第4章 平行四边形 单元测试 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

**基本信息** 2025学年八年级数学下学期第4章平行四边形单元测试基础卷，覆盖平行四边形性质判定、中心对称、多边形内角和等核心知识点，通过基础题与探究题结合，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|中心对称图形（1题）、多边形内角和（2题）|基础概念辨析，结合图形辨识| |填空题|6题/18分|角平分线与平行四边形（11题）、正多边形内角外角（12题）|性质应用，融入尺规作图背景| |解答题|7题/72分|动态问题（22题）、折叠探究（23题）|分层设计，含证明与计算，体现探究性与逻辑推理|

2025学年八年级数学下学期单元测试卷 第4章 平行四边形单元测试 基础卷 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（    ） A．、B．C． D． 2．若一个多边形的内角和是三角形内角和的5倍，则这个多边形是（   ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中（　　） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于 D．每一个内角都大于 4．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，平行四边形的周长为48，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长是（   ） A．12 B．21 C．18 D．24 6．如图1，平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（    ） A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是 C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是 7．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 9．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，，于点E，于点F，相交于点H，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的是（    ） A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为___________． 12．若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 13．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________． 14．如图，在梯形中，，则_____． 15．我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 16．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．如图，在四边形中，E为边上一点，，，，求证：． 18．如下图，四边形中，，，，的外角分别为，，．求的值． 19．如图，在中，，分别延长、到点，，使得和都是正三角形．求证：； 20．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当在中点时，求证：四边形是菱形． 21．如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 22．如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为． (1)用含的代数式分别表示：______，______； (2)当为何值时，四边形为平行四边形？ (3)当为何值时，点在的平分线上？ (4)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的？ 23．综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 2025学年八年级数学下学期单元测试卷 第4章 平行四边形单元测试 基础卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B B B D C D D B 1．B 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 2．A 解：设这个多边形的边数为n， 由题意得：． 解得：． 所以这个多边形是七边形． 3．B 解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”，应假设这个三角形中每一个内角都小于． 4．B 本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 解：是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 5．B 根据平行四边形的性质得到，结合题意得到，，由三角形周长的计算得到的周长，由此代入计算即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴的周长 ． 6．D 根据与关于点中心对称得到，，，即可得到，即可得到答案； 解：∵与关于点中心对称， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称， ∵点和点是关于中心的对称点， ∴直线必经过点， ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④． 7．C 利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 解：A． ，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     B． ，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     C． ，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意；     D． ，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 8．D 根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．B 根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 10．D 本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 11．2 本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键．根据题意的作图可得平分，则，由四边形是平行四边形，，可得，，，证明得，再证明即可求解． 根据题意的作图可得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为2． 12． 5 根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 13． 先根据平行四边形对角线互相平分的性质，求出、，结合判定为等腰三角形，过点作，得到，再由勾股定理算出的长度；接着由为的中点，根据三角形中位线定理，得是的中位线，从而得到的长度及；再由为的中点，求出的长度，证得与平行且相等，据此判定四边形为平行四边形，最后根据平行四边形对边相等的性质，得出，求出的长． 解：四边形是平行四边形，， ，． ， ， 是等腰三角形． 如图，过点作于点，连接． ， 在中，由勾股定理得：． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ，． ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ． 14．11 此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．8或 根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 16． 本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 17．证明见解析 此题重点考查四边形的内角和等于、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．由，根据四边形的内角和等于求得，而，则，即可由，，，证明，则． 证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ． 18． 本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为是解题的关键． 先利用四边形的外角和为的性质，再求出对应的外角，最后用外角和减去的外角，得到的和． 解：， 的外角为， ． 19．见解析 由平行四边形的性质以及等边三角形的性质得出相等的角和相等的线段，通过等量代换得到， 进而论证，最后根据“对应边相等”即可得证. 证明：四边形是平行四边形， ，，，， 和都是正三角形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ． 20．(1)见解析 (2)见解析 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）线根据垂线的定义及平行线的判定即可得出，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据平行四边形的性质及判定定理得出四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后根据领边相等的平行四边形是菱形即可得证． （1）证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形． （2）由（1）知，四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， ， 四边形是菱形． 21．(1)见解析 (2)26 （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． （1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 22．(1)，； (2)当时，四边形为平行四边形； (3)当时，点在的平分线上； (4)当时，四边形的面积是四边形的面积的． 本题考查了动点问题、平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边、角之间的关系． 根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：；根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得：，解方程求出； 连接，根据角平分线的性质和平行四边形的性质，可得：，所以可得：，解方程即可求出； 根据平行四边形的面积公式和梯形的面积公式可得：，解方程即可求出 （1）解：点在边上由点向点运动，速度为每秒， ， ， ； 点在边上由点向点运动，速度为每秒， ， 故答案为：，； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形； （3）解：如下图所示，连接， 在平行四边形中，，， ，，， ， 点在的平分线上， ， ， ， ， 解得：， 当时，点在的平分线上； （4）解：设平行四边形的边上的高为， 四边形的面积是四边形的面积的， ， 解得： 当时，四边形的面积是四边形的面积的 23．(1)见解析； (2)见解析； (3)． （1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $