6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解平面向量正交分解的含义，掌握平面向量的坐标表示，理解向量坐标与点的坐标的联系与区别.
- 能根据图形写出向量的坐标，或根据坐标作出向量.
- 在建立向量与有序实数对的对应过程中，感受数形结合思想，发展几何直观与代数运算相结合的能力.
- 平面向量的正交分解及其坐标表示.
- 向量坐标与点的坐标之间的对应关系.
- 根据坐标求向量（或点的位置）的基本方法.
- 理解向量坐标与点的坐标的区别（向量坐标与起点无关，点的坐标与位置有关）.
- 坐标表示中“以原点为起点的向量”与终点坐标的一一对应.
- 问题引入：
在平面向量基本定理中，我们知道了任意向量可以用两个不共线的基底表示.如果这两个基向量互相垂直，这种分解有什么特别之处？
例如，在物理中，力的分解常分解为水平方向和竖直方向的两个分力，这就是正交分解.
- 正交分解的定义：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
在正交分解中，通常取两个互相垂直的单位向量作为基底，称为单位正交基底，记作 
，
（分别表示 
轴、
轴正方向上的单位向量）.
- 思考与辨析：
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(1) 正交分解的基底必须满足什么条件？
（互相垂直，不一定要求是单位向量，但为方便坐标表示，常用单位正交基底.）
(2) 任意向量是否都可以进行正交分解？
（是，且分解唯一.）
(3) 零向量如何正交分解？
（两个分向量都为零向量.）
- 练习：判断下列说法是否正确（口头或书面）：
A. 正交分解的基底必须是单位向量.（ ）
B. 任意平面向量都可以唯一进行正交分解.（ ）
C. 正交分解的两个分向量方向相同.（ ）
D. 只有非零向量才能进行正交分解.（ ）
答案：A×（只需垂直），B√，C×（互相垂直），D×（零向量也可分解）.
- 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量.
- 单位正交基底：两个互相垂直且模为
的向量，记为 
. - 正交分解唯一性：给定基底，表示法唯一.
- 坐标表示的定义：
取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对平面内任一向量 
，存在唯一一对实数 
，使得
则称 为向量 的坐标，记作 
.
- 向量坐标与点的坐标的联系：
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以原点 
为起点，以点 
为终点的向量 
的坐标即为 
的坐标，即 
.
但任意向量 的坐标等于其终点坐标减去起点坐标（后续学习）.
注意：向量坐标与起点无关，而点的坐标与位置有关.
- 例题：在平面直角坐标系中，点
，
，求 ，
的坐标，以及以 为起点、
为终点的向量 
的坐标.
解：
，
，
.
- 向量坐标与点的坐标的区别：
(1) 点的坐标表示位置，与原点有关.
(2) 向量的坐标表示向量本身，与起点无关，可由终点坐标减起点坐标得到.
- 坐标表示：
. - 起点在原点的向量：
. - 一般向量：
.
- 例1：在正方形
中，
，
，
，求顶点 
的坐标，以及向量 
的坐标.
解：
，
.
- 例2：已知向量
，
，求 
，
，
的坐标.
解：
；
；
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