2025年中考数学二次函数几何综合题提高冲刺

2025年中考数学二次函数几何综合题提高冲刺 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，，顶点为．点在抛物线上（不与，重合），连接，．    (1)求二次函数解析式； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)设直线交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，，求证：． 2．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断的形状并证明你的结论； (3)如图2，点P在拋物线上的第二象限内且满足，求出点P的坐标． 3．在平面直角坐标系中，二次函数（b，c为常数）的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点P在第四象限，过点P作于点H，当的长度最大时，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在第三象限，直线和分别交y轴于E，F两点，求证：． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 5．如图，过原点的抛物线与轴的另一个交点为，且抛物线的对称轴为直线，点为顶点 (1)求抛物线的解析式 (2)如图（1），点为直线上方抛物线上一动点，连接，，，线段交直线于点，若的面积为，的面积为，求的最大值 (3)如图（2），设直线与抛物线交于，两点，点关于直线的对称点为，直线与直线交于点，求证：的长是定值． 6．如图1，抛物线与轴相交于点，直线与轴相交于点，与抛物线有公共点． (1)求证：直线与抛物线只有唯一的公共点； (2)过点作轴于点，连接，证明：； (3)如图2，直线交新抛物线于两点，连接交轴于点． 若，说明直线必过定点，并求此定点的坐标． 7．如图，抛物线的顶点为，且经过点，以坐标原点O为圆心的圆的半径，于点C．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)求证：直线与相切． (3)已知P为抛物线上一动点，线段交于点M，当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 8．已知抛物线． (1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标． (2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D． ①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积； ②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 9．如图，已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线（不包括坐标轴）上一个动点，连接和，当时，求出点P的坐标； (3)如图2在（2）的条件下，连接CP与x轴交于点M，求证：． 10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），并只经过点中的一点． (1)判断并直接写出抛物线经过C，D，E中的点_______，并求出a的值； (2)点N是x轴上一点，点M是抛物线的顶点，连接，是否存在一点N，使得？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由； (3)点是原抛物线上一点，点P在新抛物线上，过P作x轴的垂线交原抛物线于点G，交线段于点Q，当点Q为线段上靠近点F的三等分点时，存在t的值，使得的值为定值，求出此时t的值和该定值． 11．如图，抛物线与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，点P在点C左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线解析式为，若，试证明为一个定值． 12．如图，二次函数的图像与轴交于点A，B（点A在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)点P是该拋物线上一点，若（点为坐标原点），求点的坐标： (4)点是该抛物线上一点，若（点为坐标原点），直接写出点M的坐标． 13．在平面直角坐标系中，已知二次函数图像的顶点为A，与轴交于点，异于顶点A的点在该函数图象上． (1)当时，若点A在第一象限内，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，若，试说明的值恒小于4； (3)作直线与轴相交于点，当点在轴上方，且在线段上时，求的取值范围． 14．二次函数图象与x轴交于点两点，与轴交于点，连接，在该图象上有一点，连接，．设点的横坐标为． (1)若． ①求该二次函数的表达式； ②为何值时，是直角三角形？ (2)连接交轴于点，直线交轴于点，求证：是定值． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)如图1，若已知点A的横坐标为，求点B的横坐标； (2)如图2，连接、． ①当，且时，求k的值； ②试判断是否恒成立？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）根据二次函数的图象与轴交于点，，可得抛物线解析式为，整理为一般式即可； （2）过点作轴交直线于，求出顶点的坐标，再求出直线的解析式为，设，则，利用的面积为列出方程，解方程即可得到答案； （3）设，设直线的解析式为，得出；设直线的解析式为，得出；设直线的解析式为，得出．根据，，即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 抛物线解析式为， 即； （2）解：如下图，过点作轴交直线于，   ， 顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，分别代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 的面积为， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． （3）证明：设， ，， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得：， 解得：， 设直线的解析式为， 把，分别代入得：， 解得：， ，， ． 【点睛】本题是二次函数与一次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质、解一元二次方程是解题的关键． 2．(1)， (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）因为点在抛物线上，所以将点代入函数解析式即可求得； （2）由函数解析式可以求得其与轴、轴的交点坐标，即可求得、、的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状； （3）连接并延长，交的延长线于点，首先求得，进而得到直线的解析式为，求得的坐标为，进一步得到直线的解析式为，联立方程组解答即可得解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为； ， 顶点的坐标为． （2）是直角三角形，理由如下： 当时， ，． 当时，， ，， ，，． ，，， ． 是直角三角形． （3）如图，连接并延长，交的延长线于点，   ，， 由（2）知是直角三角形， ， ， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设的坐标为， ， 解得：(不合题意，舍去)或， 的坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， 点的坐标为 【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式． 3．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据点和，利用待定系数法求解即可得； （2）连接，过点作轴的垂线，交于点，先求出直线的解析式为，再确定出要使的长度最大，则只要最大，然后设点的坐标为，则，利用二次函数的性质求解即可得； （3）过点作轴于点，设点的坐标为，则，再证出，，根据相似三角形的性质可得的长，由此即可得证． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则二次函数的表达式为． （2）解：如图，连接，过点作轴的垂线，交于点， 对于二次函数，当时，，解得或， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， ， ∴要使的长度最大，则只要最大， 设点的坐标为，则， ， ， 由二次函数的性质，在内，当时，取最大值，最大值为， ， 则点的坐标为． （3）证明：如图，过点作轴于点， 设点的坐标为，则， ， ，，， ，，， ∵轴，轴， ， ，， ，，即，， 解得，， ，， ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、相似三角形的判定与性质、求二次函数的解析式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 4．(1)，； (2)、的坐标分别为、； (3)详见解析 (4)点的坐标为：或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，解得或，即可求解； （3）由，，即可求解； （4）当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当、是平行四边形的对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 即，； （2）解：令， 解得：或， 故点、的坐标分别为、； （3）证明：由抛物线的表达式知：点， 则点， 则，，， ，， ； （4）解：设点，点，， 当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：， 整理得：， 解得：舍去或， 则， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 5．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）对称性求出点坐标，交点式，得到抛物线的解析式即可； （2）过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，得到，得到，根据同高三角线的面积比得到，进行求解即可； （3）联立抛物线和直线，得到的坐标，进而得到的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出的长即可． 【详解】（1）解：∵过原点的抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则：，    ∵， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）联立，解得：或， ∴，， ∴， 设的解析式为， 则：， 解得 ， ∴， ∴当时，， ∴， ∵， ∴为定值． 【点睛】本题考查二次函数的对称性，两点式求函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，难度较大，属于压轴题，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 6．(1)见解析 (2)见解析 (3)直线恒过定点 【分析】（1）联立直线和抛物线，得到，求解即可； （2）连接，根据题意求得点和的坐标，根据解析式求得两点坐标，得到线段的长度，从而得到，得到，即可求证； （3）设，，联立直线和抛物线，利用根与系数的关系得到两根之和和两根之积，表示出、的解析式，得到两点坐标，再根据，得到的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：联立直线和抛物线可得 ，即 解得，即直线与抛物线只有唯一的公共点； （2）证明：连接，如下图： 将代入可得，，即 由题意可得， 将代入可得，即 将代入可得或，即 则，，， ∴，，即 又∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：设，，联立直线和抛物线可得 ，可得 由根与系数的关系可得：，， 将代入可得 解得或 即 设直线为，将、代入，解得 即，可得， 同理可得， ∵ ∴，即 可得，化简可得：，即 将代入可得，，即 即直线恒过定点． 【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合，涉及了待定系数法求解析式，一元二次方程判别式与根的关系，根与系数的关系，相似三角形的判定与性质，因式分解法求解一元二次方程，综合性比较强，难度较大，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的有关知识，注意计算． 7．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入即可求出的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据切线的判定，证明是的半径即可； （3）由题意知，是以，，，为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线的解析式，直线与抛物线的交点为，即可求出的长． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）证明：，， ， ， ， ， ， 解得：， 的半径， 是的半径， 直线与相切； （3）解：点在抛物线上， 可设， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形时， 可得：，， 点是的中点， ，， 设直线的解析式为，将点代入， 得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，， ，， ，，，， 如图，    当点位于位置时， ， ， 当点位于位置时，同理可得：， ； 综上所述，的长是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，圆的切线的判定，二次函数与几何图形的综合运用等知识，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键． 8．(1)定点坐标为 (2)①；②面积为定值，面积为4． 【分析】（1）本题考查的是含参数的函数过定点问题，找到函数中的参数，确定参数的系数，令系数为零即可解决． （2）① 本题考查了求两条线段之差的最大值问题，解决问题的关键在于找到何时取得最大值，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，、为定点，为动点，于是有，即当、、三点在一条直线上时取得最大值，利用待定系数法求出过点、的直线解析式，然后求出直线与轴交点即为所求的最大值时的位置，的距离可求，坐标已求，根据三角形面积公式可得面积． ② 由于，是抛物线上异于，的两个动点，要在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，那么必然这个三角形的三个顶点是确定的，、为定点，于是直线存在定点使得的面积是定值．要确定直线存在定点，即需求带参数的函数过定点问题，需要确定参数的系数，令系数为零即可求恒过的定点．设，，直线：，直线：，直线：，将直线、、的解析式分别与抛物线解析式联立，利用根与系数的关系，求得解析式中系数与之间的关系式，再联立直线和直线解析式，其交点始终在直线上，可得到的关系式，然后化简将直线：变为只含一个参数的方程，即可求出直线恒过的定点，最后利用几何关系求出的面积． 【详解】（1）解：， 当时，恒成立， 对于任意实数，该抛物线都会经过一个定点． （2）解：① 当时，抛物线的解析式为， 令，解得，， ，． 为抛物线顶点， 点横坐标为，纵坐标为， ， 当P，D，C三点在一条直线上时，取得最大值， 如图1，连接并延长，交x轴于点P， 设直线的解析式为， 将点，的坐标分别代入， 得解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ． ② 的面积为定值，面积为4． 解：如图2， 设，，直线：，直线：，直线：， 将点的坐标代入直线的解析式，得． 将点的坐标代入直线的解析式，得． 联立直线与抛物线的解析式，得， 整理得， 则，（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）． 同理可得，， ，， ，， ， ． 联立直线与直线的解析式，得解得， 直线与直线的交点始终在直线上， ，化简得， ， 直线：， 当时，， 即不论为何值，直线EF恒过定点． 如图3，过点Q作轴于点K， ，，，， ， ， ，， ． 【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数，含参数的函数过定点问题，两条线段之差的最大值问题，联立函数解析式求交点的问题，一元二次方程根与系数的关系以及几何图形面积的求解；熟悉掌握含参数的函数过定点问题的方法，求两条线段之差最大值的理论依据，联立函数解析式求交点，利用根与系数的关系化简参数，切割几何图形求面积等方法是解决问题的关键． 9．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，根据，进行求解即可； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，求出的解析式，进而求出的坐标，过点作，等积法求出的长，进而求出的长，证明，得到，进而得到，再根据对顶角相等，和三角形的外角的性质，得到，即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，，解得：； ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得：或（舍去）； ∴； 当时，方程无实数根，不符合题意； 综上：； （3）∵， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 10．(1)E， (2)存在，点N的坐标为或 (3)存在，的定值为 【分析】（1）分别将三点代入，求出a的值，根据，即可判断，从而得到a的值； （2）设点，由（1）知a的值为，则抛物线解析式为：，得到点、、M的坐标，求出，，，由，则，即可求解； （3）如图，过点E作轴的平行线交过点和轴的平行线于点S，交过点和轴的平行线于点，交轴于点，证明，得到，求出直线的表达式为，求出，，，从而得到，，根据的值为定值，建立方程组，求解即可． 【详解】（1）解：将代入，则， 解得：，不符合题意； 将代入，则， 解得：，不符合题意； 将代入，则， 解得：，符合题意； 抛物线经过E点，a的值为； （2）解：存在，理由：设点， 由（1）知a的值为，则抛物线解析式为：， 令，则或3， 即点、的坐标分别为：， 抛物线， 点， 由点、、、的坐标得，，，， ，即，则即， 则， 解得：或， 即点的坐标为：或； （3）解：如图，过点E作轴的平行线交过点和轴的平行线于点S，交过点和轴的平行线于点，交轴于点， ∵轴，轴，， ∴， ∴，即（表示点的横坐标）， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 设直线的表达式为，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， ， ， ， ， ，， 的值为定值，即， ，则， 的定值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，待定系数法求函数表达式，函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点．通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 11．见解析 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数的性质和待定系数求解析式及一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键，设直线，可得，直线，可得， 由，可得，根据，可得，联立，可得，，联立可得，，进而得到，联立，可得，化简得，进而得是一个定值． 【详解】解：设直线，则， 直线，则， 直线的解析式为， 由，令，则，即， ， ， ， ， ，即， ∵ ∴， ，， ∵ ∴， ， ， ， 联立 ∴， 即 是一个定值． 12．(1)，， (2)见解析 (3)点P坐标为或 (4)或 【分析】（1）当0时计算得出，令，解方程求出x的值，即可解题； （2）利用勾股定理的逆定理解题即可； （3）分两种情况画图，求出一次函数的解析式，然后利用解方程组求出交点坐标即可； （4）分为两种情况作图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N，根据相似求出，然后计算出点H的坐标，求出直线解析式即可求出交点坐标，作点H的对称点，则点M在直线C上，同理即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 令，则，解得：，， ∴，； （2）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且； （3）解：如图，取的中点D，过点C作的平行线交抛物线于点P， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 则点D的坐标为， 设直线为， ， ， ∴直线的解析式为， 即的解析式为， 解方程组得：，， ∴点P的坐标为； 解：如图，在上取点E，使得，则，， ∵，即， 解得：，即， ∴， 过点C作交x轴于点F，过点F作于点G， 设，则， 又∵即，解得， ∴，解得， 又∵， ∴， 即点F的坐标为； 设直线的解析式为，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得 ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：如图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N， 则， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴，即点H的坐标为， 由（3）可得直线的解析式为， 联立得 ∴点M的坐标为， 如图，作点H的关于y轴的对称点，则点M在直线上， 则点的坐标为，直线的解析式为， 联立得 ∴点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，勾股定理的逆定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，掌握求一次函数和二次函数的交点坐标是解题的关键． 13．(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式确定顶点坐标形式，把代入函数式得到关于的方程，求解后根据在第一象限筛选出合适的值，进而确定二次函数表达式． （2）由得出，代入函数值、表达式求出，将其变形为顶点式，利用即判断与的大小关系． （3）先根据、不重合确定 ，分析抛物线顶点及点坐标特点，通过与、重合等特殊位置建立方程求值，从而确定在线段上时的取值范围． （1）①根据得出函数解析式，求出n的值即可． ②根据二次函数性质求出时，函数的最大值和最小值即可； （2）先求出，然后二次函数的对称性求出时，的值，然后根据函数图象即可得出答案． （3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值，然后数形结合即可得出答案． 【详解】（1）二次函数化为顶点式，则顶点． ∵点在函数图象上， 当时，把代入函数得： ， 整理得， 解得或． ∵点在第一象限， ∴， ∴． 则二次函数表达式为． （2）， ， 根据题意，得 ， ，， ， ， ， 即：若，说明的值恒小于； （3）解：点A与点不重合， ， 抛物线的顶点的坐标是， 抛物线的顶点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动， 当点与重合时，， 解得或， 当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点， 点， ， 解得， 当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上， 点在线段上时，的取值范围是：或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题． 14．(1)①；②或； (2)证明见解析 【分析】（1）①利用二次函数与轴交点坐标设出交点式，再代入点坐标求出表达式； ②如图，当时，过作轴于，如图，当，过作轴于，过作轴于，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可； （2）过点作轴于，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来证明是定值． 【详解】（1）解：①已知二次函数图像与轴交于点，设二次函数表达式为， 在抛物线上，把代入得： ，即， 解得． 二次函数表达式为． ②如图，当时，过作轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，而，， ∴， 解得：（舍去），， 如图，当，过作轴于，过作轴于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，而，，， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上：或； （2）解：∵二次函数图像与x轴交于点，两点，与y轴交于点C， ∴，， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 即是定值． 【点睛】本题考查二次函数表达式求解，直角三角形的判定，以及相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用交点式设二次函数表达式，利用相似三角形性质证明线段比例定值． 15．(1) (2)①；②恒成立，理由见解析 【分析】（1）先求解，直线为，可得，再进一步求解即可； （2）①求解，联立，整理得：，可得，，可得，再结合面积公式建立方程求解即可； ②由①可得：，，，，而，，可得，，再证明即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交直线于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标为， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴； （2）解：①∵抛物线， 当时，， ∴， ∵， 整理得：， ∴，， ∴ ， ∵当，且时， ∴， ∴， 解得：（舍去）；经检验符合题意； ②恒成立，理由如下： 由①可得：，，，， 而，， ∵， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与面积问题，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，本题难度大，熟练的利用根与系数的关系解题是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$