精品解析：新疆乌鲁木齐市第五十八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

新疆乌鲁木齐市第五十八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 3. 已知向量，且，则（ ） A. 20 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 4. 在中，角的对边分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：B 5. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 【详解】如图，设， 所以. 故选：D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 于是，而，则， 所以是等腰三角形. 故选：A 7. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 8. 新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（ ） A. 米 B. 80米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，结合正弦定理计算即可求解. 【详解】由题意可得，米，， 则． 在中，由正弦定理可得， 即，解得米． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示和基底的概念，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故A正确； 对于B，因为，所以，不可以作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故C正确； 对于D，因为，所以与不是共线向量，可以作为基底，故D正确． 故选：ACD 10. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的乘法、乘方和除法运算一一计算即可. 【详解】对A，，为实数，故A错误； 对B，，为纯虚数，故B正确； 对C，，为纯虚数，故C正确； 对D，，为实数，故D错误； 11. 在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据内心的性质判断A；由余弦定理求出，再由等面积法求出内切圆的半径，即可判断B，利用正弦定理判断C，依题意设，则，同理可设，再由平面向量基本定理得到方程组，求出，即可判断D. 【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点， 所以在中，，故A错误； 由余弦定理可得， 因为的面积， 所以，故B正确； 设的外接圆半径为，则，故，故C正确； 对于D：方法一：因为在的平分线上， 所以可设，则， 同理可设，则， 得， 又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得， 即，故D正确； 方法二：利用内心的性质结论，有， 即，所以， 即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得. 故答案为：5. 13. 已知正方形的边长为，，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】用、为基底表示，，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】正方形的边长为，，， ，， 故． 故答案为：． 14. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，即， 因为三角形有两解，所以且，则，即，所以， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中. （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数的有关概念可得不等式组，求解即可； （2）根据复数的几何意义可得不等式组，解之即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得． 【小问2详解】 由题意可得， 即解得， 即的取值范围是． 16. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量，的夹角. 【答案】（1）2； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解； （2）由垂直关系的向量表示可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由题意得，即，得， 所以． 因为，所以， 即向量的夹角为． 17. 已知是中的对边，， （1）求边c （2）求的值 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求边； （2）根据余弦定理和二倍角的余弦公式即可得到答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，， 即， 整理得， 解得. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， ． 18. 在中，． （1）若为的角平分线，且交于，求的长； （2）若为的中线，且交于，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等面积法，结合面积公式求解即可； （2）运用中线的向量表达式，结合向量数量积和模公式可解. 【小问1详解】 由， 则 得，即的长为. 【小问2详解】 由为的中线，则， 得， 故，即的长为. 19. 在中，． （1）若，的面积为，求c； （2）若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，可求角，再结合三角形的面积公式，可求的值，再利用余弦定理可求边. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求三角形面积和周长的取值范围. 【小问1详解】 因为，利用正弦定理，可得： ， 所以， 因为为的内角，所以，所以. 又，所以. 由. 由余弦定理：， 所以. 【小问2详解】 在中，，， 由余弦定理：. 因为，当且仅当时取“”， 所以. 所以. 所以当为等边三角形时，面积取得最大值为. 又，且，当且仅当时取“”， 所以. 所以， 所以周长的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆乌鲁木齐市第五十八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 20 B. 5 C. D. 4. 在中，角的对边分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑．如图，某同学为测量观光塔的高度，在观光塔的正西方向找到一座高为40米的建筑物，在地面上点处（，，三点共线且在同一水平面上）测得建筑物的顶部的仰角为，测得观光塔的顶部的仰角为，在建筑物的顶部处测得观光塔的顶部的仰角为，则观光塔的高为（ ） A. 米 B. 80米 C. 米 D. 米 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若则_________． 13. 已知正方形的边长为，，，则的值为________. 14. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中. （1）若为纯虚数，求； （2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 16. 已知向量满足. （1）若向量的夹角为，求的值； （2）若，求向量，的夹角. 17. 已知是中的对边，， （1）求边c （2）求的值 18. 在中，． （1）若为的角平分线，且交于，求的长； （2）若为的中线，且交于，求的长． 19. 在中，． （1）若，的面积为，求c； （2）若， ①求面积的最大值； ②求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $