江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

用前 江西省2024一2025学年第二学期期中统一检测 高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：必修第一册占20%，必修第二册第一章至第三章占80%。 2.答卷前，考生务必将自己的灶名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再逃涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试站来后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.AB+BC-AD= A.BC B.CD C.DC D.BD 2.已知集合A=1-1,0,1,2,3,B=|xy=ln(x-2)1,则A0CxB= A.{-1.0.1 B.1-1.0,1,2} C.12.3 D.(2,3) 3.已知角B=-15°，角a的终边与角B的终边关于x轴对称，则a可能为 A.250 B.195 C.345 D.-345 x2-1 4.函数y 。-。一的图象大致为 5在△1Bc中，角A,B.C所对的边分别为a,b,c已知a=5,A=牙c=1,则C= A号 R君 D.或5如 66 6.如图，某摩天轮的半径为77m,最高点距离地面高度为160m,摩天轮的圆周上均匀地安装了60 个坐舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要30mn,将座舱视为圆周上的点.已知游 客从最低点！处进舱，转动1m后距离地面的高度为()m,建立如图所示的平面直角坐标 系，则在转动一周的过程中，()关于时间：的函数解析式为 高一数学弟1页（共4页） Page 1 of 4 地面 AA)=7sn倍-引+83 R)=7sn侣*+引+83 c.e）=7m侣-}+83 n.i)=7or*引+83 7.已知函数x=log sin》+4m子，则x)的定义城为 (62 B后 C.[-2m,2m] 后 8.如图，在四边形OABC中，OA=OC=1,∠AOC=120°，∠ABC=60°，则△ABC的面积的最大值为 A33 C.23 D.5 4 B.3/ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.若ab,be,则ae B.若a=b,则|a=b C.已知a=(x1,y),b=(x2,y2),若a⊥b,则x2+x1=0 D.若G是△ABC的重心，则G+GB+C元=0 2 -1 10定义运第化。 ad-bc,已知函数fx)= sin2ar+引 (w>0)的最小正周期为π，则 A.w=1 B八)在区间牙，引上单调递增 C+智为偶函数 D)关于点对称 高一数学第2页（共4页） Page 2 of 4 11.已知定义在R上的函数 (f(x)，g(x) 满足 f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，且f(2+x)=g(x)+1. ，则 A.f(x) 的图象关于点(2，1)对称 B.f(x) 是周期函数 C.g(x) 在R上单调递增 $$D . \sum _ { i = 1 } ^ { 2 0 1 4 } { \left( 4 k - 2 \right) } = 2 0 2 5$$ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量 $$a = \left( - 1 ， \sqrt 3 \right) ， b = \left( \cos \frac { \pi } { 3 } ， \cos \frac { \pi } { 6 } \right)$$ ，则a在b方向上的投影向量的坐标为 13.已知函数 $$f \left( x \right) = \frac { 3 ^ { x } - 9 ^ { x } + 1 } { 3 ^ { x } } - \tan \frac { \pi x } { 2 } ， x \in \left( - 1 ， 1 \right) ，$$ f(a)+f(b-2)=2， 则 a+b= 14.已知函数 $$f \left( x \right) = \sqrt { 1 + \sin x } + \sqrt { 1 - \sin x } - 2 \cos x ， x \in \left[ - \frac { \pi } { 2 } ， \frac { \pi } { 2 } \right] ，$$ 则 f(x) 的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知角 α 的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于一点 $$P \left( \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ， \frac { 3 \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } \right) ，$$ (1)求 $$\sin ^ { 2 } \alpha - 3 \cos ^ { 2 } \alpha$$ (2)求 $$\frac { \cos \left( \pi + \alpha \right) + \cos \left( \frac { \pi } { 2 } + \alpha \right) } { \sin \left( \pi - \alpha \right) - \cos \left( - \alpha \right) }$$ 的值. 16.(15分)已知向量 a=(1，0)，b=(0，1)， (1)若 |c|=2， ，且c与a-b垂直，求c； (2)若 2ka+b 与a+kb平行，求实数k的值. 高一数学第3页(共4页) Page 3 of 4 17.(15分)在△AC中，角A,BC所对的边分州是ab,e,已知sin A-ein C =sin B. a-b (1)求G: (2)营.点D在边AB上，∠ADG=∠ACB,AD=2BD=2,求△ABC的面积 1(17分)已知函数x)=Asin(ar*p)A>0,o>0,p<到的部分图象如图所示. (1)求八x)的解析式和单调递增区间： (2)求)在区间是得上的最红： (3)求不等式2[(x)]2≤12-5x)的解集. 19.(7分)已知函数x)=2血2，将八)的图象上的所有点向左平移号个单位长度，然后向上平 移1个单位长度得到函数g(x)的图象， (1)求(x)的解析式： (2)若函数g(x)在区间[a,b]上至少有10个零点，求b-a的最小值： （3)已知函数(e)-空。(-“子”若将)的照象上的所有点的纵坐标缩短到原来的宁 2 横坐标长到原来的2倍刹到a()的图象.证明：Vxe得引4(ae)>+引 高一数学第4页（共4页） Page 4 of 4书 高一数学　第１　页（共５页） 江西省２０２４—２０２５学年第二学期期中统一检测 高一数学参考答案及评分细则 １．【答案】Ｃ 【解析】ＡＢ→ ＋ＢＣ→ ＝ＡＣ→ ，所以ＡＣ→ －ＡＤ→ ＝ＤＣ→ ．故选Ｃ． ２．【答案】Ｂ 【解析】∵Ｂ＝｛ｘ｜ｙ＝ｌｎ（ｘ－２）｝＝｛ｘ｜ｘ＞２｝，∴瓓ＲＢ＝｛ｘ｜ｘ≤２｝，∴Ａ∩瓓ＲＢ＝｛－１，０，１，２｝．故选Ｂ． ３．【答案】Ｄ 【解析】与角β关于ｘ轴对称的角α＝１５°＋３６０°·ｋ，ｋ∈Ｚ，当ｋ＝－１时，α＝－３４５°．故选Ｄ． ４．【答案】Ａ 【解析】由函数ｙ＝ ｘ２－１ ｅｘ－ｅ－ｘ 为奇函数，得图象关于原点对称，且ｘ＝±１为零点．故选Ａ． ５．【答案】Ｂ 【解析】由于ａ＞ｃ，所以Ｃ是锐角，由正弦定理得 ａ ｓｉｎＡ ＝ ｃ ｓｉｎＣ ，即 槡 ３ ｓｉｎπ ３ ＝ １ ｓｉｎＣ ，解得ｓｉｎＣ＝ １ ２ ，所以Ｃ＝π ６ ．故选Ｂ． ６．【答案】Ａ 【解析】设Ｈ（ｔ）＝Ａｓｉｎ（ωｔ＋φ）＋Ｂ，由题意知，Ｔ＝３０，所以ω＝ ２π Ｔ ＝π １５ ，又由Ａ＝ｒ＝７７，Ｂ＝１６０－７７＝８３，所以Ｈ（ｔ）＝ ７７ｓｉｎπ １５ ｔ＋φ( ) ＋８３，当ｔ＝０时，可得 ｓｉｎφ＝－１，所以 φ＝－π２，故 Ｈ（ｔ）关于时间 ｔ的函数解析式为 Ｈ（ｔ）＝ ７７ｓｉｎπ １５ ｔ－π ２( ) ＋８３．故选Ａ． ７．【答案】Ｄ 【解析】由 ｓｉｎｘ＞ １ ２ ， ４π２－ｘ２≥０ {  ２ｋπ＋π６＜ｘ＜５π６＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ，－２π≤ｘ≤２π，{ 当 ｋ＝－１时，得 ｘ∈ －１１π６，－７π６( )，当 ｋ＝０时，得 ｘ∈ π ６ ， ５π ６( )，则ｆ（ｘ）的定义域为 －１１π６，－７π６( )∪ π６，５π６( )．故选Ｄ． ８．【答案】Ａ 【解析】因为ＯＡ＝ＯＣ＝１，∠ＡＯＣ＝１２０°，在△ＡＯＣ中，由余弦定理可得 ＡＣ２＝ＯＡ２＋ＯＣ２－２ＯＡ·ＯＣｃｏｓ∠ＡＯＣ＝３，解 得ＡＣ＝槡３，又由正弦定理得２Ｒ＝ ＡＣ ｓｉｎ∠ＡＯＣ ＝２，又因为∠ＡＯＣ＝１２０°，∠ＡＢＣ＝６０°，所以点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ四点共圆，当 ＯＢ为圆的直径时，△ＡＢＣ的面积Ｓ最大，即Ｓ的最大值等于 １ ２ ×槡３× ３ ２ ＝槡３３ ４ ．故选Ａ． ９．【答案】ＢＤ（每选对１个得３分） 【解析】若ｂ＝０，则 ａ与 ｃ不一定平行，故 Ａ错误；若两向量相等，则模一定相等，故 Ｂ正确；由向量垂直可知 ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０，故Ｃ错误；若Ｇ是△ＡＢＣ的重心，则点Ｇ满足ＧＡ → ＋ＧＢ→ ＝ＣＧ→ ，即ＧＡ→ ＋ＧＢ→ ＋ＧＣ→ ＝０，故Ｄ正确．故选ＢＤ． 高一数学　第２　页（共５页） １０．【答案】ＡＣ（每选对１个得３分） 【解析】由定义得函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ωｘ＋ π ４( ) ＋１ω＞０( )，因为ｆ（ｘ）的最小正周期为 π，所以 Ｔ＝２π２ω＝π，∴ω＝１，故 Ａ正确；令２ｋπ－ π ２≤ ２ｘ＋π ４≤ ２ｋπ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ，得ｋπ－ ３π ８≤ ｘ≤ｋπ＋ π ８ ，ｋ∈Ｚ，当ｋ＝０时，ｘ∈ － ３π ８ ， π ８[ ]，故Ｂ错误； ｆｘ＋π ８( ) ＝２ｓｉｎ２ｘ＋π２( ) ＋１＝２ｃｏｓ２ｘ＋１，故 Ｃ正确；由 ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ＋π４( ) ＋１易知其对称中心的纵坐标为 １，故 Ｄ错误．故选ＡＣ． １１．【答案】ＡＢＤ（每选对１个得２分） 【解析】由ｆ（２＋ｘ）＝ｇ（ｘ）＋１，得ｆ（２－ｘ）＝ｇ（－ｘ）＋１＝－ｇ（ｘ）＋１，两式相加可得ｆ（２＋ｘ）＋ｆ（２－ｘ）＝２，因此ｆ（ｘ）的图 象关于点（２，１）对称，故Ａ正确；由Ａ选项可知ｆ（ｘ）＋ｆ（４－ｘ）＝２，又ｆ（ｘ）为偶函数，所以ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－４）＝２，可得 ｆ（ｘ＋４）＋ｆ（ｘ）＝２，即ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ－４），所以 ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋８），即 ｆ（ｘ）是以８为周期的周期函数，故 Ｂ正确；易知 ｇ（０）＝０，由ｆ（２）＋ｇ（０）＝１，得ｆ（２）＝１，又 ｆ（２）＝ｆ（－６）＝ｆ（６），所以 ｆ（６）＝１，ｇ（４）＝ｆ（６）－１＝０，故 Ｃ错误； ∑ ２０２５ ｋ＝１ ｆ（４ｋ－２）＝ｆ（２）＋ｆ（６）＋ｆ（１０）＋…＋ｆ（８０９８）＝２０２５，故Ｄ正确．故选ＡＢＤ． １２．【答案】 １ ２ ，槡 ３ ２( ) 【解析】因为 ａ＝（－１，槡３），ｂ＝ １ ２ ，槡 ３ ２( )，所以 ａ在 ｂ方向上的投影向量为 ａ·ｂｂ · ｂｂ ＝ １１×１· １ ２ ，槡 ３ ２( ) ＝ １２，槡３２( )． １３．【答案】２ 【解析】∵ｆ（ｘ）＝ ３ｘ－９ｘ＋１ ３ｘ －ｔａｎπ ｘ ２ ＝３－ｘ－３ｘ－ｔａｎπ ｘ ２ ＋１，∴ｆ（ｘ）－１＝３－ｘ－３ｘ－ｔａｎπ ｘ ２ ，易知ｆ（ｘ）－１为奇函数且在区间 （－１，１）上单调递减，∵ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ－２）＝２，∴ｆ（ａ）－１＋ｆ（ｂ－２）－１＝０，∴ａ＋ｂ－２＝０，∴ａ＋ｂ＝２． １４．【答案】槡２ 【解析】设 ｔ＝ １＋ｓｉｎ槡 ｘ＋ １－ｓｉｎ槡 ｘ，则 ｔ ２＝（ １＋ｓｉｎ槡 ｘ＋ １－ｓｉｎ槡 ｘ） ２＝２＋２ １－ｓｉｎ２槡 ｘ＝２＋２ ｃｏｓｘ，∵ｘ∈ －π ２ ， π ２[ ]，∴ｃｏｓｘ≥０，从而ｔ２＝２＋２ｃｏｓｘ，∴ｔ２∈［２，４］．又∵ｔ＞０，∴ｔ∈［槡２，２］，∵ｃｏｓｘ＝１２ｔ２－１，∴ｇ（ｔ）＝－ｔ２＋ｔ＋ ２＝－ｔ－ １ ２( ) ２ ＋９ ４ ，ｔ∈［槡２，２］，ｇ（ｔ）ｍａｘ＝ｇ（槡２）＝槡２． １５．解：（１）由三角函数定义得ｓｉｎα＝槡 ３１０ １０ ，ｃｏｓα＝槡 １０ １０ ，（２分） 则ｓｉｎ２α－３ｃｏｓ２α＝ 槡３１０ １０( ) ２ －３槡１０ １０( ) ２ ＝９ １０ －３ １０ ＝３ ５ ．（６分） （２）原式＝ －ｃｏｓα－ｓｉｎα ｓｉｎα－ｃｏｓα ＝ －槡１０ １０ － 槡３ １０ １０ 槡３ １０ １０ －槡１０ １０ ＝－２．（１３分） 高一数学　第３　页（共５页） 【评分细则】 １．第一问中求出了正、余弦值各给１分，未分别计算各值直接计算其结果正确不扣分； ２．第二问中诱导公式化简正确给４分，最后结果正确再给３分． １６．解：（１）由题得ａ－ｂ＝（１，－１），（１分） 因为ｃ与ａ－ｂ垂直，ｃ＝２，设ｃ＝（ｘ，ｙ）， 则 ｘ２＋ｙ２＝４， ｙ＝ｘ，{ （３分） 解得 ｘ＝槡２， ｙ＝槡２ { 或 ｘ＝－槡２，ｙ＝－槡２，{ （５分） 故ｃ＝（槡２，槡２）或ｃ＝（－槡２，－槡２）．（７分） （２）解法一：２ｋａ＋ｂ＝（２ｋ，１），ａ＋ｋｂ＝（１，ｋ），（９分） 因为２ｋａ＋ｂ与ａ＋ｋｂ平行， 所以２ｋ·ｋ－１×１＝０，（１２分） 所以ｋ２＝ １ ２ ，所以ｋ＝±槡 ２ ２ ．（１５分） 解法二：由题意知λ∈Ｒ，使２ｋａ＋ｂ＝λ（ａ＋ｋｂ），（９分） 则 ２ｋ＝λ， １＝ｋλ，{ （１２分） 解得ｋ＝±槡 ２ ２ ．（１５分） 【评分细则】 １．第一问中解方程漏掉一组解扣２分； ２第二问解法一中分别计算出两向量各给１分． １７．（１）证明：由正弦定理可得 ａ２－ｃ２ ａ－ｂ ＝ｂ，（２分） 即ａ２－ｃ２＝ａｂ－ｂ２，（３分） 由余弦定理ａ２＋ｂ２－ｃ２＝２ａｂｃｏｓＣ，得ｃｏｓＣ＝ １ ２ ，（５分） 又Ｃ∈（０，π），故Ｃ＝ π ３ ．（７分） （２）解：因为∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ，所以由相似三角形可知ＡＣ２＝ＡＤ·ＡＢ＝６，（１０分） 故ｂ＝ＡＣ＝槡６，ｃ＝３，（１１分） 又ａ２－ｃ２＝ａｂ－ｂ２，代入得ａ２－槡６ａ－３＝０，（１２分） 解得ａ＝槡 ６＋槡３２ ２ （负值舍去）．（１３分） 高一数学　第４　页（共５页） 所以△ＡＢＣ的面积Ｓ＝ １ ２ ａｂｓｉｎＣ＝ ９＋槡３３ ４ ．（１５分） 【评分细则】 如用其他解法酌情给分． １８．解：（１）由题意得Ａ＝３，函数ｆ（ｘ）的最小正周期为４× ７π １２ －π ３( ) ＝π， ∴π＝ ２π ω ，∴ω＝２，（２分） 又ｆπ ３( ) ＝３ｓｉｎ２π３＋φ( ) ＝０，∴２π３＋φ＝π２＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ，解得φ＝２ｋπ－π６，ｋ∈Ｚ， ∵ φ＜ π ２ ，∴φ＝－ π ６ ， ∴ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ－π ６( )，（４分） 令２ｋπ－ π ２≤ ２ｘ－π ６≤ ２ｋπ＋ π ２ ，ｋ∈Ｚ，解得ｋπ－ π ６≤ ｘ≤ｋπ＋ π ３ ，ｋ∈Ｚ， ∴ｆ（ｘ）的单调递增区间为 ｋπ－ π ６ ，ｋπ＋ π ３[ ]（ｋ∈Ｚ）．（５分） （２）由ｘ∈ － π １２ ， ５π １２[ ]，可得２ｘ－π６∈ －π３，２π３[ ]，∴ｓｉｎ２ｘ－π６( )∈ －槡３２，１[ ]，（７分） 则ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ－π ６( )∈ －槡３３２，３[ ]，即当ｘ＝π３时，ｆ（ｘ）取得最大值３；（９分） 当ｘ＝－π １２ 时，ｆ（ｘ）取得最小值－槡 ３３ ２ ．（１１分） （３）由２［ｆ（ｘ）］２≤１２－５ｆ（ｘ），得［ｆ（ｘ）＋４］［２ｆ（ｘ）－３］≤０，解得－４≤ｆ（ｘ）≤ ３ ２ ，（１３分） 即ｓｉｎ２ｘ－π ６( )≤１２，可得－７π６＋２ｋπ≤２ｘ－π６≤π６＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ，（１５分） 解得－π ２ ＋ｋπ≤ｘ≤ π ６ ＋ｋπ，ｋ∈Ｚ， 故不等式的解集为 －π ２ ＋ｋπ， π ６ ＋ｋπ[ ]（ｋ∈Ｚ）．（１７分） 【评分细则】 １．第一问中求出Ａ与ω及φ的值各给１分，解出ｆ（ｘ）的解析式给１分，单调区间漏掉ｋ∈Ｚ扣１分； ２．第三问中不等式的解集漏掉ｋ∈Ｚ扣１分． １９．（１）解：将 ｆ（ｘ）图象上的所有点向左平移π ３ 个单位长度，然后向上平移 １个单位长度得到函数 ｇ（ｘ）＝ ２ｓｉｎ２ｘ＋π ３( )[ ] ＋１，　 高一数学　第５　页（共５页） 所以ｇ（ｘ）的解析式为ｇ（ｘ）＝２ｓｉｎ２ｘ＋ ２π ３( ) ＋１．（４分） （２）解：函数ｇ（ｘ）的最小正周期为Ｔ＝ ２π ２ ＝π． 函数ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上至少有１０个零点， 即方程ｓｉｎ２ｘ＋ ２π ３( ) ＝－１２在区间［ａ，ｂ］上至少有１０个解，（６分） 由２ｘ＋ ２π ３ ＝２ｋπ＋ ７π ６ ，ｋ∈Ｚ，或２ｘ＋ ２π ３ ＝２ｋπ＋ １１π ６ ，ｋ∈Ｚ， 解得ｘ＝ｋπ＋ π ４ ，ｋ∈Ｚ，或ｘ＝ｋπ＋ ７π １２ ，ｋ∈Ｚ，（８分） 相邻两个零点最少相差 π ３ ，要使ｂ－ａ有最小值，则ａ，ｂ均为零点， 则在区间［ａ，ａ＋４π］上一共有９个零点，则在区间（ａ＋４π，ｂ］上至少有一个零点， 则ｂ－（ａ＋４π）≥ π ３ ，即ｂ－ａ≥ １３π ３ ，（１０分） 故ｂ－ａ的最小值为 １３π ３ ．（１１分） （３）证明：由题意得ｍ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，ｍｘ＋π ２( ) ＝ｃｏｓｘ， 所以ｘ∈ π ４ ， ３π ２[ ]，ｈ（ｍ（ｘ））－φｍｘ＋π２( )( ) ＝ｈ（ｓｉｎｘ）－φ（ｃｏｓｘ）＝ｅ ｓｉｎｘ＋ｅ－ｓｉｎｘ ２ －ｅ ｃｏｓｘ－ｅ－ｃｏｓｘ ２ ＝１ ２ （ｅｓｉｎｘ－ｅｃｏｓｘ＋ｅ－ｓｉｎｘ＋ｅ－ｃｏｓｘ），（１２分） 当ｘ∈ π ４ ， ５π ４[ ]时，ｓｉｎｘ≥ｃｏｓｘ， 于是ｅｓｉｎｘ－ｅｃｏｓｘ≥０，而ｅ－ｓｉｎｘ＋ｅ－ｃｏｓｘ＞０，因此ｈ（ｓｉｎｘ）－φ（ｃｏｓｘ）＞０，（１４分） 当ｘ∈ ５π ４ ， ３π ２( ]时，ｃｏｓｘ≤０，则－ｃｏｓｘ≥ｃｏｓｘ，ｅｃｏｓｘ≤ｅ－ｃｏｓｘ， 即ｅ－ｃｏｓｘ－ｅｃｏｓｘ≥０，而ｅｓｉｎｘ＋ｅ－ｓｉｎｘ＞０，因此ｈ（ｓｉｎｘ）－φ（ｃｏｓｘ）＞０，（１６分） 于是ｘ∈ π ４ ， ３π ２[ ]，ｈ（ｓｉｎｘ）－φ（ｃｏｓｘ）＞０，所以ｈ（ｓｉｎｘ）＞φ（ｃｏｓｘ）．（１７分） 【评分细则】 １．第一问中每一个平移正确各给２分； ２．第二问中周期正确给１分； ３．第三问中书写部分步骤跳跃，但理由充分不扣分，如果缺步骤理由不充分适当扣分．