精品解析：河北南宫中学等校2025-2026学年高一下学期4月期中测评数学试题

高一数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册6.1—8.6.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 五棱锥 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，封闭图形由线段，和曲线组成，其中，，三点共线，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（ ） A. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C. 该旋转体由个球体和1个圆台体组成 D. 该旋转体由个球体和1个圆台体组成 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 5. 已知向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（ ） A. B. C. 3 D. 4 10. 棱长为2的正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 该正方体外接球的体积为 B. 直线与异面 C. D. 四面体的表面积为 11. 已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程存在2个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的虚部为__________. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，且，，，则在中，__________． 14. 已知向量满足，且，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为5，求的周长． 16. 一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器内部装满了水，容器壁厚度忽略不计. （1）求该容器的表面积与容积； （2）若另一个圆锥体容器的底面半径为2，母线长为，将圆柱体容器内的水全部倒入圆锥体容器（水的损耗忽略不计），且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的高度. 17. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，是棱上的动点. （1）若为的中点，证明：平面. （2）若，证明：直线与相交于一点. 18. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 19. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册6.1—8.6.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与三棱台的顶点数相同的几何体可以是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 五棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】先确定三棱台的顶点数，再判断各选项中几何体的顶点数即可得结论． 【详解】三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4， 四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五棱锥的顶点数为6. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，则， 则. 3. 如图，封闭图形由线段，和曲线组成，其中，，三点共线，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（ ） A. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B. 该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C. 该旋转体由个球体和1个圆台体组成 D. 该旋转体由个球体和1个圆台体组成 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成. 4. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算化简，再根据复数模的计算公式即可求解． 【详解】， 则． 5. 已知向量，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以，解得，所以. 6. 欧拉公式是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，即，， 故，则，解得，则. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选择与塔底在同一水平面内的两个测量点与，先测得米，并在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，由正弦定理得， 其中 ， 则米. 因为，所以米. 8. 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将沿翻折至与共面，把空间中求最小值的问题，转化为平面内三点共线时的线段最短问题，结合已知边长与正方形性质，计算出相关线段长度，利用勾股定理求得等腰 的高，进而算出其面积. 【详解】如图，将沿着翻折，使其与共面， 可知当三点共线时，取得最小值. 过作，因为，侧面是正方形， 所以， 因为在直三棱柱中，，，，所以平面， 又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变， 则为的中点，则， 则的边上的高为， 则的面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则的值可能是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的几何意义列出不等式组即可求解． 【详解】由题可得，解得，故AB符合题意． 10. 棱长为2的正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中，下列结论正确的是（ ） A. 该正方体外接球的体积为 B. 直线与异面 C. D. 四面体的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体展开图结合线线位置关系判断B，C，应用外接球体积公式计算判断A，应用表面积公式计算判断D. 【详解】因为正方体的棱长为2，所以正方体外接球的半径为，体积为，A不正确. 原正方体还原如图所示，得直线与异面，， B，C均正确. 又因为，，，则可得，， 与的面积均为， 与的面积均为， 故四面体的表面积为，D正确. 11. 已知的内角的对边分别为，若，且的面积，则（ ） A. B. C. D. 关于的方程存在2个不相等的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式并结合正弦定理判断A，利用余弦定理结合基本不等式判断B，利用两角差的余弦公式结合辅助角公式判断C，结合题意得到，进而求出角度判断D即可. 【详解】对于A，因为，由，解得， 由两角和的正弦公式得， 由正弦定理得，故A正确； 对于B，由余弦定理，， 即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 得到，即，解得，故B错误； 对于C，由题意得 ，由，得，则 因为，所以，故有，即C正确； 对于D，由题意得 ，则， 由，得，则或， 解得或，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，，分别在，轴上，且，，，则在中，__________． 【答案】9 【解析】 【详解】，，则，， ， ， ，则， 则在原图中，，，， ． 14. 已知向量满足，且，则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】求出向量的夹角及，设，取的中点，利用数量积运算可得点是以为圆心，2为半径的圆上的动点，结合圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】如图，记， 则，， 可得 则. 取的中点，则 ， 则， 则， 故是以为圆心，2为半径的圆上的动点， . 易得，所以. 所以的最大值为5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为5，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件求解； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理求出，进而求出的周长． 【小问1详解】 ，由正弦定理得， ， 又， ， 由，可得， ， ． 【小问2详解】 的面积为5， ， 解得， ， 由余弦定理得， ， ， ， 的周长为． 16. 一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器内部装满了水，容器壁厚度忽略不计. （1）求该容器的表面积与容积； （2）若另一个圆锥体容器的底面半径为2，母线长为，将圆柱体容器内的水全部倒入圆锥体容器（水的损耗忽略不计），且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的高度. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱表面积、体积公式求解； （2）利用圆台体积公式求解. 【小问1详解】 因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的底面半径为1，高为2， 则该容器的表面积为， 容积为. 【小问2详解】 由题可得圆锥体容器的高为2. 设水面的高度为，半径为，则，即， 则， 则， 整理得， 则，即圆锥体容器中水面的高度为. 17. 如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，是棱上的动点. （1）若为的中点，证明：平面. （2）若，证明：直线与相交于一点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位线可得，结合线面平行的判定定理即可得到证明； （2）连接，，使，，延长，交于点，利用两个平面相交线的性质证明即可. 【小问1详解】 因为为的中点，为的中点，所以. 又四棱锥为正四棱锥，所以底面为正方形，则， 从而. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，，使，，则. 延长，交于点，则，得. 取的中点，连接，则. 延长并与的延长线交于点， 则. 因为，所以， 则， 则，则，重合， 故直线与相交于一点. 18. 如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. （1）若，用表示； （2）求的取值范围； （3）延长到点，使得，若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量基本定理可得答案； （2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值； （3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案 【小问1详解】 因为，所以. 又是的中点，所以， 从而. 【小问2详解】 （方法一）因为是线段上的点， 所以. 又，所以 . 由，得，故的取值范围为. （方法二），分别记在上的射影为. 由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值， 当运动到点处时，取得最大值. 记的交点为，易得， 则， 则， 则，故的取值范围为. 【小问3详解】 由题可知， 因为，所以. 又，所以， 则，从而， ， 则， 则. 19. 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. （1）求直线与所成角的余弦值. （2）设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 【答案】（1） （2）（i）不是，体积最小值为；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦值. （2）（i）利用反证法证明不平行于平面即可判断，再求出线段上到平面距离最小值即可；（ii）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法求解. 【小问1详解】 在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 （i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $