精品解析：山东省济宁市兖州区2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题

2024－2025学年度第二学期期中质量检测 高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出，进而求出对应点的位置. 【详解】依题意，，所以对应点位于第一象限. 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦的和角公式，即可求出结果. 【详解】因为， 故选：D. 3. 如果点是角终边上一点，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出、，再利用的展开式可得答案. 【详解】因为点是角终边上一点， 所以，， . 故选：D. 4. 已知向量与向量垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的数量积为零得到，再由向量模长的运算结合同角的三角函数关系求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：C. 5. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为.要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ） A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由周期求得，再结合平移规则即可求解. 【详解】由题意可知的最小正周期为， 所以， 即， 所以只需将函数的图象向左平移个单位长度； 故选：A 6. 如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过将转化为与已知向量、相关的表达式，利用向量的线性运算规则，逐步将其他向量用、表示出来，进而得出的表达式. 【详解】根据向量加法的三角形法则，.  因为点为线段BC的中点，则. 同理可得.  已知，.由；， 又因为， 所以.  将，代入可得： 把，代入上式：  故选：B. 7. 甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】通过电线杆高度以及仰角的正切值来计算甲、乙两人到电线杆底部的距离，进而求出两人在地平面上的最远距离. 【详解】设甲到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，甲测得电线杆顶部仰角为. 根据正切函数，对于仰角，. 所以米. 同理，设乙到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，乙测得电线杆顶部仰角为. 对于仰角，. 所以米. 则两人在地平面上的最远距离为甲到电线杆底部的距离与乙到电线杆底部的距离之和. 即米. 故选：C. 8. 在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2.5 C. 4 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到的几何意义，数形结合可解. 【详解】在中，，则， 设内切圆半径为r， 则，可得， 以C为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，. 可得， 令，则点P在直线上， 因为点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界)，即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点. 由图可知，当且时，才满足题意，故ACD错误，B正确. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，多选得0分． 9. 定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，，则周长的最大值为6 D. 若，，，则有两解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角函数性质以及三角形解的个数判断等知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得，. 若，则，即.在三角形中，大边对大角，所以； 反之，若，则，那么，即. 所以“”是“”的充要条件，选项正确. 对于B选项，已知，根据三角函数性质可知或. 当时，，此时为等腰三角形； 当时，，则，此时为直角三角形. 所以不一定为等腰三角形，B选项错误. 对于C选项，已知，，由余弦定理可得： . 根据基本不等式则有：. 即，所以（当且仅当时取等号）. 那么周长，即周长的最大值为，C选项正确. 对于D选项，已知，，，由正弦定理可得： . 因为，所以，，则可能为锐角也可能为钝角， 所以有两解，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. ，则为内心 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为的外心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 【答案】BD 【解析】 【分析】利用重心向量公式判断A；利用数量积运算律及定义求解判断B；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断C；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断D. 【详解】对于A，由，得为重心，A错误； 对于B，由，得， 则，整理得，又 于是，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，则， 由，同理得，则为的垂心，C错误； 对于D，令的中点为，则，由正弦定理得， 令，则， 因此，点轨迹经过的重心，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是方程的一个根，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程有虚数根的性质，结合韦达定理求解. 【详解】由是方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，，解得， 所以. 故答案为：0 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】因为，， 所以向量在方向的投影向量为. 故答案为：. 14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求，进而有且费马点在内部，，再应用三角形面积公式列方程得，再由向量数量积定义求目标式的值. 【详解】由，显然最大角为，且， 所以为小于的钝角，且， 所以费马点在内部，且， 所以， 则， 所以， 由. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 16. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以； 【小问2详解】 将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 方程在上有两个不等实根， 则与在上有两个不同的交点， 由，令，有， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 又，，， 结合图象可知，，则实数的取值范围为. 17. 如图，在中，，为边上一点且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 ，，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 18. 如图，在中，，，点为和的交点，设，． （1）若，求，的值； （2）若，，与夹角为， ①求的面积； ②若在上且，求的值 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解； （2）(i)由面积公式求出，根据可得答案； （ii）由，，则，再求即可. 【小问1详解】 设， 则， 所以， 所以，解得，所以， 又，所以； 【小问2详解】 (i)， 由（1）知，，所以， 所以的面积 （ii）由（1）知，， 所以. ， 则 . 19. 一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． （1）若，求出、， （2）如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2）①，；②存在，. 【解析】 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、，. （2）（）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数、， （）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点M的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. 【小问1详解】 连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. 【小问2详解】 （ⅰ）设，，则， 设对应的复数为，则， 设对应的复数为，， （ⅰi）设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期期中质量检测 高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 如果点是角终边上一点，则的值为（   ） A B. C. D. 4. 已知向量与向量垂直，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 若函数的图象与直线的两相邻公共点的距离为.要得到的图象，只需将函数的图象向左平移（ ） A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度 6. 如图，等腰梯形中，，点E为线段中点，点F为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在直角中，是直角，的内切圆交于点，点是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2.5 C. 4 D. 5.5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，多选得0分． 9. 定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确是（ ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 若，则一定等腰三角形 C. 若，，则周长的最大值为6 D. 若，，，则有两解 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. ，则为内心 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为的外心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是方程的一个根，则______． 13. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标是_______________． 14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点.已知中，角所对的边分别为，为费马点.若，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 16. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，，求实数的取值范围． 17. 如图，在中，，为边上一点且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 18. 如图，在中，，，点为和的交点，设，． （1）若，求，的值； （2）若，，与夹角为， ①求面积； ②若在上且，求的值 19. 一般地，任何一个复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们称叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点，，所对应的复数分别为，，． （1）若，求出、， （2）如图，若，以为边作正方形，，在下方． ①若，设对应的复数为，设对应的复数为，求复数、． ②是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$