精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第二学期 2028届高一年级期中考试 数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 命题人：雷亚婷 审题人：靳艳军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知，则，设所成的角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 在，若，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 6. 若点G是所在平面上一点，且，H是直线上一点，，则的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在方向上的投影向量为 D. 若与夹角为钝角，则 10. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最大值是______． 13. 上、下底面面积分别为和，母线长为5的圆台，其高为______． 14. 如图，已知两条公路，的交汇点A处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P，在两公路旁（异于点A）处设两个销售点，且满足，，，设，（注：）为使工厂产生的噪声对学校的影响最小，则工厂与学校的距离为______km． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 17. 已知在中，N为中点，，，． （1）若，求； （2）设和的夹角为θ，若，求：和的夹角的余弦值． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，，的平分线交边于点，求的长； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第二学期 2028届高一年级期中考试 数学试卷 （请将答案写在答题纸上） 命题人：雷亚婷 审题人：靳艳军 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算与复数的概念求解即可. 【详解】由题意得，， 所以复数的虚部为. 故选：C. 2. 已知，则，设所成的角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由，计算，结合数量积定义，即可解出. 【详解】因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 故选：B. 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测作图法，还原出原图形，根据原图形性质，求出原图形面积. 【详解】 设四边形交轴于， 由，则，则， 原图，且，所以平面四边形是平行四边形， 则原图面积， 故选：D． 4. 如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 5. 在，若，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理以及两角差的正弦公式逆用可得，再由可得，可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，则， ．所以， 又因为，所以， 又，可得，故的形状是等腰直角三角形. 故选：C 6. 若点G是所在平面上一点，且，H是直线上一点，，则的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三点共线的向量共线定理进行转化，待定系数法得到和的关系，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则，所以是的重心，且、、三点共线，为直线外一点，由向量共线定理可知：， 将代入得：， 化简得：， 又因为，所以，，消去得：，为使取得最大值，显然，， 由基本不等式得：，所以，则， 当且仅当，即：，的时候等号成立，所以的最大值为. 7. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得：， 因此， 则， 而，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以. 8. 如图，在正方形中，边长为，是边上的一点，，以为圆心，为半径画弧交于点，是弧上（包括边界点）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量投影的概念把求的取值范围转化为求的取值范围. 【详解】过作于点H，因为，，所以， ， 因为是弧上（包括边界点）任一点，所以, 又因为， 所以 ， 所以当点与点重合时，此时，最小，且最小为 ，所以，且最大为； 当点与点重合时，此时点与点重合，最大，且最大为 ，所以最小为， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在方向上的投影向量为 D. 若与夹角为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【详解】已知向量，， 若，则，解得，所以A正确； 若，则，解得，所以B错误； 若，则，，， 所以在方向上的投影向量为，所以C正确； 若与夹角为钝角，则且不共线， 由B选项的判断知，若，则，此时，与夹角为， 由得，解得， 所以若与夹角为钝角，则，所以D错误. 10. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】，，， A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项错误； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项正确. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最大值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】由复数模的几何意义求解． 【详解】，则对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的最大值就是求圆上的点到点的距离的最大值， 因为，所以最大值为． 故答案为：3． 13. 上、下底面面积分别为和，母线长为5的圆台，其高为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆台上下底面积求出上下底半径，再利用母线、半径差与高构成的直角三角形，最后通过勾股定理计算圆台的高即可. 【详解】因圆台上、下底面积分别为和，作图如下： 因为 ，解得， 因为 ，解得， 因为 ，且母线长为5， 则圆台的高： ， 所以. 14. 如图，已知两条公路，的交汇点A处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P，在两公路旁（异于点A）处设两个销售点，且满足，，，设，（注：）为使工厂产生的噪声对学校的影响最小，则工厂与学校的距离为______km． 【答案】6 【解析】 【分析】利用正弦定理得出，再利用余弦定理结合二倍角公式计算出的最大值，进而求出的最大值，即为噪声对学校影响最小时的距离． 【详解】，则， 在中，由正弦定理得， ， 连接，在中，由余弦定理得： ， 当且仅当时，即时，取得最大值，则， 当工厂与学校的距离为时，工厂产生的噪声对学校的影响最小． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算 并分离实部、虚部；再根据纯虚数条件（实部为0、虚部不为0）列方程组，解得 的值即可； （2）先对 分母实数化；再算 并写出对应点坐标；最后根据第四象限条件（实部>0、虚部<0）列不等式组，解得 的取值范围即可. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的向量为， 所以， 所以 ， 若为纯虚数，则， 解得. 【小问2详解】 因为， 所以， 在复平面内对应的点的坐标为， 若在复平面内对应的点在第四象限， 则，即， 解得， 实数的取值范围是. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 【答案】（1）；（2），或，． 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理结合，即可求角C； （2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值． 【详解】（1）由余弦定理有， 因为，可得； （2）由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将， 代入可得：， 可得，所以， 所以， 由，解得或 故，或，． 17. 已知在中，N为中点，，，． （1）若，求； （2）设和的夹角为θ，若，求：和的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件用基底表示向量，再利用向量的模的公式计算求解； （2）结合已知条件用基底表示向量，求出相关向量的模，并求出向量的数量积，最后利用向量夹角余弦公式计算求解． 【小问1详解】 已知，即分的比为， ， ． 【小问2详解】 已知N为中点，则， ， 则， ， ， ， ， ， 设和的夹角为，则： ． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若，，的平分线交边于点，求的长； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理由边转角，再根据两角和的正弦公式，求出，进而求出角的大小； （2）根据条件和余弦定理，求出，再根据三角形面积公式，列出方程，求出边长即可； （3）根据锐角三角形的概念，求出角的范围，再根据正弦定理，求出周长的三角函数表达式，由角的范围判断正弦函数值域，进而求出周长的范围. 【小问1详解】 由，可得， 化简得， ， ，解得，即. 【小问2详解】 由得，即， 由，即，解得， 所以，解得， 可知，即， 由，可得， 所以，得，解得. 【小问3详解】 为锐角三角形，，所以，即，解得. 由正弦定理可知，即， 所以， 由，可得，则， 则，则的周长的取值范围为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，正弦定理可得，则有； (2)由题意，设，由等面积法得，则，可求值； （3）由，设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由已知得， 由正弦定理可得，故直角三角形，即． 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知： ，设， 由得：，整理得， 则． 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为． 【点睛】关键点点睛： 解答本题首先要理解费马点的含义，第二问的关键是利用面积法得到，解答第三问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $