精品解析：云南普洱市墨江第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试卷

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 五棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】先确定三棱台的顶点数，再判断各选项中几何体的顶点数即可得结论． 【详解】三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4， 四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五棱锥的顶点数为6. 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，其元素个数为3，子集个数为． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，则， 则. 4. 已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助正弦定理边角互化及二倍角公式，结合充分条件与必要条件定义讨论即可得. 【详解】由，得，即； 由，得，则，不一定满足； 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 6. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解. 【详解】以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体， 由图可得与异面，A错误． 显然B正确． 与异面，C错误． 连接，则为等边三角形，D错误． 7. 已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由重心的性质可得，求出，再根据在上的投影向量为计算即可． 【详解】解：因为D是的重心，所以， 又，，，所以， 则在上的投影向量为． 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，由正弦定理得， 其中 ， 则米. 因为，所以米. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于平面向量，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量模长概念、垂直关系可判断AB，通过反例可判断CD. 【详解】由，得，则，A正确. 由，得或或不正确. 取，满足，此时不相等，C不正确. 取，满足，此时不相等，D不正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 恰有1个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的对称性结合条件判断C，应用复合函数单调性结合对数函数单调性判断A，应用值域计算判断B，结合零点定义及对数方程计算判断D. 【详解】由题可知的定义域为，因为， 所以的图象关于直线对称，C正确． 因为， 且函数在上单调递增，在其定义域内单调递增，所以在上单调递增，A正确． 当时，， 所以的值域为，B错误． 令， 又因开口向下，且，所以在内有两解，D错误． 11. 已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程存在2个不相等的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式并结合正弦定理判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断B，利用两角差的余弦公式结合辅助角公式判断C，结合题意得到，进而求出角度判断D即可. 【详解】对于A，因为，由，解得， 由两角和的正弦公式得， 由正弦定理得，故A正确； 对于B，由余弦定理，， 即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 得到，即，解得，故B错误； 对于C，由题意得 ，由，得，则 因为，所以，故有，即C正确； 对于D，由题意得 ，则， 由，得，则或， 解得或，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，且，，，则在中，__________． 【答案】9 【解析】 【详解】，，则，， ， ， ，则， 则在原图中，，，， ． 14. 已知向量满足，且，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出向量的夹角及，设，取的中点，利用数量积运算可得点是以为圆心，2为半径的圆上的动点，结合圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】如图，记， 则，， 可得 则. 取的中点，则 ， 则， 则， 故是以为圆心，2为半径的圆上的动点， . 易得，所以. 所以的最大值为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算及模长公式计算即可得； （2）借助向量坐标运算、模长公式与夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 则； 【小问2详解】 因为，所以， 则. 设与的夹角为， 则. 16. 已知函数的部分图象如图所示，点，点． （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求在上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象确定周期求得，通过点坐标代入解析式即可求解； （2）由（1），通过整体代入即可求解； （3）由，得的范围，再结合正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由图可得，所以，即， 解得． 将的坐标代入中，得，即 所以，因为，所以． 故． 【小问2详解】 令， 得， 所以的单调递增区间为． 【小问3详解】 设，由，得， 所以， 所以， 故在上的值域为． 17. 在正方体中，为的中点，与平面交于点． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）证明：，，三点共线． 【答案】（1） （2） （3） 连接，，易得， 所以四点共面． 由为的中点，得为的中点，则． 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． 因为与平面交于点，所以平面，． 因为平面， 所以平面， 则为平面与平面的公共点， 所以，所以三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据计算可得； （2）棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积； （3）连接，根据点、面的位置关系证明即可. 【小问1详解】 三棱锥的体积为． 【小问2详解】 三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 又正方体外接球的直径， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 略 18. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量基本定理可得答案； （2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值； （3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案 【小问1详解】 因为，所以. 又是的中点，所以， 从而. 【小问2详解】 （方法一）因为是线段上的点， 所以. 又，所以 . 由，得，故的取值范围为. （方法二），分别记在上的射影为. 由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值， 当运动到点处时，取得最大值. 记的交点为，易得， 则， 则， 则，故的取值范围为. 【小问3详解】 由题可知， 因为，所以. 又，所以， 则，从而， ， 则， 则. 19. 如图，在平面四边形中，. （1）若，求； （2）判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； （3）若，设的面积分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是， （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理即可得结果； （2）分别在和中，两次运用余弦定理即可得结果； （3）根据三角形面积公式结合（2）中的结论，将表示为关于的函数，求其函数值域即可. 【小问1详解】 设，则. 由，得. 在中，. 【小问2详解】 在中， . 在中， ， 则， 得， 故是定值，且该定值为. 【小问3详解】 ， ， 则. 由（2）可知， 则， 则. 设，则. 由，得. 令，则. 易知函数在内单调递减，则， 则， 则， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 五棱锥 2. 集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角的对边分别为，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知D是的重心，，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于平面向量，下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 恰有1个零点 11. 已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程存在2个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的虚部为__________. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，且，，，则在中，__________． 14. 已知向量满足，且，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）求； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 已知函数的部分图象如图所示，点，点． （1）求的解析式； （2）求的单调递增区间； （3）求在上的值域． 17. 在正方体中，为的中点，与平面交于点． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）证明：，，三点共线． 18. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 19. 如图，在平面四边形中，. （1）若，求； （2）判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； （3）若，设的面积分别为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $