6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 导学案（学生版） 【1】教材知识提炼 1．正交基底与正交分解：如果平面向量的基底中，，就称这组基底为______，在正交基底下向量的分解称为______. 2．平面向量的坐标表示： (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． (2)坐标：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y使，我们把有序实数对_____叫做向量的坐标，记作_______，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．特别地，在向量的直角坐标中的坐标分别为． 3．向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则___________. 4.知识归纳：点的坐标与向量的坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 2．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若向量与相等,且,,则x的值为 A．1 B．1或4 C．0 D． 7．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 8．若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 10．在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．用下列，能表示向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 12．如图，向量，，的坐标分别是________，________，________. 13．如图：用向量，表示向量_________．    14．如图，在正方形中，为中心，且，则_________；_________；____________. 四、解答题 15．如图所示，试分别用基底，表示向量，，，，并求出它们的坐标． 16．已知点，．点在坐标轴上，求的值． 17．如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 18．在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标． 19．已知，试以为基底求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示（详解版） 【1】教材知识提炼 1．正交基底与正交分解：如果平面向量的基底中，，就称这组基底为______，在正交基底下向量的分解称为______. 【答案】 正交基底 正交分解 2．平面向量的坐标表示： (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． (2)坐标：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y使，我们把有序实数对_____叫做向量的坐标，记作_______，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．特别地，在向量的直角坐标中的坐标分别为． 【答案】 3．向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则___________. 【答案】 （ 4.知识归纳：点的坐标与向量的坐标的区别与联系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 2．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 3．已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】， 故选：C 4．已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量坐标运算直接构造方程求解即可. 【详解】设，则，解得：，，. 故选：C. 5．下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 6．若向量与相等,且,,则x的值为 A．1 B．1或4 C．0 D． 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量有关概念的坐标表示 【解析】写出的坐标表示，列方程组即可求解. 【详解】由已知得,, ∵与相等, ∴解得, 故选：A. 7．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 8．若向量，，，则可用向量，表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量基本定理，设，代入计算得到方程组，解出即可. 【详解】设，即， 则有，解得，则. 故选：A. 二、多选题 9．已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 【答案】ABC 【知识点】平面向量的概念与表示、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关， 所以点的坐标不一定是，故A错误； 同理点的坐标不一定是，故B错误； 当是原点时，点的坐标是，故C错误； 当是原点时，点的坐标是，故D正确. 故选：ABC 10．在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解. 【详解】解：由图知，，，故A正确，B不正确； ，，故C正确，D不正确． 故选：AC 11．用下列，能表示向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【知识点】用基底表示向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据题意，设，利用向量的坐标运算，得到关于的方程组，结合方程组的解，即可求解. 【详解】对于A中，设，可得， 则，方程组有无数组解，例如时，，所以A成立； 对于B中，设，可得， 则，解得时，，所以B成立； 对于C中，设，可得， 则，此时方程组无解，所以不能表示，所以C不成立； 对于D中，设，可得， 则，此时方程组无解，所以不能表示，所以D不成立. 故选：AB. 三、填空题 12．如图，向量，，的坐标分别是________，________，________. 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】结合图象运用平面向量坐标表示求解即可. 【详解】如图， 将各向量分别向单位正交基底，所在直线分解， 则，∴， ，∴， ，∴， 故答案为：；；. 13．如图：用向量，表示向量_________．    【答案】 【知识点】用基底表示向量 【分析】作图，将按照的方向分解得到，进而表示出，即可得出答案. 【详解】   如图，将按照的方向分解可得. 因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 14．如图，在正方形中，为中心，且，则_________；_________；____________. 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】由可确定点坐标，由此可得三点坐标，进而得到所求向量. 【详解】，，，，， ，，. 故答案为：；；. 四、解答题 15．如图所示，试分别用基底，表示向量，，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【知识点】用基底表示向量、用坐标表示平面向量 【分析】根据平面向量基本定理，先将所求向量用基底线性表示，即可求出其坐标. 【详解】由图可知，，所以， 同理，因，则． 因，则， 因，则． 16．已知点，．点在坐标轴上，求的值． 【答案】答案见解析 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示 【分析】根据已知向量的坐标表示求出点的坐标应用点的特征得出参数即可. 【详解】 设，． 可得 ①当点在轴上时，，． ②当点在轴上时，，． 17．如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【知识点】用基底表示向量、用坐标表示平面向量 【分析】应用基底表示向量再结合向量的坐标表示得出向量的坐标即可. 【详解】由图形可知，，，， 它们的坐标表示为，，. 18．在平面直角坐标系xOy中，向量的方向如图所示，且，，，分别计算出它们的坐标． 【答案】，，． 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据向量坐标的定义，以及向量的模和三角函数，即可求解向量的坐标. 【详解】设，，， 则，， ，， ，， 因此，，． 19．已知，试以为基底求. 【答案】 【知识点】用基底表示向量、用坐标表示平面向量 【分析】先利用坐标关系以为基底表示出,即可求得. 【详解】令，则(6，5)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)，即(6，5)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)， 所以解得， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $