精品解析：2026年河北保定东方双语学校等校中考一模数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若有理数a与b互为倒数，则下列表述错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义判断各选项，找出错误表述即可． 【详解】解：∵ 有理数与互为倒数，根据倒数的定义可得， ∴ A选项表述正确； 对变形可得，， ∴ C，D选项表述正确； B选项表示与互为相反数，不符合倒数的定义，表述错误． 本题要求选错误选项，故选B． 2. 某款课桌的侧面简易示意图如图所示，其中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，利用内错角相等即可得出结果． 【详解】∵， ∴． 3. 如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（ ） A. 等腰三角形三线合一 B. 相似三角形对应边的比等于相似比 C. 全等三角形的对应边相等 D. 平行线间的距离处处相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 4. 如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再结合数轴判断点的情况即可得出结果． 【详解】， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， ∴点B表示的数可以使不等式组成立． 5. 如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意设乙木条的长为n，列出与的关系式，并求得n的表达式即可得解． 【详解】设乙木条的长为n， 根据题意，得， 解得． 6. 如图1是由3个大小一样的正方体搭建的立体图形，再增加一块，使得搭建后的立体图形的俯视图如图2所示，则下列搭建方式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图1确定原立体图形的主视图特征，再根据图2确定增加一块后立体图形的俯视图特征，结合选项中的立体图形，逐一验证其主视图和俯视图是否符合要求． 【详解】观察图1可知，该立体图形从正面看，左边一列有2个正方体，右边一列有1个正方体， 观察图2可知，搭建后的立体图形从上面看，由3个小正方体组成，具体分布为：后排有2个（左、右各一个），前排右侧有1个，即俯视图呈现“左上、右上、右下”的布局， ∴四个选项中D项符合． 7. 若，则a的值为（ ） A. 5 B. 5或6 C. 6 D. 1或6 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或． 8. 甲，乙，丙，丁四个同学玩传球游戏，每个同学按如图中箭头方向随机传球，若经过两次传球，球在丙手中的概率为，则下列符合条件的树状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定第一次传球的起始人，再根据规则列出所有可能的传球路径，最后计算球在丙手中的概率． 【详解】解：根据图中规则可知：甲只能传给乙或丁，乙只能传给丙或丁，丙只能传给甲，丁只能传给乙或丙； A项：从树状图可知，共有4种等可能情况，其中符合题意的有甲—丁—丙，甲—乙—丙，共2种，概率为，符合题意； B项：从树状图可知，共有3种等可能情况，而非4种，其中球在丙手中的有乙—丁—丙，共1种，概率为，不符合题意； C项：由于丙只能传给甲，两次传球的等可能结果共有2种，但第2次都未到丙手中，不符合题意； D项：从树状图可知，共有3种等可能情况，而非4种，其中球在丙手中的有丁—乙—丙，共1种，概率为，不符合题意． 9. 已知，为关于x的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断． 嘉嘉：当时，； 淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（） A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 嘉嘉、淇淇都正确 D. 嘉嘉、淇淇都错误 【答案】A 【解析】 【分析】1．分析嘉嘉的判断：利用根的判别式，将代入判别式，根据判别式与0的大小关系判断结论． 2．分析淇淇的判断：根据一元二次方程根与系数的关系、，联立求出、或直接求出的值，再判断是否成立． 【详解】解：根据题意得， 当时，，∴，故嘉嘉说法正确； 根据题意得，， ∵，∴，，∴，解得，故淇淇说法错误． 10. 如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东方向，在景点B的北偏西方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 30千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作于点H，先解求出，再解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点H，则． 在中，，千米， ∴千米，千米． 在中，， ∴千米， ∴千米． 11. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为， 当D为的中点时，点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 12. 如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题是一道典型的平行四边形几何综合题，主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用． 过点作于点．利用，求出，过点作交延长线于点，证明，得出，．根据，证明，推导出，利用相似比建立方程求出．最后在中利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点， ∵，∴设，则． ∵，∴． 在中，由勾股定理得， 解得（不合题意舍去）， ∴，，， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴，， 设，则， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴． ∵， ∴∽， ∴，即，解得， ∴． 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题的核心在于通过构造辅助线，利用角度关系和勾股定理求出关键线段，进而通过相似三角形求解目标线段． 1．方程思想（设参法）：利用三角函数值设未知数，结合勾股定理列方程求解，是处理直角三角形边长问题的通法． 2．构造全等：通过作垂线构造直角三角形，将平行四边形的边角关系进行转移（将转移到），是解决线段转移的关键． 3．相似转化：本题难点在于处理倍角关系（），解题中通过角度推导转化为相似三角形的判定条件，从而将未知线段纳入比例关系中求解． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 七巧板是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图2是由图1拼成的风车形状，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据七巧板的几何特征及图2所示的风车形状，设图1中正方形的边长为，从而求得图2中的相关线段的表达式，进而求得正切值． 【详解】解：标注点F，P，Q如解图， 设题图1中正方形的边长为， 根据七巧板的性质可得，， ∴， ∴． 16. 如图，以正方形的边为边向左侧作正六边形，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据正六边形每一个内角等于证明，再利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于点． 在正六边形中，，， ∴，， 过点D作于点N， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵P是的中点， ∴． ∵， ∴∽， ∴，即，解得． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）简便计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用乘法分配律依次展开，将小数转化为分数，最后从左往右依次加减运算即可； （2）先计算二次根式的乘法并求算术平方根，再计算负整数指数幂和零指数幂，最后进行加减运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“△”． 解：根据题意可得，， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 ． 第四步 （1）以上过程是从第______步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）若，，求正确的“△”的值． 【答案】（1） 解：在题中的解答过程里，第二步的移项出现错误，导致后续步骤开始出现错误，正确的解答过程如下： 根据题意可得，， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中的解题过程进行分析即可，再写成正确的解答过程即可； （2）根据（1）中的化简结果将a，b代入即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， 由（1）得， ∴． 19. 如图，在中，，点D在边上，过点D作与的延长线交于点E，交于点F，且． （1）求证：； （2）若F为的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）6 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用直角三角形两锐角互余可得，从而证明； （2）利用全等三角形的性质结合勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴，，， ∵F为的中点， ∴， 在中，， 即，解得， ∴， ∴， ∴． 20. 探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89； b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97； c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）． 探究性教学评分条形统计图 传统教学评分扇形统计图 平均数 中位数 众数 探究性教学 86 96 传统教学 84.2 87.5 b 根据以上信息解答以下问题： （1）求此次随机抽取的总人数； （2）直接写出a，b的值； （3）若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值． 【答案】（1）20人 （2）， （3）n的最小值为87 【解析】 【分析】（1）根据传统教学D等级的评分的个数和占比即可计算此次随机抽取的总人数； （2）A等级的占比等于1减去其他等级的所占百分比；由在D等级中出现了5次，比其他等级的人数都多即可得出， （3）根据随机抽取的总人数为20人，中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数，结合C等级数据进行讨论比较，从而得出结论． 【小问1详解】 解：∵传统教学D等级的评分数据有个，在扇形统计图中所占比例为， ∴此次随机抽取的总人数为（人）． 【小问2详解】 解：由扇形统计图可知，故； 由（1）得随机抽取总人数为20人， ∴传统教学A等级人数为（人）， B等级人数为（人）， C等级人数为（人）， 在D等级中出现了5次，出现的次数最多， ∴众数． 【小问3详解】 解：∵随机抽取的总人数为20人， ∴中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数． ∵由条形统计图可知A等级有3人，B等级有2人，且C等级有6人， ∴中位数位于C等级． ∵C等级数据为82，83，84，85，n，89，且探究性教学评分的中位数比87.5大， ∴当时，中位数为，不符合题意， 当时，中位数为，解得，即． ∵评分为整数，∴n的最小值为87． 21. 如图1，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度v与时间t的关系成线性关系，其变化如图2所示．在实验开始的6s后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． （1）求时，水流速度v与时间t的函数解析式； （2）求第6s的水流速度； （3）若虹吸管水流方向的横截面面积为，当每秒出水量为时，求此时对应的时间． 【答案】（1） （2） （3）此时的时间为第 【解析】 【分析】（1）因为时，与成一次函数关系，所以可设一次函数解析式，利用图2中和时的值代入求解． （2）先求出当时，水流速度v与时间t的函数解析式为，再将代入计算对应的值． （3）因为每秒出水量等于横截面积乘以水流速度，所以先根据出水量求出对应的值，再水流速度判断的时间范围，代入对应区间的函数解析式求解． 【小问1详解】 解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为， 当时，， ∴第6s的水流速度为． 【小问3详解】 解：∵每秒出水量为， ∴水流速度为， 由（2）得在范围内，水流速度最小为， ∴将代入中，得，解得， ∴当每秒出水量为时，此时的时间为第． 22. 如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接． （1）求的度数； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求的长； （3）求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离． 【答案】（1） （2） （3），点与点之间的距离为 【解析】 【分析】--（1）由菱形性质可知平分，故点M到AD的距离等于点M到CD的距离．结合即可得出，由此求出即可求解； （2）根据（1）可求，进而可得，再解三角形求出， （3）在中，，由此得出当最大时，最大，即扇形MPQ的面积最大，当点P与点B重合时，最大，即扇形的面积最大由此解题． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴平分． ∵点在上， ∴点到的距离等于点M到的距离． ∵， ∴点到的距离等于的长． ∵， ∴为点到的距离， ∴． ∵，∴． 在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：设， 由（1）得， ∴扇形的面积为． ∵，∴当r最大时，扇形的面积最大． ∵在中，， ∴当最大时，最大，即扇形的面积最大， ∴如解图②，当点与点重合时，最大，即扇形的面积最大． ∵， ∴． ∵，∴，解得， ∴，． 在中，， ∴此时点与点重合，， ∴扇形面积的最大值为， 此时点与点之间的距离为． 【点睛】性质转化：第（1）问的关键在于将“菱形对角线平分角”转化为“点到两边距离相等”，从而证明垂直关系，这是解决此类几何证明题的常用突破口． 2．三角函数法：第（2）问直接利用菱形的特殊角度（， ）及三角函数值（  ）进行计算，比纯几何法更为简洁高效． 3．函数与方程思想：第（3）问是典型的最值问题，核心策略是“以静制动”．将动态的扇形面积转化为半径  的函数，再将  与线段  建立关系，最后利用几何位置的极限状态（  与  重合）建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的完美结合． 23. 综合与实践 【情境】我们知道，菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．嘉嘉学习完相关知识后，提出问题：是否存在只有一条对称轴的四边形？ 【操作】如图1，在矩形中，E是的中点，在图中作出只有一条对称轴且对角线互相垂直的四边形（其余三个顶点分别在边上）． 嘉嘉和淇淇有不同的操作方法： 嘉嘉：①如图2，将矩形对折后展开，折痕为； ②在上取任意一点F，将矩形沿过点F的直线折叠，使点B落在上，展开，折痕为； ③连接． 淇淇：①如图3，在边上任取一点G，连接； ②…… 【探究】根据以上描述，解决下列问题： （1）证明：图2中； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出四边形；（保留作图痕迹，不写作法） 【拓展】 （3）如图4，在四边形中，，． ①连接，若，，且，求的长； ②若，，M是边上一点，于点N，连接，若平分，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质，得垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2） 解：作四边形如图． （3）①4；②18 【解析】 【分析】（1）由题意可知垂直平分，可得，，再根据等边对等角得，，然后求和得出答案； （2）分别以点E，G为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N,作直线，交于点H，交于点F，则是的垂直平分线，可得直线是四边形的对称轴； （3）①连接，交于点O，作，由线段垂直平分线的性质得，由，根据勾股定理得，再说明∽，可得，然后设，则，，接下来表示出，再根据勾股定理得出，求出解即可得出答案； ②将沿折叠，点F的对应点为Q，由折叠的性质，得，，，再说明四边形是正方形，设，则，，可得，然后由勾股定理得，进而求出，进而求出，，，最后根据得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如解图，连接，交于点O，过点H作于点P． ∵，， ∴垂直平分线段， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴由勾股定理得， 由题意可得直线是四边形的一条对称轴， 则． ∵， ∴． ∵， ∴∽， ∴， 即． 设，则，， 则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， 则； ②四边形的面积为18． 如解图，将沿折叠，点F的对应点为Q， ∵平分， ∴点Q落在线段上， 由折叠的性质，得，，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴设，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴，，， ∴ ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． （1）求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； （2）若抛物线与关于直线对称，求m的值； （3）若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； （4）连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点P的坐标为 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接利用二次函数 的顶点坐标公式得出对称轴方程及顶点 的坐标． （2）先求出原抛物线的顶点坐标，求出变换后抛物线的顶点坐标，再根据两点关于直线 对称，得出结论． （3）先利用抛物线与直线交点的横坐标差来表示线段长度．根据 的长度范围，建立关于 的不等式． （4）过点 作垂线，构造矩形．结合 及角度关系，推导出边角关系（）．再设 点坐标，利用几何关系表示相关线段．将 点坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程，舍去不符合题意的解，得出最终坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点P的坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与关于直线对称，且抛物线， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∵点与点是关于的对称点， ∴． 【小问3详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线与直线交于点C和D，且点C在点D的左侧， ∴当时，，， ∴，， 将点代入中，解得， 当时，，， ∴，． 将点代入中，解得， ∴． 【小问4详解】 解：点E的坐标为． 如解图，连接交x轴于点F， 过点E分别作于点G，轴于点H， ∴． ∵抛物线，的对称轴均为直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵抛物线， ∴． ∵当时，，解得，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴点E的坐标是． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在抛物线上， ∴， 整理可得． ∵， ∴， ∴， 整理可得，解得（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴点E的坐标是． 【点睛】解题关键：1．数形结合：第(2)、(3)问将几何变换（对称）和几何量（线段长）转化为代数运算（中点公式、解方程/不等式）． 2．方程思想（设参法）：第(4)问是典型难点，核心在于“设点求线”．通过设点 的坐标，利用（垂直、相似）转化线段关系，将线段用参数表示，最后代回解析式建立方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5.考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 若有理数a与b互为倒数，则下列表述错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 某款课桌的侧面简易示意图如图所示，其中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（ ） A. 等腰三角形三线合一 B. 相似三角形对应边的比等于相似比 C. 全等三角形的对应边相等 D. 平行线间的距离处处相等 4. 如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 如图，有甲、乙两根长度不同的木条，竖直插入到纸杯底部，甲木条露出纸杯的部分是其全长的，乙木条露出纸杯的部分是其全长的，已知甲木条的长为m，则乙木条的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1是由3个大小一样的正方体搭建的立体图形，再增加一块，使得搭建后的立体图形的俯视图如图2所示，则下列搭建方式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则a的值为（ ） A. 5 B. 5或6 C. 6 D. 1或6 8. 甲，乙，丙，丁四个同学玩传球游戏，每个同学按如图中箭头方向随机传球，若经过两次传球，球在丙手中的概率为，则下列符合条件的树状图是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，为关于x的一元二次方程的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断． 嘉嘉：当时，； 淇淇：当时，． 则关于两人的判断说法正确的是（） A. 嘉嘉正确，淇淇错误 B. 嘉嘉错误，淇淇正确 C. 嘉嘉、淇淇都正确 D. 嘉嘉、淇淇都错误 10. 如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东方向，在景点B的北偏西方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 30千米 D. 千米 11. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 因式分解：______． 15. 七巧板是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图2是由图1拼成的风车形状，则的值为______． 16. 如图，以正方形的边为边向左侧作正六边形，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）简便计算：； （2）计算：． 18. 数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“△”． 解：根据题意可得，， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 ． 第四步 （1）以上过程是从第______步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； （2）若，，求正确的“△”的值． 19. 如图，在中，，点D在边上，过点D作与的延长线交于点E，交于点F，且． （1）求证：； （2）若F为的中点，，求的长． 20. 探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89； b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97； c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）． 探究性教学评分条形统计图 传统教学评分扇形统计图 平均数 中位数 众数 探究性教学 86 96 传统教学 84.2 87.5 b 根据以上信息解答以下问题： （1）求此次随机抽取的总人数； （2）直接写出a，b的值； （3）若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值． 21. 如图1，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度v与时间t的关系成线性关系，其变化如图2所示．在实验开始的6s后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． （1）求时，水流速度v与时间t的函数解析式； （2）求第6s的水流速度； （3）若虹吸管水流方向的横截面面积为，当每秒出水量为时，求此时对应的时间． 22. 如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接． （1）求的度数； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求的长； （3）求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离． 23. 综合与实践 【情境】我们知道，菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．嘉嘉学习完相关知识后，提出问题：是否存在只有一条对称轴的四边形？ 【操作】如图1，在矩形中，E是的中点，在图中作出只有一条对称轴且对角线互相垂直的四边形（其余三个顶点分别在边上）． 嘉嘉和淇淇有不同的操作方法： 嘉嘉：①如图2，将矩形对折后展开，折痕为； ②在上取任意一点F，将矩形沿过点F的直线折叠，使点B落在上，展开，折痕为； ③连接． 淇淇：①如图3，在边上任取一点G，连接； ②…… 【探究】根据以上描述，解决下列问题： （1）证明：图2中； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出四边形；（保留作图痕迹，不写作法） 【拓展】 （3）如图4，在四边形中，，． ①连接，若，，且，求的长； ②若，，M是边上一点，于点N，连接，若平分，，直接写出四边形的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． （1）求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； （2）若抛物线与关于直线对称，求m的值； （3）若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； （4）连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $