3.3.1抛物线及其标准课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 参赛教师：道县敦颐高中 蒋佳俊 人教A版2019选择性必修第一册·高二 2026年道县优质教学资源评选活动 第三章 圆锥曲线的方程 1 1、理解抛物线的定义以及标准公式的推导过程； 2、掌握抛物线的标准方程、准线、焦点坐标； 3、能利用抛物线的定义解决有关数学问题； 4、通过学习抛物线的有关概念，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等素养. 重点：抛物线的定义和标准方程 难点：能利用抛物线的定义解决有关数学问题 学习目标、重难点 生活中的抛物线 从几何的角度上看，抛物线是怎样形成的呢？ 从定义的角度上看，抛物线是怎样形成的呢？ 圆锥曲线的形成 回顾：通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线 (不过点)的距离之比为. ＊当时，点的轨迹为椭圆； ＊当时，点的轨迹为双曲线； 思考:当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状？ 回顾知识、问题导入 思考时刻，大胆猜想 思考:当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状？ 探究：利用信息技术作图，如图，是定点，是不经过点的定直线，是直线上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点. 拖动点，点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 新知探究、动手实践 新知探究、动手实践 实验探究，生成定义 直角板实验操作：在白纸上画准线l，上方固定焦点F，将棉线两端分别固定在F和直角板一条直角边，让另一条直角边紧贴l，拉紧棉线使铅笔贴紧该直角边，滑动直角板画出的轨迹 一、抛物线 1、定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线不经过点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. ●点叫做抛物线的焦点， ●直线叫做抛物线的准线. 思考：若直线过点，则点的轨迹是____________________. 过点且与垂直的直线 焦点 准线 定义生成 思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 设焦点与准线间的距离为 新知探究 曲线方程建立过程 建系 设点 列式 化简 思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 设焦点与准线间的距离为 探究：请三组同学按照上述建系方式推导抛物线的标准方程. 新知探究 追问：如何得出抛物线的方程？ 如图，设焦点与准线间的距离， 那么焦点的坐标为，准线的方程为. 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 因为，所以 将上式两边同时平方并化简，得 新知探究 追问：如何得出抛物线的方程？ 如图，设焦点与准线间的距离， 那么焦点的坐标为，准线的方程为. 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 因为，所以 将上式两边同时平方并化简，得 ① 新知探究 追问：如何得出抛物线的方程？ 如图，设焦点与准线间的距离， 那么焦点的坐标为，准线的方程为. 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 因为，所以 将上式两边同时平方并化简，得 ① 新知探究 思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 设焦点与准线间的距离 新知探究 以方程的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上. 我们把方程叫做抛物线的标准方程. 它表示：焦点在轴的正半轴上，焦点是， 准线是的抛物线. 的几何意义：焦点到准线的距离 得出结论 思考：选择不同的坐标系时，抛物线的标准方程又有哪些不同的形式呢？我们建系的时候让抛物线的顶点与坐标原点重合，但是焦点和准线的位置可以有哪些相应的变化呢？ 情境探究 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点到准线的距离 思考：抛物线标准方程有何特征？焦点位置如何判断？ 结论生成 等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项 规律总结 标准方程特征 一次项定焦点 若一次项是 则焦点在轴上 若一次项是 则焦点在轴上 一次项系数为正，则在正半轴上 一次项系数为负，则在负半轴上 一次项系数定开口 思考时刻 思考：你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程. 解：∵， ∴. 焦点在轴正半轴上，焦点，准线方程为. 例1：已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； 解：因为，抛物线的焦点在轴正半轴上， 所以它的焦点坐标是，准线方程是. 典例分析 1、根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)焦点到准线的距离是 教材P133 练习 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； 或 焦点： 准线： 焦点： 准线： 课堂小练 课堂小结 抛物线及其标准方程 注重两个数学思想 数形结合 方程思想 掌握一种题型 抛物线的焦点坐标、准线方程的求法 分层作业 基础作业：教材133页练习3、138页复习巩固1、2 能力作业：有若干个小球，把它们依次沿杯子的杯壁放下，观察小球是否能够在杯子中触底。当半径与P满足什么条件时，小球可以触底呢？ 抛物线里的哲学感悟 愿我们都能找准自己的焦点，遵守人生的准线，保持向上的开口，且听风吟，笑待花开，去触及那个属于我们自己的、独一无二的人生顶点。 Lavf58.20.100 Tencent CAPD MTS Lavf58.76.100 Lavf58.20.100 Tencent CAPD MTS (T-tech) $