精品解析：山西晋中市平遥县第三中学校2025-2026学年高一第二学期4月期中质量检测数学

2025-2026学年高一第二学期4月期中质量检测 数学 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第二册（第六章~第八章8.4）. 一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 判断下列命题是否正确，正确的是（ ） A. 书桌面是平面. B. 平面与平面相交，它们只有有限个公共点. C. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. D. 圆心和圆上两点确定一个平面 4. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（ ） A. 原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B. 原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C. 画与直角坐标系对应的时，必须是 D. 在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 重题35566672312180736 10. 在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 13. 已知平面向量若，则___________ 14. 已知复数z满足，则的最小值是_________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？ 16. 在复数范围内解下列方程： （1）； （2），其中，且． 17. 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)． （1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标． 18. 在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭? 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一第二学期4月期中质量检测 数学 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：必修第二册（第六章~第八章8.4）. 一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 判断下列命题是否正确，正确的是（ ） A. 书桌面是平面. B. 平面与平面相交，它们只有有限个公共点. C. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. D. 圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【解析】 【详解】根据平面的基本性质逐一判断： 选项A：数学中的平面是无限延展、无边界的，书桌面有固定大小，只是平面的一部分，不是平面本身，A错误； 选项B：两个平面相交，会得到一条公共直线，因此有无数个公共点，不是有限个，B错误； 选项C：根据平面公理：不共线的三点确定唯一的一个平面.若两个平面都经过三个不共线的公共点，则两个平面必然重合，C正确； 选项D：若圆上两点是直径的端点，此时圆心和圆上两点共线，共线的三点不能唯一确定一个平面，D错误； 4. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的定义分析判断可得. 【详解】因为是两个单位向量，所以，但两个向量的方向有可能不相同， 所以这两个向量不一定相等，故A不完全正确； 由数量积的定义，，所以B也不一定成立，故B不完全正确； 由数量积的定义，，，所以C错误，D正确. 故选：D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为R，根据球与圆柱的体积公式计算即可 【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高． 则球的体积，圆柱的体积， ∴. 7. 在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 8. 已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，结合的取值，推导三个点积的正负分布情况，排除不可能的组合；令，，，设，，，根据点积的结果确定的取值范围；根据向量的坐标表示形式，计算关于的函数表达式，根据的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】若，则，即，，，不符合题意； ，令，，； 由知，，，. 设，，； 则，，； ， 则； ，，得， ，得； 即. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（ ） A. 原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变 B. 原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的 C. 画与直角坐标系对应的时，必须是 D. 在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直观图的画法规则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确， 对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确， 对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误， 对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确. 故选：ABD． 重题35566672312180736 10. 在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 解得或， 所以或. 11. 已知的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积. 【详解】因为且四边形为正方形，故， 而，故，故， 故所求体积为， 故答案为：. 13. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 14. 已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？ 【答案】 【解析】 【分析】 漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和. 【详解】解：由题意知 长方体的体积， 棱锥的体积， 所以这个漏斗的容积 . 【点睛】本题考查多面体的体积，是基础题. 16. 在复数范围内解下列方程： （1）； （2），其中，且． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用配方法得到方程的根； （2）利用配方法得到方程的根． 【详解】解：（1）因为，所以方程的根为． （2）将方程配方，得， ． 所以原方程的根为． 【点睛】本题考查复数范围内，实系数一元二次方程的根，考查基本分析求解能力，属基础题. 17. 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)． （1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； （2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标． 【答案】（1）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据即可求出点P的坐标； （2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案. 【小问1详解】 （1）如图，由向量的线性运算可知, 所以点P的坐标是. 【小问2详解】 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或， 若，如图(1)，那么 ， 即点P的坐标是. 同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是. 18. 在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭? 【答案】12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 【解析】 【分析】设在时刻台风中心位于点，城市受到干扰时，，结合图中的角度，运用余弦定理算出，解不等式即可. 【详解】设在时刻台风中心位于点，则， 如图显然是锐角，由可得， 又， 故. 因此，即，解得. 故小时后该城市开始受到台风的侵袭. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $