， 理由如下：由已知，右焦点的坐标为， 设点，， 其中，， 令点，到直线的距离分别为，， 则 ， 同理，， 设为的中点，点到直线的距离为， 则， 显然，以线段为直径的圆的圆心为，半径为， 直线与以线段为直径的圆相离； 【小问2详解】 （ⅰ）方法1：由题意知直线不与轴重合， 由已知，直线的方程可设为， 联立得，（*） ， 则， 由（1）得， ， 当且仅当，即垂直于轴时取“＝”， 根据平面几何知识，此时同时取得最小值3， 的面积， 故面积的最小值为. 方法2：由题意知直线不与轴重合， 由已知，直线的方程可设为， 联立得，（*） ， 则， 由（1）得， ， 过焦点且与直线垂直的直线方程为， 则，， 的面积 ，令，， 则，， 于是， 当时，单调递增， 当，即时， 取得最小值，最小值为， 故面积的最小值为； （ⅱ）欲证直线与椭圆有且只有一个公共点， 只需证明在点处切线的斜率等于直线的斜率， 由（ⅰ）得，，其中， 依题意，直线的斜率存在，设为， 则的方程为， 联立 得， 由于直线与椭圆仅有一个公共点，则由， 得， ， 即， 解得， 过焦点且与直线垂直的直线方程为， 则，， 只需证明，即证明恒成立即可， 即只需证明， 即证明， 即证明， 只需证明满足方程即可， 根据（ⅰ）中的方程（*）， 显然是方程的一个根， ， 由此可知，直线与椭圆有且只有一个公共点. 19. 某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为和；如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为.现开启这种提示灯，第一次亮红灯. （1）求第三次亮灯为红灯的概率； （2）设第次亮灯为红灯的概率为，当时， （ⅰ）求； （ⅱ）该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？ 【答案】（1） （2）（ⅰ）（）；（ⅱ）当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大.理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算求解； （2）方法1：（ⅰ）设事件“第次亮灯为绿灯”，，，，由全概率公式可得，根据结合等比数列化简可得，再次利用全概率公式可得，化简即可求得（）；（ⅱ）结合（ⅰ）利用作差法可得，由全概率公式可得，利用作差法可得，即可判断求解；方法2：设事件“第次亮灯为绿灯”，，，，由全概率公式可得，，，化简结合等比数列计算可得（），（ⅱ）结合（ⅰ）利用作差法计算即可求解. 【小问1详解】 设事件“第次亮灯为红灯”，事件“第次亮灯为黄灯”， 则第三次亮灯为红灯的概率： ； 【小问2详解】 方法1：（ⅰ）设事件“第次亮灯为绿灯”，，，， ， 则，① ，， 即，由于， 则是以为首项，为公比的等比数列， ， ， 即，② 由①②得 （）， （）， 即（）； （ⅱ）由（ⅰ）可知， ， 当（）时， ，当且仅当时取等号， 当时，，， 综上，，当且仅当时取等号， 亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率， 又 ，即， 故， ， 当（）时，，， 当（）时，，， ，即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率， 综上所述，当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大. 方法2：（ⅰ）设事件“第次亮灯为绿灯”， ，，， ， 即，① ， 即，② ，即， ，③ 由①②得， ，④ 将③④代入②得， ， ，， ，且， 是以为首项，为公比的等比数列， ，即， 故， （）， 即（）； （ⅱ）， 当（）时， ，当且仅当时，取等， 当（）时，， ，当且仅当时，取等， 即亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率， 又， ， 当（）时，，， 当（）时，，， ，即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率， 综上所述，当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考箱号用0.5毫米的黑色签字笔填写消楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2、选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3、考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 16 D. 240 6. 人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间（单位：），其中为常数.在此条件下，训练200000个单位的数据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，（ ） A. 10000 B. 15000 C. 20000 D. 30000 7. 如图，在三棱锥中，，，且为中边上的高．给出以下结论：①；②等于直线与平面所成的角；③是二面角的平面角．其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件，满足：，，则（ ） A. 事件与互为对立事件 B. 如果，那么 C. 如果事件，互斥，那么 D. 如果事件，相互独立，那么 10. 已知函数（，，）的部分图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是函数的图象的一个对称中心 D. 函数的对称轴方程为， 11. 设过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则不存在最小值 C. 若，则弦的中点的轨迹方程为 D. 若，直线与直线：相交于点，则直线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则实数______. 13. 已知等差数列中，，，则______. 14. 若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图；在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的动点，且. （1）若//平面，判断点在何位置，并证明你的结论； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：存在正实数，使得时，函数有且只有3个零点. 18. 已知直线：，椭圆：.过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于点，. （1）判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论： （2）过点作直线的垂线，与直线相交于点， （ⅰ）求面积的最小值： （ⅱ）证明：直线与椭圆有且只有一个公共点. 19. 某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为和；如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为.现开启这种提示灯，第一次亮红灯. （1）求第三次亮灯为红灯的概率； （2）设第次亮灯为红灯的概率为，当时， （ⅰ）求； （ⅱ）该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $