精品解析：2025年河北省保定市竞秀区九年级中考一模数学试题

2025年初中学业水平适应性训练 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的氢气质量约为，的氢气质量用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由若干个小正方体堆成的几何体的左视图，这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 100 B. 50 C. 17 D. 3 7. 下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（ ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A. ①处应填写“角平分线的定义” B. ②处应填写“” C. ③处应填写“ASA” D. ④处应填写“全等三角形对应边相等” 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电流由减少至，则电阻的变化情况是（ ） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了 D. 减小，减小了 9. 古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，译文：“酒分为醇酒和醨酒（醇酒是浓酒，醨酒是淡酒），醇酒1升可以醉倒3位客人：醨酒3升可以醉倒1位客人．总共饮用了‘一斗九’的酒（即19升），醉倒了33位客人．问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？（注：1斗10升）”．则下列说法错误的是（ ） A. 设饮用了升醇酒，升醨酒．列出方程组为： B. 设饮用了升醇酒，则饮用了升醨酒．列出方程为： C. 饮用了10升醇酒 D. 饮用了10升醨酒 10. 问题“解方程”，嘉嘉说“不管为何值时，方程均有两个实数根”，琪琪说“方程有两个实数根，而且一定是两个正数根”，珍珍说“此方程无实数根”．则下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉说得对 B. 琪琪说得对 C. 珍珍说得对 D. 三名同学说法都不对 11. 如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（ ） A. 四边形EFGH是矩形 B. 四边形不是菱形 C. 四边形周长等于四边形的周长 D. 四边形的面积为 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12. ________． 13. 若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是________． 14. 小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数______． 15. 在平面直角坐标系中，嘉琪做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…．依此类推，第步的走法是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第50步时，棋子所处位置的坐标是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． （1）若被手遮挡的数是，求这个算式的值； （2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 17. 有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． （1）将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． （2）请将卡片上写的代数式化简； （3）用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 18. 2025年4月20日上午保定马拉松开跑，来自国内外的25000名跑友从七一东路与锦湖大街交口出发，用脚步丈量京畿之门．本届赛事共设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后，组委会随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分测验，并将收集到的数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：分，分分，分分，分分）． 组委会将数据整理后分别绘制了条形统计图1和扇形统计图2，但工作人员不小心把两张统计图沾上了墨汁，只记得两个等级人数相等． 请你帮忙解决下列问题： （1）请直接写出此次调查共抽取了 名选手； （2）组委会规定：若选手所评分数的中位数低于80分，则需对服务质量进行整改，请判断是否需要整改？并说明理由． （3）赛后，全程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，半程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，欢乐跑没有设置冠亚军奖项．若从男、女冠军4人中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率． 19. 如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． （1）请说明：入射光线必过点； （2）求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； （3）一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 20. 嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 21. 淇淇清明假期去游乐园玩，她玩了游乐园里的小型摩天轮后编制了一道数学问题：将摩天轮看作，如图1，摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点，摩天轮运行时保持顺时针匀速转动，线段表示上下摩天轮的平台，表示摩天轮的支架，分别过图中两个轿厢的位置，乘客都从图中点位置的轿厢上下摩天轮，摩天轮直径为40米，运转一周用时12分钟，米．（参考数据：） （1） °； （2）如图2，当淇淇到达点处时，与她开始进入轿厢的位置（点）之间恰好相距32米（即线段的长为32米），求淇淇转过的弧的长度； （3）设淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点，连接，若与⊙O相切，直接写出此时的值． 22. 冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看做一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． （1）求点坐标； （2）求抛物线的解析式，并直接写出点坐标： （3）现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 23. 如图，中，，点为边上一点（不含端点），将沿折叠，点落在点，连接，直线与边交于点，设． （1）时， ； （2）如图1，点为中点时，求； （3）如图2，平分时，直接写出的度数并求出此时的值； （4）如图3，点在上方时，直接写出点到的距离（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平适应性训练 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的化简，正数与负数．先根据乘方、绝对值、相反数、算术平方根对各数进行化简，再由正数和负数的定义判断即可． 【详解】解：A、，它是负数； B、，它是正数； C、，它是正数； D、，它是正数． 故选：A 2. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，点的对应点分别是点．下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：把△以点为中心顺时针旋转得到△， ，，，故A，B，不符合题意． 不一定等于， ∴符合题意； 故选：． 3. 已知的氢气质量约为，的氢气质量用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：∵， ∴用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 已知a、b是两个不相等的正数，在交换a与b的位置后，下列代数式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式的性质．根据完全平方公式的性质即可求得答案． 【详解】解：A．，则A符合题意； B．，则B不符合题意； C．，则C不符合题意； D．，则D不符合题意； 故选：A． 5. 如图是由若干个小正方体堆成的几何体的左视图，这个几何体不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：观察可知，A，C，D的左视图都有2列，第1列有2个小正方形，第2列有1个小正方形，与题干图形相同；B的左视图有3列，第1列有2个小正方形，第2列有1个小正方形，第3列有1个小正方形，与题干图形不同，不符合题意； 故选B． 6. 若算式的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 100 B. 50 C. 17 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将中的分子进行因式分解，再依次判断，即可求解，本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 7. 下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（ ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A. ①处应填写“角平分线的定义” B. ②处应填写“” C. ③处应填写“ASA” D. ④处应填写“全等三角形对应边相等” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；掌握（AAS）的判定条件是解题关键． 根据全等三角形的判定：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；即可解答； 【详解】证明：∵是的平分线， ∴（角平分线的定义） ∵， ∴， ∵ ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 原证明过程中③处填写错误， 故选：C． 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电流由减少至，则电阻的变化情况是（ ） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了 D. 减小，减小了 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键，根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入，得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当电流I从减少至时，电阻R增大了， 故选：A． 9. 古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？（一斗为十升）”，译文：“酒分为醇酒和醨酒（醇酒是浓酒，醨酒是淡酒），醇酒1升可以醉倒3位客人：醨酒3升可以醉倒1位客人．总共饮用了‘一斗九’的酒（即19升），醉倒了33位客人．问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？（注：1斗10升）”．则下列说法错误的是（ ） A. 设饮用了升醇酒，升醨酒．列出方程组为： B. 设饮用了升醇酒，则饮用了升醨酒．列出方程为： C. 饮用了10升醇酒 D. 饮用了10升醨酒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组或方程是解题的关键． 根据题意正确列出方程组或方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设饮用了升醇酒，升醨酒． 根据题意列方程得， 故选项A正确，不符合题意； 设饮用了升醇酒，则饮用了升醨酒． 根据题意列方程得：， 解得：， 则， 饮用了升醇酒，饮用了升醨酒 故选项B、C正确，不符合题意；选项D错误符合题意； 故选：D． 10. 问题“解方程”，嘉嘉说“不管为何值时，方程均有两个实数根”，琪琪说“方程有两个实数根，而且一定是两个正数根”，珍珍说“此方程无实数根”．则下列结论正确的是（ ） A. 嘉嘉说得对 B. 琪琪说得对 C. 珍珍说得对 D. 三名同学说法都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况和根与系数关系，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判别式判断一元二次方程根的情况． 由题意得出系数后，根据根的判别式判断方程有两个不相等的实数根，再由两根之积为负数得出两根异号即可求解． 【详解】解：方程中，，，， ， ∴不管为何值时，方程均有两个不相等的实数根， 方程的两根之积为，故方程的两个实数根，而且方程的两个实数根一定异号， 综上所述：嘉嘉说法正确，琪琪、珍珍说法错误． 故选：A． 11. 如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（ ） A. 四边形EFGH是矩形 B. 四边形不是菱形 C. 四边形周长等于四边形的周长 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图——作垂直平分线，菱形的判定及性质，掌握菱形的判定及性质是解题的关键． 对于嘉嘉的作法：连接，，由作图可得垂直平分，垂直平分，根据中位线的性质得到，．证明点F是的中点，点G是的中点，得到，，从而根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形是平行四边形，又得到是菱形．判断选项A错误．根据勾股定理求出，得到． 对于琪琪的作法：由题意可得，是的垂直平分线，则，，证明得到，因此，又，得到四边形是平行四边形，再由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得到是菱形．判断选项B错误．设菱形的边长为x，根据勾股定理在中，求得，得到菱形的周长为，从而．即可判断选项C错误．根据菱形的面积公式即可判断选项D正确． 【详解】解：对于嘉嘉的作法： 连接，， 由作图可得垂直平分，垂直平分， ∴点H是的中点，点E是的中点，，， ∴，， ∵在矩形中，， 又，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，， ∵点H是的中点，点E是的中点， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴点F是的中点，点G是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴是菱形．故选项A错误． ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴． 对于琪琪的作法： 由题意可得，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形．故选项B错误． 设菱形的边长为x，即， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴菱形的边长为，周长为． ∴．故选项C错误． ∵，， ∴．故选项D正确． 故选：D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平均数“一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记平均数的计算公式和众数的定义是解题关键．先根据平均数的计算公式求出的值，再根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：∵一组数据1，2，5，3，，的平均数是2， ∴， 解得， ∴这组数据为1，2，5，3，2，，其中，2出现的次数最多， ∴这组数据的众数是2， 故答案为：2． 14. 小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出，则可得出正多边形的边数______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据，求出，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵图形是正多边形花坛， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 在平面直角坐标系中，嘉琪做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…．依此类推，第步的走法是：当能被3整除时，则向上走1个单位；当被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第50步时，棋子所处位置的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化-规律型，解题的关键是发现点的坐标变化规律． 根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可． 【详解】解：根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位， ， 走完第50步时，棋子所处位置的横坐标是， 走完第50步时，棋子所处位置的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． （1）若被手遮挡的数是，求这个算式的值； （2）若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】（1）这个算式的值为 （2）被遮挡的数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． 【小问2详解】 解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 17. 有四张卡片，正面分别写有．四张卡片除正面的代数式不同外，其余均相同（如图）． （1）将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是 ． （2）请将卡片上写的代数式化简； （3）用（2）中化简后的代数式减去卡片上写的代数式，若差为3，请求出此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，分式的约分及解分式方程，理解概率的概念，掌握分式的基本性质是解题关键； （1）利用概率公式进行计算； （2）根据分式的基本性质进行约分化简； （3）将分式方程化为整式方程计算求解，注意结果要进行检验． 【小问1详解】 解：共4种等可能结果，其中符合题意的有2种， ∴将四张卡片洗匀并背面向上，从中随机抽取一张，恰好能抽到写有整式的卡片的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由题意可知：， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴． 18. 2025年4月20日上午保定马拉松开跑，来自国内外的25000名跑友从七一东路与锦湖大街交口出发，用脚步丈量京畿之门．本届赛事共设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后，组委会随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分测验，并将收集到的数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：分，分分，分分，分分）． 组委会将数据整理后分别绘制了条形统计图1和扇形统计图2，但工作人员不小心把两张统计图沾上了墨汁，只记得两个等级人数相等． 请你帮忙解决下列问题： （1）请直接写出此次调查共抽取了 名选手； （2）组委会规定：若选手所评分数的中位数低于80分，则需对服务质量进行整改，请判断是否需要整改？并说明理由． （3）赛后，全程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，半程马拉松男子组冠军和女子组冠军各一名，欢乐跑没有设置冠亚军奖项．若从男、女冠军4人中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率． 【答案】（1）800 （2） 不需要整改， 理由：由题意可知，等级40人，等级40人，等级（人）， 所以等级（人）， 因为共有800人，所以中位数应是将分数从小到大排序后位于第400和第401位的分数的平均数， 所以中位数应该落在等级，必然大于80分， 所以不需要整改． （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，条形统计图以及扇形统计图，理解题意，正确识图是解题的关键． （1）根据等级的人数除以占比即可得出总人数； （2）先算出每个等级的人数，根据中位数的位置判断即可； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知等级的人数为40人，占抽取总人数的， 所以此次调查共抽取选手为人， 故答案为：800． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将全程马拉松男子组冠军、全程马拉松女子组冠军、半程马拉松男子组冠军、半程马拉松女子组冠军分别简写为全男，全女，半男，半女，从男女冠军四人中随机抽取两人，列表如下： 全男 全女 半男 半女 全男 — （全男，全女） （全男，半男） （全男，半女） 全女 （全女，全男） — （全女，半男） （全女，半女） 半男 （半男，全男） （半男，全女） — （半男，半女） 半女 （半女，全男） （半女，全女） （半女，半男） — 共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的结果有2种． ∴恰好抽到全程马拉松男子组冠军和全程马拉松女子组冠军的概率为． 19. 如图，平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中的坐标分别为，．从光源处发射光线照射到平面镜上（含端点）． （1）请说明：入射光线必过点； （2）求入射光线照射到镜面上时，的取值范围； （3）一条感光带置于轴上，其中的坐标分别为，，光线照到感光带任何一点，感光带都会发光．请判断入射光线经平面镜反射后的光线能否使感光带发光．若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由并直接写出将平面镜至少向右平移多少个单位长度反射光线才能使感光带发光． 【答案】（1） 当时，； ∴入射光线必过点 （2） （3）入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光，见解析，将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光 【解析】 【分析】本题主要涉及一次函数的性质、直线与线段的位置关系以及光的反射原理． （1）通过对一次函数表达式的变形可证明直线过定点； （2）求出直线经过线段两个端点时k的值，从而确定k的取值范围； （3）要根据光的反射规律，找出反射光线与感光带的关系，进而求解k的取值 范围或平移距离． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：将代入得：； 将代入得：； ∴的取值范围是． 【小问3详解】 解：入射光线经平面镜反射后的光线不能使感光带发光． 理由：入射光线照射到镜面上点时，根据入射角和反射角的关系可知反射后的光线与轴的交点为，即，而的坐标为，所以不能使感光带发光． 将平面镜至少向右平移1个单位长度反射光线才能使感光带发光． 20. 嘉嘉发现某种形状的纸片通过裁剪，可拼接为其他形状（拼接不重叠无缝隙无剩余）． 情境：嘉嘉将图1的正方形对折确定点，沿剪开后拼接得到图2所示的钻石型五边形． （1）直接写出 ； 操作：图3是边长为1的正方形网格，网格上画有两个正方形，嘉嘉发现将其中较大正方形沿三条线剪开，即可与较小正方形一起拼接成一个更大的正方形． （2）请你在下图较大正方形中画出三条裁剪线，并在右侧空白网格处画出所拼成的大正方形和拼接线； 探究：图4是由边长为4的正方形和边长为3的正方形拼接而成的，嘉嘉想用裁剪拼接的方法验证勾股定理，发现只要剪两条线就可以将所给图形拼成一个大的正方形． （3）请用虚线在图4中画出裁剪线和拼接后的图形，并直接写出拼接后图形的周长． 【答案】（1）1； （2）如图所示，即为所求； 3）如图， 拼接后的正方形的边长为， 拼接后图形的周长为． 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据正方形的性质即可得到答案； （2）利用勾股定理画图，即可得到答案； （3）利用勾股定理画图，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意得， 故答案为：； （2）略； （3）略. 21. 淇淇清明假期去游乐园玩，她玩了游乐园里的小型摩天轮后编制了一道数学问题：将摩天轮看作，如图1，摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点，摩天轮运行时保持顺时针匀速转动，线段表示上下摩天轮的平台，表示摩天轮的支架，分别过图中两个轿厢的位置，乘客都从图中点位置的轿厢上下摩天轮，摩天轮直径为40米，运转一周用时12分钟，米．（参考数据：） （1） °； （2）如图2，当淇淇到达点处时，与她开始进入轿厢的位置（点）之间恰好相距32米（即线段的长为32米），求淇淇转过的弧的长度； （3）设淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点，连接，若与⊙O相切，直接写出此时的值． 【答案】（1）60 （2）弧的长为米 （3）分钟或分钟 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出相邻的轿厢与圆心形成的圆心角，即可作答． （2）运用垂径定理得米，，结合勾股定理得，根据，所以，则，再运用弧长公式列式计算，即可作答． （3）结合切线的性质得，则，结合，故，因为运转一周用时12分钟，则，即可作答． 【小问1详解】 解：∵摩天轮上的12个轿厢看作均匀分布在上的点， ∴相邻的轿厢与圆心形成的圆心角， 则， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：如图所示：过点O作， ∵， ∴米，， ∵摩天轮直径为40米， ∴米， 在中，（米）， 则， 故， ∴ 则（米），， ∴弧的长为米； 【小问3详解】 解：依题意，，分别是的切线，连接，如图所示： 依题意，米，， ∵米， ∴在中，， ∴， ∴， 由（1）得相邻的轿厢与圆心形成的圆心角， 即， ∴， ∵运转一周用时12分钟， ∴， ∴当淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点， ∴； ∴当淇祺进入轿厢分钟时所处位置为点， ∴（分钟）； 综上：分钟或分钟 22. 冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看做一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． （1）求点坐标； （2）求抛物线的解析式，并直接写出点坐标： （3）现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 【答案】（1） （2）， （3） 由题意可知： 整理得 解得（不符合题意），， 当时， ∵ ∴不能完整做完这个转体运动． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出表达式． （1）由题意可知，，利用待定系数法求出所在直线的表达式为，然后将代入即可求出答案； （2）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； （3）根据题意得到，求出，然后代入求解比较判断即可． 【小问1详解】 由题意可知，， 设所在直线的表达式为 则：，解得 ∴所在直线的表达式为 ∵点到地面的距离为5米 ∴ 解之得： ∴； 【小问2详解】 将，代入抛物线得： ， 解之得： ∴抛物线的解析式为； ∴； 【小问3详解】 略． 23. 如图，中，，点为边上一点（不含端点），将沿折叠，点落在点，连接，直线与边交于点，设． （1）时， ； （2）如图1，点为中点时，求； （3）如图2，平分时，直接写出的度数并求出此时的值； （4）如图3，点在上方时，直接写出点到的距离（用含的代数式表示）． 【答案】（1）或 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠性质，对顶角相等，结合三角形内角和定理分情况即可求出结果； （2）如图1，过点P作交与点G，先判定出为等腰直角三角形，在中，利用勾股定理求出的长，再根据求出的长，从而求出结果； （3）由折叠性质以及三角形内角和得到，再过点P作，利用勾股定理以及三角函数求出结果； （4）过点D作，连接交与点H，利用勾股定理，三角函数得到，作于点，连接，再根据，得，进而可得，根据，列出等式求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图1，时，由折叠可知：， ， 有对顶角相等可得： ， 在中， ， 如图2：时， 由折叠可知： 则， 在中， ； 如图3：时，， 与图2同理，， 故答案为：或； 【小问2详解】 如图1，过点P作交与点G， 为中点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 在中， ； 【小问3详解】 如图2：平分， ， 由折叠可知：， ， 在中， ， 如图，过点P作， ，， 即， 在中，， 则，， ， ， 在中，， ， 解得：或， ， ， 则； 【小问4详解】 解：如图：过点D作，连接交与点H， 在中，，， 由折叠可知，垂直平分， 在中，， ，则， ， ， 作于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即点到的距离为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线定义等相关知识，熟练掌握相关知识定理，准确作出辅助线为解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $