精品解析：2026年山东省济宁市部分学校中考二模九年级数学试卷

数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 石鼓（如图）是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足．下列图形中，属于石鼓的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超5000000件的国家，国际专利申请量连续6年位居全球第一，数据“5000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点E为上一点，连接，的平分线交于点F，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步．欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形中，步，步，步，则四边形的面积为（ ） A. 820平方步 B. 840平方步 C. 860平方步 D. 900平方步 7. 紫色石蕊试剂是化学领域一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有三个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有三种无色溶液：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）．甲、乙两人分别随机选择这三个滴瓶的其中一个取适量的溶液分别与紫色石蕊试剂混合，求甲、乙两人混合后溶液都变红的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于，连接并延长交于点D，若，，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 10. 数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：____________． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为____________． 13. 已知方程的一个根是2，则方程的另一个根为____________． 14. 如图，将偶数从2开始按如下方向排列，2位于第1层，数字4~10分布在第2层，数字12~24分布在第3层，数字26~44分布在第4层，…，按此规律继续排列下去，数字2026出现在第____________层． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接并延长交于点F，若，则的长为____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组 （1）； （2）． 17. 如图，在（）中设计了以下作图方案． 第一步：在上取一点，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长，交于点E． 第二步：在上取一点，以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再以E为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再以为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点Q，连接并延长，交于点F． 第三步：连接，． 某同学按照方案利用无刻度的直尺和圆规作图如下． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）经测量，，，求的度数． 18. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：）划分为A，B，C，D四个等级，株高为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 a．等级划分： 等级 A B C D 株高 b．试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： c．试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地株高的统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 28.25 对照田 88 88 b 32.10 （1）填空：____________，____________，____________； （2）请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； （3）为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占，抗倒伏、抗病性各占，计算加权平均分．两组玉米的评分如下表： 玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 t 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数t的最小值． 19. 【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭（如图①）的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案． 【测量工具】测角仪、皮尺． 【图纸设计】如图②，为凉亭，及为测角仪的支架，点C和处为测角仪的位置． 【方案设计】 要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角，将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得凉亭顶端的仰角． 【方案评价】 测角仪在本方案中发挥了重要作用，其规范使用会使得结果更加精确． 【规范建议】 组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响． 组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同． 教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内． 【方案实施】 测量数据：测角仪的支架高度米，凉亭顶端的仰角分别为，，测量点D，之间的距离米，，，，，所有点在同平面内． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求凉亭的高度；（保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 20. 金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用2辆A型车和1辆B型车载满石榴一次可运送100吨；用1辆A型车和2辆B型车载满石榴一次可运送80吨． （1）1辆A型车和1辆B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨？ （2）已知这批优质石榴共500吨，计划同时租用A型车和B型车一次运送完．为确保运输效率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且A型车数量不超过B型车数量的2倍，若1辆A型车租金1000元/次，1辆B型车租金600元/次，设A型车租用x辆，求租车费用W与x之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，延长到点D，的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为F，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 22. 【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动．如图，在矩形纸片中，，，点E在边上，且，点P是边上的一个动点（不与点B，C重合）． 小组进行了如下操作：将沿折叠，得到，再将沿折叠，得到． 【操作发现】 （1）如图①，当点恰好落在边上时，求线段的长； 【探究证明】 （2）如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P，，恰好落在同一条直线上． ①求证：； ②求此时的长； 【拓展应用】 （3）如图③，连接，．在点P的运动过程中，的形状和大小随之改变，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数与有理数的定义判断各选项即可． 【详解】解：A．是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求； B．是整数，属于有理数，不符合要求； C．是有限小数，属于有理数，不符合要求； D．是分数，属于有理数，不符合要求． 2. 石鼓（如图）是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足．下列图形中，属于石鼓的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，石鼓边缘的圆都可以看见，则俯视图是 3. 根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超5000000件的国家，国际专利申请量连续6年位居全球第一，数据“5000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法表示为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， ∴数据“5000000”用科学记数法表示为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，A计算错误； B、，B计算错误； C、，C计算错误； D、，D计算正确． 5. 如图，，点E为上一点，连接，的平分线交于点F，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可先求出的度数，利用是的外角，可以求出，从而由角平分线的条件，得到，最后根据三角形内角和为求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步．欲知其积几何？”其大意为：如图，在四边形中，步，步，步，则四边形的面积为（ ） A. 820平方步 B. 840平方步 C. 860平方步 D. 900平方步 【答案】B 【解析】 【分析】先连接，交于点O，可得是的垂直平分线，进而得出步，再根据勾股定理求出步，步，然后根据得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∵步，步，步， ∴是的垂直平分线， ∴步． 根据勾股定理，得步，步， ∴ （平方步）． 7. 紫色石蕊试剂是化学领域一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有三个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有三种无色溶液：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）．甲、乙两人分别随机选择这三个滴瓶的其中一个取适量的溶液分别与紫色石蕊试剂混合，求甲、乙两人混合后溶液都变红的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）分别用A、B、C表示，画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人混合后溶液都变红的结果数有1种， ∴甲、乙两人混合后溶液都变红的概率是． 8. 如图，内接于，连接并延长交于点D，若，，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先根据“同弧所对的圆周角相等”得，再根据“直径所对的圆周角是直角”得，然后根据特殊角的三角函数值求出，接下来说明是等边三角形，最后根据弧长公式得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， 即， 解得． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的弧长． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A为函数的图象上一点，连接，点B为的中点，将点B向右平移到函数图象上的点C处．若的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，则，，再利用的面积为2，列式求解即可． 【详解】解：设点，点A为函数的图象上一点， 则，即， 又点B为的中点，则， 将点B向右平移到函数图象上的点C处， 所以，即， 所以点， 因为的面积为2， 所以，即， 整理得， 解得． 10. 数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．” 给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【详解】解：方程化简得： ， 由方程有唯一解可知：，即， 将唯一解：，代入化简后的方程，得：， 若，则，与矛盾； ，结论①正确； 根据乙同学的对话可知： 当正整数m取得最大值时：，代入，得：； 当正整数m取得最小值时：，代入，得：； 的最小值是3，不是1， 结论②错误； ，包含四个正整数： 结论③正确． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 12. 若分式的值为0，则实数x的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的值为的条件，分子为且分母不为，据此求解即可． 【详解】解：分式的值为， ，解得． 13. 已知方程的一个根是2，则方程的另一个根为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可知，两根之和满足 解得 即方程的另一个根为． 14. 如图，将偶数从2开始按如下方向排列，2位于第1层，数字4~10分布在第2层，数字12~24分布在第3层，数字26~44分布在第4层，…，按此规律继续排列下去，数字2026出现在第____________层． 【答案】 27 【解析】 【详解】解：由规律可知， 第1层有1个数字，该层的最大数字为； 第2层有4个数字，该层的最大数字为； 第3层有7个数字，该层的最大数字为； 第4层有10个数字，该层的最大数字为； 归纳可得，第n层的数字的个数为，该层最大的数字为， 当时，.， 当时，.， ∵， ∴出现在第27层． 15. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接并延长交于点F，若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点C作交延长线于点G，由旋转得，，，，，利用勾股定理求出，证明出，得到． 【详解】解：如图，过点C作交延长线于点G， 由旋转得，，，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组 （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘法、负整数指数幂、零指数幂的法则化简，再计算加减即可； （2）先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，在（）中设计了以下作图方案． 第一步：在上取一点，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长，交于点E． 第二步：在上取一点，以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再以E为圆心，以的长为半径作弧，交于点；再以为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于点Q，连接并延长，交于点F． 第三步：连接，． 某同学按照方案利用无刻度的直尺和圆规作图如下． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）经测量，，，求的度数． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵平行四边形 ∴ ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∴ ∴ 由作图可得， 又∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作图可得，平分，，先证明四边形是平行四边形，再角度推导得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质以及平角的意义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形 ∴， ∵， ∴． 18. 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：）划分为A，B，C，D四个等级，株高为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 a．等级划分： 等级 A B C D 株高 b．试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： c．试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地株高的统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 28.25 对照田 88 88 b 32.10 （1）填空：____________，____________，____________； （2）请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； （3）为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占，抗倒伏、抗病性各占，计算加权平均分．两组玉米的评分如下表： 玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 t 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数t的最小值． 【答案】（1）88.5，88，40 （2）试验田的玉米生长情况好于对照田 （3）84 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、优秀率的定义分别求出、、的值即可； （2）从中位数、众数、优秀率、方差等角度分析即可解答； （3）根据加权平均数的公式分别计算试验田和对照田玉米的综合得分，再根据题意列出关于的不等式，求出的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：将试验田株高（单位：）从大到小顺序排列，第10位和第11位的数据为89和88， ∴试验田株高的中位数为，即； 对照田C组株高（单位：）出现次数最多的是88，共计5次，对应占比为， ∵， ∴对照田株高的众数为，即； ， ∴； 【小问2详解】 解：从中位数、众数、优秀率来看，试验田都高于对照田；从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中． 综合以上信息，试验田的玉米生长情况好于对照田． 【小问3详解】 解：试验田玉米的综合得分为， 对照田玉米的综合得分为， ∵试验田玉米的综合得分不低于对照田， ∴， 解得， ∴整数t的最小值为84． 19. 【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭（如图①）的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案． 【测量工具】测角仪、皮尺． 【图纸设计】如图②，为凉亭，及为测角仪的支架，点C和处为测角仪的位置． 【方案设计】 要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角，将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得凉亭顶端的仰角． 【方案评价】 测角仪在本方案中发挥了重要作用，其规范使用会使得结果更加精确． 【规范建议】 组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响． 组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同． 教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内． 【方案实施】 测量数据：测角仪的支架高度米，凉亭顶端的仰角分别为，，测量点D，之间的距离米，，，，，所有点在同平面内． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求凉亭的高度；（保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【方案反思】 （2）在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 【答案】（1） （2） 解：因为凉亭位于人工湖上，其影子可能在水面上，无法准确测量影子的长度． 【解析】 【分析】（1）先得到四边形，是矩形，然后先解，再解即可； （2）由于凉亭位于人工湖上，其影子可能在水面上，无法准确测量影子的长度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∵， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴ 答：凉亭的高度为． 【小问2详解】 略 20. 金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用2辆A型车和1辆B型车载满石榴一次可运送100吨；用1辆A型车和2辆B型车载满石榴一次可运送80吨． （1）1辆A型车和1辆B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨？ （2）已知这批优质石榴共500吨，计划同时租用A型车和B型车一次运送完．为确保运输效率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且A型车数量不超过B型车数量的2倍，若1辆A型车租金1000元/次，1辆B型车租金600元/次，设A型车租用x辆，求租车费用W与x之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案． 【答案】（1）1辆A型车载满一次可运送40吨，1辆B型车载满一次可运送20吨 （2）函数关系式为 （为满足的整数），最少租车费用为13000元，费用最少的租车方案为：租用A型车10辆，B型车5辆 【解析】 【分析】（1）设1辆A型车载满一次可运送a吨，1辆B型车载满一次可运送b吨，依题意列出二元一次方程组，求出a，b的值即可； （2）由题意，得到，求出，且x为整数，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设1辆A型车载满一次可运送a吨，1辆B型车载满一次可运送b吨，依题意，得 ， 解得， 答：1辆A型车载满一次可运送40吨，1辆B型车载满一次可运送20吨． 【小问2详解】 解：由题意，得 ， ∵，且x为整数， ∴，且x为整数， 由，得W随着x的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，为（元）， 此时B型车的数量为（辆）． 答：函数关系式为 （为满足的整数），最少租车费用为13000元，费用最少的租车方案为：租用A型车10辆，B型车5辆． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，延长到点D，的平分线交于点E，过点E作的垂线，垂足为F，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 解：连接，如图所示： ∵的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为圆的半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角可得，即可判定，结合，即可求出结论． （2）过点作的垂线，垂足为，根据角平分线的性质定理可得，结合直径所对的圆周角为直角和勾股定理即可得，求解得，进而可得半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作的垂线，垂足为，即， ∵为的角平分线，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 解得：， ∴， ∴的半径为． 22. 【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动．如图，在矩形纸片中，，，点E在边上，且，点P是边上的一个动点（不与点B，C重合）． 小组进行了如下操作：将沿折叠，得到，再将沿折叠，得到． 【操作发现】 （1）如图①，当点恰好落在边上时，求线段的长； 【探究证明】 （2）如图②，在点P的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点P，，恰好落在同一条直线上． ①求证：； ②求此时的长； 【拓展应用】 （3）如图③，连接，．在点P的运动过程中，的形状和大小随之改变，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）4 （2）①证明：∵将沿折叠，得到， ∴， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∴， ∵点P，，恰好落在同一条直线上， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②2或6 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是正方形，得到，，由折叠的性质得到，再证明三点共线，最后利用线段的和差即可求解； （2）①根据折叠的性质得到，，根据平角的定义得到，则有，再根据垂直的定义即可证明；②证明，得到，设，进而得到关于的方程，求出的值即可解答； （3）过点作于点，根据矩形的性质以及勾股定理求出，根据三角形的面积公式得到，当取得最大值时，有最大值，由垂线段最短得到，分析可知当点与点重合时，有最大值，最大值为2，即可求出面积的最大值． 【小问1详解】 解：∵矩形纸片， ∴，， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②∵矩形纸片， ∴， ∴， 由①得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， 解得，， ∴的长为2或6； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则， ∵矩形纸片， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴当取得最大值时，有最大值， ∵， ∴当点与点重合时，有最大值，最大值为2， 此时， ∴面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $