6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2 平面向量正交分解及坐标表示 【学习目标】 1. 理解平面向量正交分解的含义，掌握平面向量的坐标表示，理解向量坐标与点的坐标的联系与区别. 1. 能根据图形写出向量的坐标，或根据坐标作出向量. 1. 在建立向量与有序实数对的对应过程中，感受数形结合思想，发展几何直观与代数运算相结合的能力. 【学习重点】 1. 平面向量的正交分解及其坐标表示. 2. 向量坐标与点的坐标之间的对应关系. 3. 根据坐标求向量（或点的位置）的基本方法. 【学习难点】 1. 理解向量坐标与点的坐标的区别（向量坐标与起点无关，点的坐标与位置有关）. 2. 坐标表示中“以原点为起点的向量”与终点坐标的一一对应. 学习任务一 平面向量的正交分解 【合作探究】 1. 问题引入： · 在平面向量基本定理中，我们知道了任意向量可以用两个不共线的基底表示.如果这两个基向量互相垂直，这种分解有什么特别之处？ · 例如，在物理中，力的分解常分解为水平方向和竖直方向的两个分力，这就是正交分解. 1. 正交分解的定义： · 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. · 在正交分解中，通常取两个互相垂直的单位向量作为基底，称为单位正交基底，记作 ，（分别表示 轴、 轴正方向上的单位向量）. 1. 思考与辨析： (1) 正交分解的基底必须满足什么条件？ · （互相垂直，不一定要求是单位向量，但为方便坐标表示，常用单位正交基底.） (2) 任意向量是否都可以进行正交分解？ · （是，且分解唯一.） (3) 零向量如何正交分解？ · （两个分向量都为零向量.） 1. 练习：判断下列说法是否正确（口头或书面）： · A. 正交分解的基底必须是单位向量.（ ） · B. 任意平面向量都可以唯一进行正交分解.（ ） · C. 正交分解的两个分向量方向相同.（ ） · D. 只有非零向量才能进行正交分解.（ ） · 答案：A×（只需垂直），B√，C×（互相垂直），D×（零向量也可分解）. 【自主梳理】 1. 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量. 1. 单位正交基底：两个互相垂直且模为 的向量，记为 . 1. 正交分解唯一性：给定基底，表示法唯一. 学习任务二 平面向量的坐标表示 【合作探究】 1. 坐标表示的定义： · 取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 作为基底，对平面内任一向量 ，存在唯一一对实数 ，使得 · 则称 为向量 的坐标，记作 . 1. 向量坐标与点的坐标的联系： · 以原点 为起点，以点 为终点的向量 的坐标即为 的坐标，即 . · 但任意向量 的坐标等于其终点坐标减去起点坐标（后续学习）. · 注意：向量坐标与起点无关，而点的坐标与位置有关. 1. 例题：在平面直角坐标系中，点 ，，求 ， 的坐标，以及以 为起点、 为终点的向量 的坐标. · 解：，， · . 1. 向量坐标与点的坐标的区别： (1) 点的坐标表示位置，与原点有关. (2) 向量的坐标表示向量本身，与起点无关，可由终点坐标减起点坐标得到. 【自主梳理】 1. 坐标表示：. 1. 起点在原点的向量：. 1. 一般向量：. 学习任务三 坐标表示的应用 【合作探究】 1. 例1：在正方形 中，，，，求顶点 的坐标，以及向量 的坐标. · 解：，. 1. 例2：已知向量 ，，求 ，， 的坐标. · 解：； · ； · . 1. 例3：已知点 ，，求 的坐标，并求 . · 解：，. 1. 例4：已知向量 ，，且 与 平行，求 . · 解：，平行于 ，则 ， · 交叉相乘得 ，，，. 【自主梳理】 坐标运算（设 ，）： 1. 加法： 2. 减法： 3. 数乘： 4. 模： 5. 共线： 【自查自纠】（正误判断） 1. 平面向量的正交分解要求基向量必须垂直且长度为 . （ ） 1. 向量 与点 表示同一个对象. （ ） 1. 若起点不在原点，则向量的坐标等于终点坐标. （ ） 1. 两个向量和的坐标等于它们坐标的和. （ ） 1. 零向量的坐标为 . （ ） 答案：1.×（只需垂直，不必须单位） 2.×（向量坐标与点的坐标含义不同） 3.×（需减起点） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：在平面直角坐标系中，点 ，，求 的坐标及 . 解：，. 例2：已知向量 ，，求 的坐标. 解：，. 例3：已知 ，，若 与 平行，求 . 解：，与 平行，则 ，即 ，，，，. 【习题巩固】 1. 在平面直角坐标系中，点 ，，则 的坐标为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 设向量 ，，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知向量 ，，若 ，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，则 与 的关系是（ ） · A. 平行且同向 B. 平行且反向 C. 垂直 D. 不平行也不垂直 1. （选做）已知平行四边形 中，，，，求顶点 的坐标. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（） 1. B（，模 模为5，选C.. 1. D 即 ，得 ，，，，则 ，， 1. B（，故 ，反向） 设 ，则 ，，由 得 ，，解得 ，，所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $