精品解析：山东济宁市兖州区2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试卷

山东济宁市兖州区2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则， 所以. 2. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用三点共线的概念进行求解. 【详解】若，，三点共线，则向量与共线， 因为，， 由共线条件可得：， 化简可得：，求解得：. 故选：A. 3. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得，根据斜二测画法得到原图形边长即可． 【详解】因为其中轴，轴， 所以，由余弦定理得， ， 即，解得， 由斜二测画法知原为直角三角形，，， ， 所以周长为． 故选：A． 4. 如图，在圆中，是圆心，点在圆上，的值（ ） A. 只与圆的半径有关 B. 只与弦的长度有关 C. 既与圆的半径有关，又与弦的长度有关 D. 是与圆的半径和弦的长度均无关的定值 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义去求，与的夹角用和去表示，即得结论. 【详解】设与的夹角为，在中，. ， 的值只与弦的长度有关， 故选：. 【点睛】本题主要考查向量的数量积，结合圆的性质，属于基础题. 5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，再结合两向量的夹角公式求解． 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， 则． 故选：B. 6. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 7. 在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论. 【详解】 ∴BA⊥AC, ∴△ABC为直角三角形， 故选： 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项. 【详解】由， 故z的虚部为，，， ，A、C对，B、D错. 9. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形． B. 若，则点的轨迹一定通过的内心． C. 若为重心，则 D. 若点满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D． 【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形， 故A错误； 选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致． 若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确； 选项C：若为的重心，设边的中点为， 则，故C正确； 选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有．又， 则 ，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 10. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 11. 已知的面积为，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于点，分别表示出，再由三角形的面积先求出的值，根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出. 【详解】 如图所示，过作交于点. 则有， ，. 因为的面积为，， 所以，解得. 所以 . 解得，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【小问1详解】 由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 13. 已知分别是三个内角的对边，且． （1）求； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一到角，再利用辅助角公式结合角的范围得到； （2）利用面积公式先得到，再利用余弦定理得到，联立方程组解得，． 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， ， 所以．又，所以． 所以，所以． 又，所以，所以，所以． 【小问2详解】 由题意，，所以① 由余弦定理，得，得②． 由（1）（2），解得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东济宁市兖州区2025-2026学年第二学期质量检测高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若三点共线，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 3. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在圆中，是圆心，点在圆上，的值（ ） A. 只与圆的半径有关 B. 只与弦的长度有关 C. 既与圆的半径有关，又与弦的长度有关 D. 是与圆的半径和弦的长度均无关的定值 5. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 若，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 充要条件 7. 在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 9. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形． B. 若，则点的轨迹一定通过的内心． C. 若为重心，则 D. 若点满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 10. 已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 11. 已知的面积为，，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知复数是关于的方程的两个根，且. （1）求和的值； （2）记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 13. 已知分别是三个内角的对边，且． （1）求； （2）若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $