精品解析：江西省金溪县第二中学等高中2025-2026学年高一下学期期中学习质量监测数学试卷

2026春季学期期中学习质量监测 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：乐安一中 黄绍荣 审核人：乐安一中 邹爱华 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：北师大版必修第二册第一章~第二章第5节（三角函数+平面向量） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的图象关于点中心对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是的一个对称中心，所以，， 即，又，故的最小值为. 2. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故A错误； 因为，， 由，所以，所以三点共线，故B正确； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故C错误； 因为，， 由，所以与不共线，所以三点不共线，故D错误. 3. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出三角形及列出等式，由此可算，再由诱导公式可求. 【详解】如图，在中，，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比， 所以，， 所以， 所以. 故选：A. 4. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算求出，再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标运算求出，再根据数量积是否为0判断B；根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向量的计算公式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，， 在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设得到，，再将代入，即可求解. 【详解】由图知，点在的增区间内，点在的减区间内，又，， 设的最小正周期为，则，解得，所以， 因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称， 又，所以， 则，又，所以， 故，将代入可得，所以． 故选：D. 【点睛】方法点睛：有关三角函数奇偶性问题的解题思路： 1.要使为奇函数，则． 2.要使为偶函数，则． 3.要使为奇函数，则． 4.要使为偶函数，则． 6. 若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（ ） A. 第一象限角或第二象限角 B. 第二象限角或第三象限角 C. 第三象限角或第四象限角 D. 第二象限角或第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数式的符号确定角的范围或象限. 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，， 所以，所以只需， 又因为，要使， 所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 7. 如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影数量的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得. 【详解】设，则 同理设，则. 由平面向量基本定理得，解得，所以， 向量在上的投影为， 因为， 当且仅当时取等号， 所以在上的投影的最小值为. 8. 已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性及给定等式列式求出的表达式，进而求出最小值. 【详解】由函数图象关于点对称，得，即， 由，得，于是，而， 因此或，或， 所以当时，. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 当时，的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用三角函数的性质逐项验证即可求解. 【详解】A：因为函数的最小正周期为，故A正确； B：因为，所以函数的图象关于点对称， 故B正确，C错误； D：当时，，所以的值域为，故D错误. 10. 美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（    ） A. -10 B. -8 C. 10 D. 24 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是. 11. 已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的是（） A. B. 的取值范围 C. 的取值范围是 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】作出函数的图象，的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，由有个零点，可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点，分别讨论，，，，这几种情况求解；由题意得到，再由函数性质可求解；由得到，结合图象可知，同理，，，，，，的值，代入所求即可得解. 【详解】将函数的图形关于轴对称过去， 并将轴下方部分的图象翻折到轴上方，即可得到的图象， 的最小正周期，故在上有个周期， 设，解得， 故的图象的对称轴方程为， 由此作出函数的图象，如图： 的零点个数问题， 转化为的图象与直线的交点个数问题， 由有个零点， 可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点， 由图象可知，当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，符合题意； 故选项A正确； 由题意可知，，则， 即， ，， 由对勾函数的性质可得函数在上单调递减， 所以的取值范围为，故选项B错误； 当时，或， 解得或，从图中可知， 由选项A中的分析可知，故，从图象可知关于直线对称，故， 所以,所以，故选项C错误； 同理，，，，， ，，故 ，故选项D正确； 故选：AD 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知函数值，根据诱导公式即可求的值. 【详解】，又， . 13. 如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 在中，已知，，O是的外心，若，则__. 【答案】 【解析】 【分析】通过正弦定理，求出外接圆的半径，求出与的数量积，列方程求得结果. 【详解】 图（1） 由余弦定理可得：，， 由正弦定理可得：， 可得， 如图（1），为中点， ， ， ， 又， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、向量基本定理，考查了数学运算能力和转化的数学思想，属于难题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论. 【小问1详解】 由题设，得，即， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以 故. 【小问3详解】 由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 所以的取值范围为. 16. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. （1）求实数的值 （2）求的值. （3）记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单位圆即可求解； （2）利用诱导公式先化简，再利用三角函数的定义即可求解； （3）由已知得，又，进而得，利用同角三角函数得，进而求解. 【小问1详解】 由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得； 【小问2详解】 由（1）得，， 所以 ； 【小问3详解】 由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为， 由， 所以. 17. 某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. （1）若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； （2）请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 【答案】（1）且. （2）6月、7月、8月、9月、10月 【解析】 【分析】（1）根据条件①求出，由条件②③求出，进而得到的解析式. （2）根据已知条件列出不等式并化简，，进而求出结果. 【小问1详解】 因为且 由条件①，可知这个函数的周期是12，即，故； 由②③可知，最小，最大，且，. 则有，解得； 根据分析可知，当时，取最小值， 当时，取最大值. 故，且， ，又因为，故， 所以函数解析式为：且. 【小问2详解】 令，化简得， 即，解得. 因为，且，所以6、7、8、9、10， 即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备不少于400份的物资. 18. 已知函数， （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（）上恰好有6个零点，求的取值范围； （3）已知两函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合正弦函数的性质求得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围. 【小问1详解】 的最小正周期是， 故，又，解得， 所以， 由的对称中心为； 【小问2详解】 ∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ， 又是的一个零点，，即， 或， 解得或， 由可得， 令，则 令，则在有6个解， 因为， 将的解从小到大分别记作，其中， 由的周期为得 ， ， 要使在有6个解则，，解得， 所以m的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，对任意，存在，使得成立， 则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 19. 记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． （1）已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； （2）记，用向量方法证明：． 【答案】（1）①，； ②，证明如下： 因为，，则， 所以， 且、均为非零向量，则，即； （2） 在中，， 设单位向量， 则，（*） 又根据数量积的定义得，， ，， 代入（*）式得，， 所以． 【解析】 【分析】（1）①易知分别为的中点，则，根据平面向量的线性运算即可求解；②根据平面向量数量积的定义和运算律证明即可； （2）设单位向量，根据数量积的定义求出，代入计算即可证明. 【小问1详解】 ①因为， 所以分别为的中点，故， 因为，所以； 又因为， 则. ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季学期期中学习质量监测 高一年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：乐安一中 黄绍荣 审核人：乐安一中 邹爱华 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：北师大版必修第二册第一章~第二章第5节（三角函数+平面向量） 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的图象关于点中心对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2. 若是不共线的向量，且，，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石.”黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.由此我们可得（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 5. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2 6. 若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（ ） A. 第一象限角或第二象限角 B. 第二象限角或第三象限角 C. 第三象限角或第四象限角 D. 第二象限角或第四象限角 7. 如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影数量的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 当时，的值域为 10. 美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的可能取值有（    ） A. -10 B. -8 C. 10 D. 24 11. 已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的是（） A. B. 的取值范围 C. 的取值范围是 D. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为______． 14. 在中，已知，，O是的外心，若，则__. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 16. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. （1）求实数的值 （2）求的值. （3）记点的横坐标为，若，求的值. 17. 某游乐园计划推出“畅游欢乐季”活动，需要为每位游客准备一份物资.为避免物资浪费或不足，运营团队需要提前规划每月物资储备.经统计，游乐园的游客人数每月呈周期性变化，并且有以下规律： ①每年相同的月份，游客人数基本相同； ②2月份游客人数最少，8月份游客人数最多，相差约400人； ③2月份游客约为100人，随后逐月增加直到8月份达到最多. （1）若一年中游客人数与月份之间的关系为，且.试求出函数的解析式； （2）请问哪几个月份要准备不少于份的物资？ 18. 已知函数， （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（）上恰好有6个零点，求的取值范围； （3）已知两函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 记的内角、、所对的边分别是、、，直线与的边、交于、两点． （1）已知，，记，， ①用、表示、； ②若，，则、有什么关系？用向量方法证明你的结论； （2）记，用向量方法证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $