精品解析：四川德阳市博雅明德高级中学2023-2024学年高三高考适应性考试数学试题

四川省博雅明德高级中学高考适应性测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. C. 12 D. 3. 且是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4 若，则点位于第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 某次“最强大脑”节目中，主持人出题：一个35位整数31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根……未等主持人报出数字，台下已经有人报出答案：13.淮安市某中学举办“数学节”活动，其中也有一个类似问题：下列选项中，最接近的是（其中，，）（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C D. 10. 在中，下列等式恒成立的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数是定义域为上的奇函数，满足，下列说法正确的有（ ） A. 函数的周期为4 B. C. D. 12. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ） 0 1 3 1 1 A. B. C. D. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再将函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，若对于任意恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 扇形的半径为2，圆心角所对的长为4，则该扇形的面积是______. 14. 形如的函数称为幂函数，写出一个满足条件“函数的图象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数：______. 15. 已知函数为偶函数，且，当时，，则______. 16. 已知，满足，，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数的定义域为，函数，（）的值域为. （1）当，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 19. 设函数是定义在的偶函数，且当时，，将函数中和两部分的表达式相加得到函数. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性； （3）讨论函数在定义域内的单调性，并证明. 20. 为深刻践行习总书记“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某县响应号召，在某个乡镇搞“生态农业特色小镇”.调研过程中发现：某生态农产品的每亩产量（单位：）与生态肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入为（单位：元）.已知这种生态农产品的市场售价大约为20元，且供不应求.记该这种生态农产品每亩获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入的生态肥料费用为多少元时，该种生态农产品每亩获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 已知函数，. （1）当，时，解关于的不等式； （2）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：. 22. 2016年巴西里约奥运会上“Omniverse火炬雕塑”，如图1将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2.在如图3平面直角坐标系中，点以为起始点，以为圆心，半径为（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转，点到地面的距离为，且（单位：10米），在如图4平面直角坐标系中，点以为起始点，以为圆心，半径为1（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转. （1）求经过秒后，点到地面距离及距离； （2）若在时，存在点使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省博雅明德高级中学高考适应性测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】, 故选：C. 2. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理得到，再代入根据对数运算法则计算即可. 【详解】即，因为解集为， 则根据韦达定理知，即，则. 故选：D. 3. 且是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件结合基本不等式分析判断即可. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时取等号， 若，则满足， 所以当时，且不一定成立， 所以且是的充分不必要条件. 故选：A 4. 若，则点位于第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限角判断三角函数值的符号，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以点位于第二象限. 故选：B. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，若，则的取值范围是（ ） A. （） B. （） C （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性得，解出即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且单调递增， 则，即，即， 则，解得（） 故选：D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质比较的大小，再根据正切函数的性质比较的大小，从而可比较出的大小. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 所以，所以， 因为在上递增，且， 所以，所以， 所以，即， 所以. 故选：C 7. 已知如图点在圆上，圆沿着轴顺时针滚动弧度，点到了点的位置，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的半径，再求出相关长度即可. 【详解】设原来圆的方程为，代入点得 ，解得，则圆的方程为， 则，， 则点的坐标为. 故选：B. 8. 某次“最强大脑”节目中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根……未等主持人报出数字，台下已经有人报出答案：13.淮安市某中学举办“数学节”活动，其中也有一个类似问题：下列选项中，最接近的是（其中，，）（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得，两边取对数，利用对数运算及对数函数单调性求解即得. 【详解】令，则，显然， 取常用对数得：，则，即， 而，因此，解得， 所以最接近的整数是5. 故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断AD；举反例可判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，令，所以，故B错误； 对于C，令，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 可得，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 在中，下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形内角和定理及诱导公式逐个判断即可. 【详解】在中，， 对于A，，A正确； 对于B，，不一定为0，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，不一定为0，D错误． 故选：AC 11. 已知函数是定义域为上的奇函数，满足，下列说法正确的有（ ） A. 函数的周期为4 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合奇函数性质逐项分析判断即得. 【详解】对于B，由函数是定义在上奇函数，得，B正确； 对于A，由，得，则函数的周期为4，A正确； 对于C，，C错误； 对于D，由，得，函数的图象关于直线对称， 因此，D正确. 故选：ABD 12. 用“五点法”作函数（，，）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数描述正确的是（ ） 0 1 3 1 1 A. B. C. D. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再将函数图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，若对于任意恒成立，则实数的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据表格中的数据，结合“五点法”作图列式求出得函数的解析式，再逐项分析求解即可. 【详解】由表格中的数据，得，解得，由，解得， 因此， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，函数，C错误； 对于D，由将函数的图象先向左平移个单位长度， 得，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变， 横坐标变为原来的2倍，得，然后将所得函数图象上所有点的横坐标不变， 纵坐标变为原来的倍，得，， 则不等式化为， 即，依题意，，恒成立， 当或时，恒成立，当时，，， 于是，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以实数的取值范围为，D错误. 故选：AB 【点睛】易错点睛：利用变换法函数 ()(x∈R)的作图，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 扇形的半径为2，圆心角所对的长为4，则该扇形的面积是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件结合扇形的面积公式直接求解即可. 【详解】因为扇形的半径为2，圆心角所对的长为4， 所以该扇形的面积是. 故答案为：4 14. 形如的函数称为幂函数，写出一个满足条件“函数的图象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数：______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定条件，结合幂函数的图象性质写出解析式即可. 【详解】由幂函数的图象关于原点对称，得幂函数为奇函数， 又幂函数的图象与坐标轴没有交点，则的幂指数为负数， 例如，所以. 故答案为： 15. 已知函数为偶函数，且，当时，，则______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，由此计算函数值即可. 【详解】由函数为偶函数，，得， 即，则， 因此函数的一个周期为8， 又当时，，所以. 故答案为： 16. 已知，满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据条件得到，构造函数，利用的单调性，结合，得到，即可求出结果. 【详解】令，则，由，得到， 即，也即，又， 令，易知在上单调递增， 所以，即， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于，通过换元，利用同构思想，将变形得到，构造函数，利用的单调性，结合条件，得到，即可求出结果. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选条件①，则由任意角三角函数的定义求出，然后化简代值计算即可；若选条件②，利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可；若选条件③，先解方程求出，再利用同角三角函数的关系求出，然后化简代值计算即可； （2）由（1）知选条件①，②，③时，，代入计算即可. 【小问1详解】 若选条件①，则， 所以 ； 若选条件②，则由角满足，且角为第四象限角，得 ，， 所以 ； 若选条件③，则由，得， 化简得，得， 因为，所以， 所以，， 所以 ； 【小问2详解】 若选条件①，由（1）知， 所以 ； 若选条件②，由（1）知， 所以 ； 若选条件③，由（1）知， 所以 . 18. 已知函数的定义域为，函数，（）的值域为. （1）当，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的定义求出，利用正弦函数性质求出，再利用补集、并集的意义求解即得. （2）由（1）的信息，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 函数有意义，得，解得或， 即，， 当时，，由，得， ，即，因此， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则，即， 由是的充分条件，得，因此， 所以实数的取值范围是. 19. 设函数是定义在的偶函数，且当时，，将函数中和两部分的表达式相加得到函数. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的奇偶性； （3）讨论函数在定义域内的单调性，并证明. 【答案】（1）； （2）偶函数； （3）在上单调递增，在上单调递减，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的意义求解即得. （2）利用奇偶性定义判断即得. （3）判断单调性，再利用单调性定义推理即得. 【小问1详解】 当时，，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 函数是上的偶函数. 【小问3详解】 由（1）知，，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，于是， 而函数在上单调递增，因此， 即，所以函数在上单调递增，由偶函数的性质得在上单调递减. 20. 为深刻践行习总书记“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某县响应号召，在某个乡镇搞“生态农业特色小镇”.调研过程中发现：某生态农产品的每亩产量（单位：）与生态肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入为（单位：元）.已知这种生态农产品的市场售价大约为20元，且供不应求.记该这种生态农产品每亩获得的利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当投入的生态肥料费用为多少元时，该种生态农产品每亩获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当肥料费用为270元时，农产品每亩获得的利润最大，最大利润是4880元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出的表达式，再分段求出即可. （2）借助二次函数及基本不等式分段求出最大值，再比较大小即可得解 【小问1详解】 依题意，，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 即在上的最大值为3100； 当时，， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此当时，取得最大值4880，此时肥料费用， 所以当生态肥料费用为270元时，该种生态农产品每亩获得的利润最大，最大利润是4880元. 21. 已知函数，. （1）当，时，解关于不等式； （2）当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）即解不等式，分、、且讨论，解不等式可得答案； （2）转化为在上恒成立，求得的最大值可得答案； （3）由得，化简方程得，令，结合一元二次不等式求解可得答案. 【小问1详解】 当，时，即解不等式， 可得， 当时，成立， 当时，得，即解， 解得； 当且时，得，解得， 综上所述，不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，可得，， 对任意，关于的不等式恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即当时，的最大值为0，所以， 所以实数的取值范围； 【小问3详解】 由，可得， 可得， 因为点，均为函数与函数图象的公共点， 可得， ，两式相减得 ， 因为，所以， 可得， 令，则， 整理得，解得， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是化简方程得，令，结合一元二次不等式求解可得答案. 22. 2016年巴西里约奥运会上“Omniverse火炬雕塑”，如图1将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2.在如图3平面直角坐标系中，点以为起始点，以为圆心，半径为（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转，点到地面的距离为，且（单位：10米），在如图4平面直角坐标系中，点以为起始点，以为圆心，半径为1（单位：10米），转速的圆周上按逆时针旋转. （1）求经过秒后，点到地面的距离及距离； （2）若在时，存在点使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义可得到的纵坐标，在根据题意，即可得到 ；因为点P,Q的转速都为，且起始点相差，所以可以证明角为定值，进而求解. （2）由 可得列出等式 ，再根据求解范围即可. 【小问1详解】 由题意及三角函数的定义可知 ， 所以 （单位： 10 米）； 因为点以为起始点，以为圆心，半径为，转速的圆周上按逆时针旋转， 点以为起始点，以为圆心，半径为1，转速的圆周上按逆时针旋转. 所以经过t秒后，点P形成的角为,点Q形成的角为, 所以, 因为,所以 所以（点P不论在哪个位置，始终为定值） 所以（单位： 10 米）. 【小问2详解】 因为在时，存在点使得成立， 即， 所以， 因为，所以,所以 所以 又，所以 【点睛】思路点睛：本题关键在于知道角为定值，进而可求得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$