6.5.1 直线与平面垂直 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第六章 立体几何初步 6.5.1 直线与平面垂直 互动设计课程 1 学 习 目 标 1 2 3 理解直线与平面垂直的定义，掌握线面垂直的判定定理和性质定理，并能运用它们进行简单的证明和计算。 通过观察、实验、猜想和论证，经历从直观感知到抽象概括的思维过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力。 感受数学来源于生活并服务于生活，在严谨的论证中培养实事求是的科学态度，体验几何证明的逻辑美。 新课引入 天安门旗杆 提问 为何旗杆无论从队伍的前、后、左、右看都是笔直向上的？ 旗杆与地面是怎样的位置关系？ 旗杆与地面是垂直 新课引入 比萨斜塔 提问 科学家如何精确测量它倾斜了多少度？ 它“斜”了，意味着它和地面不满足哪种关系？ 垂直 通过正反实例对比，同学们能直观感受到“直”与“斜”的差异 今天我们就来系统学习《直线与平面垂直》，探究其定义、判定方法和应用。 互动探究 互动1：动手实验，探究定义 直线与平面垂直 每位学生准备一张三角形纸片、一支笔（代表直线）、桌面（代表平面）。 步骤 操作内容 观察与任务 1 让笔垂直于桌面放置 观察笔与桌面内任意不同方向直线的位置关系，并记录发现 2 将笔倾斜放置 再次观察笔与桌面内直线的位置关系，对比垂直放置时的差异 3 小组讨论交流 结合两次观察结果，用自己的语言描述直线与平面垂直的特点； 互动探究 互动2：合作探究，突破判定难点 直线与平面垂直 步骤 具体操作/活动内容 核心任务/问题 1 提出问题 1. 根据直线与平面垂直的定义，验证需直线与平面内所有直线垂直，实际操作是否可行？2. 能否找到更简便的判定方法？ 2 分组进行折纸实验：过三角形纸片的顶点A翻折纸片，得到折痕AD；将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（保证BD、DC与桌面接触） 完成折纸操作，为后续探究奠定基础，观察折痕AD与桌面的初步位置关系 3 小组合作探究，结合折纸实验现象展开讨论 1. 折痕AD与桌面垂直吗？请说明理由；2. 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？3. 使AD与桌面垂直时，折痕AD与桌面内的BD、DC是什么位置关系？4. 直线BD、DC有什么特点？ 4 成果展示 直线与平面内两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 讲解知识 1. 直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直 如果一条直线l与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。其中，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足。 关键强调： ① “任意一条直线”≠“无数条直线”（无数条平行直线不能替代任意一条直线）； ② 直线与平面垂直是“直线与平面内所有直线垂直”的充要条件。 讲解知识 1. 直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直 1.判断 (1)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α.(　　) (2)垂直于同一条直线的两条直线平行.(　　) (3)垂直于同一条直线的两条直线垂直.(　　) (4)垂直于同一个平面的两条直线平行.(　　) (5)垂直于同一条直线的直线和平面平行.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 讲解知识 1. 直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直 2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l 与m不可能(　　)　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 答案:A 解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交, 又∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行. 讲解知识 2. 直线与平面垂直的判定 直线与平面垂直 语言类型 具体表述 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直。 符号语言 若，，，，，则。（其中P为两直线交点） 关键强调：① 核心条件：两条、相交、都垂直（缺一不可）；② 思想转化：将“线面垂直”转化为“线线垂直”，解决了定义中“验证所有直线”的繁琐问题；③ 辨析：若直线与平面内两条平行直线垂直，不能判定直线与平面垂直。 讲解知识 3. 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直 补充性质： ① 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线（由定义直接推导）； ② 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 文字语言 如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 符号语言 若⊥α，b⊥α，则∥b。 讲解知识 3. 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直 一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是(　　)　　　　　　　　　　　　 A.①③ B.② C.②④ D.①②④ 答案:C 解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C. 讲解知识 3. 直线与平面垂直的性质 直线与平面垂直 证明:∵AA⊥AB,AA⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD, ∴AA⊥平面ABCD. 又∵EF⊥平面ABCD, ∴EF∥AA. 2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1. 讲解知识 4.直线与平面所成的角 直线与平面垂直 因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角. 定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线,称C为斜足). 规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是[0°,90°]. 讲解知识 4.直线与平面所成的角 直线与平面垂直 答案:A 解析:∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO= ,即∠ABO=60°. 如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是(　　) A.60° 　　　　　B.45° C.30° 　　　　　D.120° 典例分析 题型1 线面垂直概念 例1.下列命题中，正确的序号是________。 ① 若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ② 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ③ 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ④ 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条。 解析：① 错误，仅与平面内一条直线垂直，不能保证与平面内所有直线垂直；② 错误，直线l不垂直于平面α时，可能与平面内无数条平行直线垂直；③ 正确，如倾斜的直线与平面内一组平行直线垂直；④ 正确，由线面垂直的补充结论可知。 典例分析 题型2 线面垂直判定 例2 如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC 线线垂直 证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点, 所以SD⊥AC. 线线垂直 因为AD=BD,又因为SB=SA,SD=SD, 所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD. 线面垂直 同理 (2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥BD, AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC. 典例分析 题型2 线面垂直判定 例3.如图所示,在长方体ABCD-ABCD中,AB=AD=1,DD=2,P为DD的中点.求证:直线PB⊥平面PAC. 证明:连接BC,由题知 =2,=3,=5, 所以△PB1C是直角三角形,所以PB1⊥PC. 同理可得PB1⊥PA. 因为PC∩PA=P,所以直线PB1⊥平面PAC. 典例分析 题型2 线面垂直判定 反思感悟 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理等都是找线线垂直的方法. 典例分析 题型3 线面垂直性质定理的应用 例4如图,在正方体ABCD-ABCD中,EF与异面直线AC,AD都垂直相交,垂足分别为F,E.求证:EF∥BD. 证明:如图所示,连接AB,BC,BD. 因为DD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, 所以DD⊥AC. 又AC⊥BD,DD∩BD=D, 所以AC⊥平面BDD. 又BD⊂平面BDD, 所以AC⊥BD. 同理可证BD⊥BC. 又AC∩BC=C,所以BD⊥平面ABC. 因为EF⊥AC,EF⊥AD,又AD∥BC, 所以EF⊥BC.又AC∩BC=C, 所以EF⊥平面ABC. 所以EF∥BD. 典例分析 题型3 线面垂直性质定理的应用 例5.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,M是AB上一点,N是AC的中点,MN⊥平面ADC.求证:(1)MN∥AD; (2)M是AB的中点. 证明:(1)因为四边形ADDA为正方形, 所以AD⊥AD.又因为CD⊥平面ADDA, 所以CD⊥AD. 因为AD∩CD=D,所以AD⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面ADC,所以MN∥AD. (2)如图,设AD与AD的交点为O,连接ON, 在△ADC中, AO=OD,AN=NC, ON=AB=CD,所以ON∥AM.又因为MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形.所以ON=AM.因为ON=AB,所以AM=AB,说明M是AB中点。 典例分析 题型4 线面角 例6在正方体ABCD-ABCD中: (1)求直线AC与平面ABCD所成的角的正切值; (2)求直线AB与平面BDDB所成的角. 解:(1)∵直线AA⊥平面ABCD, ∴∠ACA为直线AC与平面ABCD所成的角.设=1，则AC=， ∴tan CA=. (2)连接A1C1交于点O,连接OB, 在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1, ∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1, ∴BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为点O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角, 练习 1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为(　　) 解析:∵AA1⊥平面A1B1C1D1, ∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角, ∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3, ∴sin∠AC1A1=. 练习 2.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为　　　　　.  解析:如图所示,连接AE. 因为PA⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD, 所以PA⊥BD. 又因为BD⊥PE,PA∩PE=P, 所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE. 练习 3①垂直于同一直线的两条不同的直线平行;②垂直于同一平面的两条不同的直线平行;③平行于同一平面的两条不同的直线平行;④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个命题中真命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4　　　.  解析:对于①,在空间中,垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故①错误;对于②,由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行,故②正确;对于③,平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故③错误;对于④,由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行,故④正确. 练习 4.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是(　　) A.平行 B.垂直且相交 C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 .  解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 练习 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点. (1)求PB和平面PAD所成的角的大小; (2)求证:AE⊥平面PCD. (1)解:在四棱锥P-ABCD中, 因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB. 又AB⊥AD,PA∩AD=A, 所以AB⊥平面PAD. 所以PB在平面PAD内的射影为PA, 即∠APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△PAB中,AB=PA, 故∠APB=45°. (2)证明:在四棱锥P-ABCD中, 因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, 所以CD⊥PA. 因为CD⊥AC,PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC,所以AE⊥CD. 由PA=AB=BC,∠ABC=60°, 可得AC=PA. 因为E是PC的中点,所以AE⊥PC. 又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD. 学海拾贝 今天我们类比从“线线垂直”到“线面垂直”的拓展，重点掌握： 1. 一个核心概念：线面垂直的定义——“所有直线都垂直”。 2. 两个关键定理： 判定定理（证垂直的“利器”）：线线垂直 ⟹ 线面垂直。牢记条件：两条直线、相交。 性质定理（由垂直推平行的“桥梁”）：线面垂直 ⟹ 线线平行。 3. 一种重要思想：转化思想。空间问题平面化，将线面垂直的问题，最终转化为在平面内寻找两条相交直线与已知直线垂直的问题。 北师版2019 A. B. C. D. 所以AE=.所以在Rt△PAE中, 由PA=1,AE=,得PE=. $