第4章 平行四边形 单元练习2－ 2025—2026学年浙教版数学八年级下册

平行四边形综合练习2 一、选择题 1.下列命题中正确的是（   ）。 A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 2.在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（   ）。 A．， B．， C．， D．， 3.如图，在，点是边上的点（与两点不重合），过点作，分别交于两点，下列说法正确的是（   ）。 A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是正方形 D．四边形一定是平行四边形 4.下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（   ）。 ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 5.如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　 　）。 A． B． C． D． 6.下列说法正确的是（　 　）。 A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 7.如图，在中，点H、F分别是边上的点，连接，点P是右侧一点，连接与交于点D，且，，如果，那么的面积与的面积之比为（   ）。 A． B． C． D． 8.如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ）。 A． B． C． D． 9.如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　 　）。 A．， B．， C．， D．， 10.如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ）。 A． B． C． D． 二、填空题 11.写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题： ，该逆命题是______命题（填“真”或“假”）。 12.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________。 13.四边形中，，当______时，这个四边形是平行四边形。 14.如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是 。 15.如图，正方形的边长为4，是对角线上的两个动点，且，连接，则的最小值为____________。 16.如图，在中，，，E，F是对角线上的动点，且，M，N分别是边，边上的动点。下列四个结论： ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形； ④存在两个正方形． 其中正确的结论是_________（填写序号）。 17.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形为等边三角形，且顶点A，B均在格点上。 （1）线段的长为_______。 （2）若线段、上分别存在点D、E，且。请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使得为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______。 三、解答题 18.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程。 已知：四边形是平行四边形， 求作：菱形（点E在上，点F在上）。 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接。 所以四边形为所求作的菱形。 （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形。 19.如图，在四边形中，，连接， （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求证：四边形是菱形。完成下列填空。 证明：， _____________①_____________， 又平分， _____________②_____________， 又， ， _____________③_____________， 又∵ 四边形是平行四边形， 又_____________④_____________， 四边形是菱形。（依据是_____________⑤_____________） 20.如图，四边形是平行四边形，，的平分线分别交，于点、，与相交于点。 （1）求证； （2）连接，则四边形的形状是什么（填特殊四边形）； （3）若，，直接写出的长。 21.在中，是的中线，E为的中点，过点C作与的延长线相交于点F。 （1）如图1，连接，求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）如图2，连接，若，，判断的形状并说明理由。 22.如图，四边形中，，点，在对角线上，且。连接，，若。 证明： （1）四边形是平行四边形； （2）连接交于，若，则四边形是什么形？ 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形综合练习2 一、选择题 1.下列命题中正确的是（   ）。 A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断各选项即可得到答案。 【详解】解：A.四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； D.对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意；故选：B。 2.在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（   ）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形等等，结合平行四边形的判定定理逐一判断即可。 【详解】 解：A.由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； B.由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C.由，，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，符合题意； D.由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意；故选：C。 3.如图，在，点是边上的点（与两点不重合），过点作，分别交于两点，下列说法正确的是（   ）。 A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是菱形 C．四边形一定是正方形 D．四边形一定是平行四边形 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定即可得出结论。 【详解】解：∵， ∴四边形一定是平行四边形， 不能说明四边形一定是矩形或菱形或正方形； 故选：D。 4.下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（   ）。 ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理。根据推理过程及平行四边形的判定定理即可解答。 【详解】解：A.添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形。故A选项不合题意； B.添加后，结合，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形。故B选项符合题意； C.添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形。故C选项不合题意； D.添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形。故D选项不合题意；故选：B。 5.如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，不能判定四边形是平行四边形的是（　 　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力，常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。据此来判定即可。 【详解】解：， ， 又， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故选项B不符合题意； 在四边形中，，， 四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； ，无法得出四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D。 6.下列说法正确的是（　 　）。 A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键。对各选项逐一判定即可。 【详解】A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而“另一组对边相等”不能保证四边形为平行四边形，例如等腰梯形符合条件但不是平行四边形，故A错误，不符合题意； B. 矩形的定义是“有一个角是直角的平行四边形”，仅有一个直角但未说明是否为平行四边形，例如直角梯形符合条件但不是矩形，故B错误，不符合题意； C. 菱形的判定要求“对角线互相垂直的平行四边形”，仅对角线垂直但未说明是否为平行四边形，例如对角线垂直的普通四边形不一定是菱形，故C错误，不符合题意。 D. 菱形的对角线互相垂直且平分，若对角线相等，则四个角均为直角，满足正方形的条件，符合题意； 故选：D。 7.如图，在中，点H、F分别是边上的点，连接，点P是右侧一点，连接与交于点D，且，，如果，那么的面积与的面积之比为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线间的距离处处相等，高相等底边之比等于面积之比。 由于，；可得四边形是平行四边形，可推出，可得，最后可求解得出结果。 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴（同底等高） ∵ ∴ ∴；即 ∴ 故选：A。 8.如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，作点关于的对称点，则，，连接交于点，得到，可知当在一条直线上时，的值最小， 此时，再证明四边形是平行四边形即可求解，根据轴对称找到点的位置是解题的关键。 【详解】解：作点关于的对称点，则，，连接交于点， ∴， 由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，的值最小， 此时， ∵四边形为菱形，周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为， 故选：。 9.如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（　 　）。 A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可。 【详解】解：A.，， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.，， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C。 10.如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作交于，交于，由是平行四边形可得，；进而得到四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及三角形面积间的关系即可解答。 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ∵ ， ， 。 二、填空题 11.写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题： ，该逆命题是______命题（填“真”或“假”）。 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 真 【分析】本题考查的是命题的真假判断和逆命题的概念以及平行四边形的判定，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题。交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题，然后根据平行四边形的判定方法判定逆命题的真假即可。 【详解】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它是真命题； 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真。 12.如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________。 【答案】/72度 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键。根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答。 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 故答案为：。 13.四边形中，，当______时，这个四边形是平行四边形。 【答案】3 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键。直接利用平行四边形的判定方法得出时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案。 【详解】解：当，时，四边形是平行四边形， 当时，这个四边形是平行四边形； 故答案为：3。 14.如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是 。 【答案】16 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，菱形的面积，解题的关键是连接，根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形。连接交于点，则可证得，，可证四边形为平行四边形，且，可证得四边形为菱形。 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形为正方形， ，， ， ，即， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形， ， ，， 菱形的面积， 故答案为：16。 15.如图，正方形的边长为4，是对角线上的两个动点，且，连接，则的最小值为____________。 【答案】 【分析】过点A作，且使，连接交于点F，则此时的值最小，在中，利用勾股定理即可求解。 【详解】解：过点A作，且使，连接交于点F，则此时的值最小， 连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为 故答案为：。 16.如图，在中，，，E，F是对角线上的动点，且，M，N分别是边，边上的动点。下列四个结论： ①存在无数个平行四边形； ②存在无数个矩形； ③存在无数个菱形； ④存在两个正方形． 其中正确的结论是_________（填写序号）。 【答案】①②③ 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可。 【详解】解：连接、、相交于点O，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 只要，那么四边形就是平行四边形， ∵E，F是对角线上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故①正确； 只要，则四边形是矩形， ∵E，F是对角线上的动点， ∴存在无数个矩形，故②正确； 只要，，则四边形是菱形， ∵E，F是对角线上的动点， ∴存在无数个菱形，故③正确； 只要，，，则四边形是正方形， 但符合要求的正方形只有一个，故④错误； 故答案为：①②③。 17.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形为等边三角形，且顶点A，B均在格点上。 （1）线段的长为_______。 （2）若线段、上分别存在点D、E，且。请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使得为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______。 【答案】 见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识。 （1）利用勾股定理计算即可； （2）作射线，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q。 【详解】解：（1）由勾股定理得，； 故答案为：； （2）如图， 与过点B的格线的交点记作G，的中点记作F， ①作射线，交过点A的格线交于H，作射线， ②连接，，交于点O，作射线，交于W， ③作射线，交射线于点Q， 则点Q就是求作的点， 故答案为：作射线，交过点A的格线交于H，作射线；连接，，交于点O，作射线，交于W；作射线，交射线于点Q。 三、解答题 18.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程。 已知：四边形是平行四边形， 求作：菱形（点E在上，点F在上）。 作法：①以A为圆心，长为半径作弧，交于点F； ②以B为圆心，长为半径作弧，交于点E； ③连接。 所以四边形为所求作的菱形。 （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）证明：四边形是菱形。 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是正确作出图形，灵活运用所学知识解决问题。 （1）根据要求作出图形； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可。 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形。 19.如图，在四边形中，，连接， （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求证：四边形是菱形。完成下列填空。 证明：， _____________①_____________， 又平分， _____________②_____________， 又， ， _____________③_____________， 又∵ 四边形是平行四边形， 又_____________④_____________， 四边形是菱形。（依据是_____________⑤_____________） 【答案】（1）见解析 （2）；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键。 （1）理解题意，作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，即可作答。 （2）先理解题意，根据上下过程，且结合垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，得四边形是平行四边形，又因为，即可得出四边形是菱形。 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）证明：， ， 又平分， ， 又， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形。（依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 20.如图，四边形是平行四边形，，的平分线分别交，于点、，与相交于点。 （1）求证； （2）连接，则四边形的形状是什么（填特殊四边形）； （3）若，，直接写出的长。 【答案】（1）见解析 （2）菱形 （3）8 【分析】（1）根据平行四边形性质得出，再由角平分线性质得出，即，得出，进而可证； （2）根据平行四边形性质得出，再由平分可得，同理可知，并结合（1）可证出四边形是菱形； （3）利用勾股定理可知，进而可得。 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又（1）， ∴四边形是菱形； （3）解：∵，，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴。 21.在中，是的中线，E为的中点，过点C作与的延长线相交于点F。 （1）如图1，连接，求证：四边形BDFC是平行四边形； （2）如图2，连接，若，，判断的形状并说明理由。 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，见解析 【分析】（1）由平行线的性质得∠BDE=∠FCE，由是的中点得，证得，得出，即可得解； （2）连接，先证明四边形是矩形，得，由（1）得，由是的中线得，则，又，则四边形是平行四边形，进而证明是等边三角形，即可得出结论。 【详解】（1）证明：， ∠BDE=∠FCE， 为的中点， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得：，四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 是的中线， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴是等边三角形。 22.如图，四边形中，，点，在对角线上，且。连接，，若。 证明： （1）四边形是平行四边形； （2）连接交于，若，则四边形是什么形？ 【答案】（1）见解析 （2）矩 【分析】（1）证，得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证，得，再证，然后由矩形的判定即可得出结论。 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：，， ， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， 平行四边形是矩形； 故答案为：矩形。 试卷第19页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $