19.2　二次根式的乘法与除法 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2　二次根式的乘法与除法 第1课时　二次根式的乘法 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.正确理解二次根式的乘法法则. 2.会运用二次根式的乘法法则进行二次根式的运算和化简. 4 课堂探究 问题一　二次根式的乘法法则 问题二　二次根式的乘法运算 问题三　化简二次根式 问题四　无理数的大小比较 解:(1)＜ (2)＞ 学后反思 1.如何进行二次根式的乘法运算?运算法则是什么? 2.学习本节课后,你还有什么疑问?提出一些还未解决的问题. 课后作业 基础题 B D A > < 7.如图,从一个大正方形中裁去面积为30 cm2和48 cm2的两个小正方 形,求余下部分的面积. 拓展题 解:原式=2|m+2|+|m-1|+|3-m|. 由数轴可知m+2>0,m-1<0,3-m>0, ∴原式=2(m+2)+(1-m)+(3-m)=8. 第2课时　二次根式的除法 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.了解二次根式的除法法则. 2.会运用二次根式的除法法则进行二次根式的运算和化简. 26 课堂探究 问题一 什么是二次根式的除法? 答:两个二次根式相除，等于它们的被开方数相除后所得商的算术平方根. 探究1-2:二次根式的除法法则是什么?你能证明吗? 一般地，二次根式的除法法则是 证明: ， 问题二 如何进行二次根式的除法运算? 问题三 如何进行二次根式的化简? 答:成立，可以化简二次根式. 学后反思 1.如何进行二次根式的除法运算?运算法则是什么? 2.学习本节课后,你还有什么疑问?提出一些还未解决的问题. 课后作业 基础题 D D D C 拓展题 第3课时　最简二次根式 栏目导航 学习目标 课堂探究 学后反思 课后作业 学习目标 1.了解最简二次根式的概念. 2.能将二次根式的运算结果化为最简二次根式. 46 课堂探究 问题一 什么是分母有理化? 问题二 什么是最简二次根式?如何化为最简二次根式? 答:(1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 解:(1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 即这些式子都是最简二次根式. 解:(3)是最简二次根式，其他不是二次根式. 学后反思 1.什么是分母有理化?如何进行二次根式的分母有理化? 2.什么是最简二次根式?如何化简二次根式? 3.学习本节课后,你还有什么疑问?提出一些还未解决的问题. 课后作业 基础题 C C 拓展题 探究1-1:你能找出规律吗? (1)计算:×=　　　　　,=　　　　　.  ×=　　　　　,=　　　　　.  (2)由(1)的结果猜想:·=　　　(a≥0,b≥0).  (3)利用找到的规律计算:①×;②×;③×. 解:(1)6 6 20 20 (2) (3)①20 ②3 ③ 探究2-1: 计算:(1)×;　 解:(1) 6； (2)×;　 (3)3×2; 解:(2) 4； (3)3 ； (4)4×(-). 解:(4) 18． 探究2-2: 计算:(1)3×2×; 解:(1)3 ； (2)·(a>0,b>0). 解:(2) ． 探究3-1:公式·=(a≥0,b≥0)反过来成立吗?它有什么作用? 答:反过来成立. 作用:该公式可将一个二次根式分解为两个二次根式的乘积，便于简化.例如， . 探究3-2:化简下列式子. (1);　(2)(a≥0,b≥0). 解:(1) ； (2) 探究3-3:化简. (1);　 (2)(x≥0,y≥0). 解:(1) × 9×5 =45； (2) = = . 探究4-1:比较大小. (1)2与3;　(2)-2与-3. 1.计算×的结果为(　 　) A. B.4 C. D.2 2.下列运算正确的是(　 　) A.×= B.9×= C.×=12 D.×=6 3.使=·成立的x的取值范围是(　 　) A.x≥1 B.x>1 C.-1≤x≤1 D.-1<x<1 4.比较下列两组数的大小(在横线上填“>”“<”或“=”): (1)5　 　3;(2)-4　 　-2.  5.计算: (1)×;(2)×;(3)××;(4)×. 解:(1)12　(2)4　(3)30　(4)x 6.化简: (1); (2); (3). 解:(1)=×=6×16=96. (2)=8. (3)=3xy2. 解:观察图形可知两个小正方形的边长分别是 cm, cm, ∴余下部分(即阴影部分)的面积是2×=24(cm2). 故余下部分(即阴影部分)的面积是24 cm2. 8.计算: (1);　(2)×(-9);　(3)·. 解:(1)156　(2)-45　(3)a2 9.已知m在数轴上的对应点的位置如图,计算++ ()2的值. 10.已知a=,b=,用含a,b的式子表示. 解:∵a=,b=, ∴= =×× =a×a×b =a2b. 探究1-1:观察下列各式,你能发现什么规律? (1)=,=; (2)=,=; (3)=,=. 左边平方的结果等于右边平方的结果，由于等式两边均为非负数(因为 a≥0 且 b>0 )，且它们的平方相等，因此原等式成立. 探究2-1:计算. (1);　(2)÷;　(3);　 解:(1)2 (2)2 (3) (4)2÷. 解:(4)2 . 探究2-2:计算. (1)×÷3; 解:(1) ； (2)8x2÷×3. 解:(2) ． 探究3-1:公式=(a≥0,b>0)反过来成立吗?它有什么作用? 探究3-2:化简下列各式. (1);　(2); 解:(1) ； (2) ； (3);　(4)(x>0); 解:(3) (4) ； (5). 解:(5) ． 1.若=成立,则x的取值范围是(　 　) A.x≥0 B.x≥0或x<1 C.x<1 D.0≤x<1 2.下列式子不成立的是(　 　) A.÷=2 B.×=6 C.=2 D.= 3.下列计算正确的是(　 　) A.×=6 B.= C.=1+ D.×=5 4.计算÷4×的结果是(　 　) A.1 B. C. D. 5.计算: (1)÷×;　(2)÷×;　(3)×4÷(). 解:(1)2　(2)1　(3)18= 6.一个长方体的塑料容器中装满水,该塑料容器的底面是长为4 cm,宽为3 cm的长方形,现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为2 cm的圆柱形玻璃容器中,玻璃容器水面高度上升了3 cm,求长方体塑料容器中的水下降的高度.(注意:π取3) 解:设长方体塑料容器中的水下降的高度为h cm, 根据题意,得4×3h=3×(2)2×3, 解得h=2, ∴长方体塑料容器中的水下降的高度是2 cm. 7.计算: (1)×÷(-3); (2)×÷3. 解:(1)原式=×÷(-)=÷(-)=×(-)=-. (2)原式=×=. 8.计算: (1)8x2÷×3; (2)3·÷(-). 解:(1)原式=3×8x2=24x2=24x2=24x2· =24y2. (2)原式=(-3××)·=-2=-2y. 探究1-1:化简,并说说化简的依据. 化简:. 解:==. (4)； 探究1-2:把下列各式分母中的根号化去. (1);　(2);　(3);　(4); 解:(1)； (2)； (3)； (5). 解:(5) . 探究1-3: 把分母中的根号化去,将分母转化为有理数的过程,叫分母有理化. 例如:化简. 解:==-1. 根据上面的方法,把下列各式进行分母有理化: (1)=　　　　;  (2)=　　　　.  解:(1)； (2)． 探究2-1:观察2,,,这些式子有什么特点? 探究2-2: 在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?把不是最简二次根式的进行化简. (1);　(2);　(3);　(4);　(5). (1)；(2) ； (4) ；(5) . (4) . 探究2-3: 计算:(1);　(2);　(3);　(4). 解:(1)； (2) ； (3)； 1.下列根式中,是最简二次根式的是(　 　) A. B. C. D. 2.下列二次根式中,不是最简二次根式的是(　 　) A. B. C. D. 3.化简的结果为　 　.  4.下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是最简二次根式?不是最简二次根式的,请说明理由. (1);(2);(3); 解:(1)=,不是最简二次根式.理由:被开方数中含有分母. (2)是最简二次根式. (3)不是最简二次根式.理由:被开方数是小数(即含有分母). (4);(5). 解:(4)=2,不是最简二次根式.理由:被开方数中含有开得尽平方的因数. (5)是最简二次根式. 5.把下列二次根式化成最简二次根式: (1);　(2)(a>0,b≥0);　(3);　(4). 解:(1)　(2)　(3)　(4)2+ 6.老师让同学们化简,两名同学得到的结果不同,请你检查他们的化简过程,指出谁的做法错误及错误的步骤,并改正. 小丽的做法: =①=②=③=④. 小明的做法: =①=②=③=④. 解:小明的做法是错误的,错误的步骤是③. 改正:====. 7.观察下列等式:①=-1;②=-;③=-;…. (1)请用字母表示你所发现的规律:=　　　　　 　(n为正整数).  解:(1)- (2)计算:+++…+. 解:(2)+++…+ =-1+-+-+…+- =-1. 8.定义:若两个二次根式a,b满足ab=c,且c是有理数,则称a与b是关于c的共轭二次根式. 问题解决: (1)若a与2是关于6的共轭二次根式,则a=　　　　;  解:(1) (2)若4+与8-m是关于26的共轭二次根式,求m的值. 解:(2)∵4+与8-m是关于26的共轭二次根式, ∴(4+)(8-m)=26, ∴8-m===8-2, ∴m=2. $