江苏苏州市高新区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 聚焦图形变换与整式运算，融入科技情境与跨学科应用，通过折叠、平移等几何操作及新定义运算，体现数学抽象、几何直观与推理能力，梯度设计适配七年级期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称、整式运算、平方差公式|结合图形辨析考查空间观念（如1题）| |填空题|8/24|科学记数法、幂的运算、折叠问题|设置多解问题（如8题）培养分类思维| |解答题|10/82|几何作图、新定义运算、综合探究|AR技术情境（23题）体现应用意识，卡片拼图（25题）验证完全平方公式几何意义|

江苏省苏州市高新区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）下列4个图形中，既不是中心对称图形又不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．a6÷a2＝a3 C．a2+a2＝2a4 D．（﹣2a3b）2＝4a6b2 3．（3分）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　） A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（2x+3y）（2x﹣3z） C．（x﹣y）（﹣x﹣y） D．（m﹣n）（n﹣m） 4．（3分）已知（4x﹣2）与（3x2+mx+1）的乘积中不含x2项，则m的值是（　　） A．2 B．3 C． D． 5．（3分）·【中档】某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线AB为直线l的垂线的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（3分）如图，将三角形ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠CAB＝70°，则旋转角的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．70° 7．（3分）·【中档】18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）…+（x+n），已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝px2+4x﹣m，则p﹣m的值是（　　） A．﹣40 B．20 C．﹣36 D．44 8．（3分）·【中档】如图，已知长方形纸片ABCD，点H和点G分别在边AD和BC上的动点，点E和点F分别是边AD和BC上的点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，且∠KHD＝86°，则∠EFC的度数为（　　） A．34°或94° B．43°或133° C．34°或113° D．43°或47° 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9．（3分）某种计算机完成一次运算的时间约为0.0000000012秒，数据0.0000000012用科学记数法表示为　 　 ． 10．（3分）已知4m＝16，2n＝8，则24m﹣2n的值是　 　 ． 11．（3分）·【中档】如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转，得到△E′F′G′，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 　 　 ． 12．（3分）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．若∠CAB＝45°，∠BDE＝105°，则∠CBE的度数为 　 　 ． 13．（3分）若多项式x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a＝　 　 ． 14．（3分）若有理数n满足（n﹣46）2+（45﹣n）2＝2，则代数式（n﹣46）（n﹣45）＝　 　 ． 15．（3分）·【中档】实数x，y满足方程（x2+2x+3）（3y2+2y+1），则xy＝　 　 ． 16．（3分）·【中档】将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折线EF交AD于点E，交BC于点F，点A、B的落点分别是A'，B'，A′E交BC于G，再将四边形A′B′FG沿FG折叠，点A′、B′的落点分别是A″、B″，若B″恰好落在边AD上，当0°＜∠AEF＜90°时，下列四个结论：①∠AEF＝∠FEG；②∠DEG＝∠GFB′；③如图所示，当B″在线段ED上（不含端点）时，60°＜∠AEF＜90°；④若，则∠AEF＝67.5°，其中正确的结论是　 　 （填写序号）． 三、解答题（共10小题，共82分） 17．（8分）计算： （1）； （2）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）． 18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（2x﹣y）（2x+y）﹣5y2，其中． 19．（9分）·【中档】若am＝an（a＞0）且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值； （2）若3x+1﹣3x＝162，求x的值； （3）若x＝5m，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y：y＝　 　 ． 20．（8分）·【中档】（1）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： ①画出△ABC向右平移5格后的△A1B1C1； ②画出△ABC关于点B中心对称的△A2BC2； ③在直线l上作一点P，使PA+PB的值最小． （2）尺规作图：如图，折叠矩形（长方形）纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为EF．请用直尺和圆规作出折痕EF，点E在AD上，点F在BC上．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（8分）·【中档】如图，将三角形ABC沿边BC所在的直线向右平移，得到三角形DEF，DE与AC相交于点H，且平移距离为3，AB＝6，EF＝9，∠B＝90°． （1）AC与DF的关系是 　 　 ；EC的长为 　 　 ； （2）若四边形DHCF的面积为15，求DH的长． 22．（6分）·【中档】如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN＝13，求线段QR的长． 23．（8分）·【中档】龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到苏轼带你云游杭州，大熊猫萌兰上春晚教学五禽戏…AR与AI的技术融合让人耳目一新，悠悠同学深受智能技术触动，发明了一个简易智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次悠悠输入的式子为3a+2，则关联盒输出的式子为　 　 ；若关联盒第二次输出的式子为4a+3，则悠悠输入的是　 　 （a＞1）； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S1；把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S2． ①请用含a的代数式分别表示S1和S2（结果化成多项式的形式）； ②悠悠发现S1+4和S2+4，都可以化为一个完全平方式，请解释说明． 24．（8分）规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y， 由规定，得ax＝m，ay＝n ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　 　 ，； （2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）； （3）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，l（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 25．（10分）·【中档】如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中a＞b． （1）填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：　 　 ． （2）填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为（5a+7b）（4a+3b）的长方形，那么x+y+z的值为　 　 ． （3）现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S1； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S2． 如果S2﹣S1＝24，求2号卡片的边长． 26．（11分）·【难】如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°． （1）若△DEF如图①摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM； （2）如图②，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上．当△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH相交于点H（图③），求∠GHF的度数； （3）若图②中△DEF固定，将△ABC绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至BC与直线BM首次重合的过程中，请求出当△ABC的一边与△DEF的一边平行时旋转的时间． 江苏省苏州市高新区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C C D C C D 一、单选题（共8小题，每题3分，共24分） 1．（3分）下列4个图形中，既不是中心对称图形又不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．a6÷a2＝a3 C．a2+a2＝2a4 D．（﹣2a3b）2＝4a6b2 【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．版权所有 【答案】D 【分析】根据合并同类项、积的乘方运算法则、完全平方公式、同底数幂除法，进行运算判断即可解答． 【解答】解：根据合并同类项、积的乘方运算法则、完全平方公式、同底数幂除法逐项分析判断如下： A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意； B、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故此选项计算错误，不符合题意； C、a2+a2＝2a2，故此选项计算错误，不符合题意； D、（﹣2a3b）2＝4a6b2，故此选项计算正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解答的关键． 3．（3分）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（　　） A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（2x+3y）（2x﹣3z） C．（x﹣y）（﹣x﹣y） D．（m﹣n）（n﹣m） 【考点】平方差公式；完全平方公式．版权所有 【答案】C 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、不能用平方差公式，故此选项不符合题意； C、能用平方差公式，故此选项符合题意； D、能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．注意：平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 4．（3分）已知（4x﹣2）与（3x2+mx+1）的乘积中不含x2项，则m的值是（　　） A．2 B．3 C． D． 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【答案】C 【分析】先根据多项式的乘法法则展开，再根据题意，二次项的系数等于0列式求解即可． 【解答】解：（4x﹣2）（3x2+mx+1）＝12x3+（4m﹣6）x2+（4﹣2m）x﹣2， ∵不含x2项， ∴4m﹣6＝0， 解得m． 故选：C． 【点评】本题主要考查单项式与多项式的乘法，运算法则需要熟练掌握，不含某一项就让这一项的系数等于0是解题的关键． 5．（3分）·【中档】某班开展“用直尺和圆规作垂线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中直线AB为直线l的垂线的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】作图—基本作图．版权所有 【答案】D 【分析】垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线．三个图逐个分析即可． 【解答】解：根据当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线．三个图逐个分析如下： 从左起第一个图： 根据作图痕迹可知直线AB是线段的垂直平分线，所以直线AB为直线l的垂线； 左起第二个图： 根据作图痕迹可知尺规作图作出了一个菱形，菱形的对角线互相垂直，所以直线AB为直线l的垂线； 最后一个图： 等腰三角形底边三线合一，所以直线AB为直线l的垂线． 故选：D． 【点评】本题考查了垂线的定义，尺规作图等知识点，掌握尺规作图的方法的解题的关键． 6．（3分）如图，将三角形ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，若∠CAB＝70°，则旋转角的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．70° 【考点】旋转的性质；平行线的性质．版权所有 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得到∠ACC′＝∠CAB＝70°，再根据旋转的性质得到AC＝AC′，∠CAC′等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAC′，从而得到旋转角的度数． 【解答】解：∵CC′∥AB， ∴∠ACC′＝∠CAB＝70°， ∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′， ∴AC＝AC′，∠CAC′等于旋转角， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°， ∴∠CAC′＝180°﹣2×70°＝40°， 即旋转角的度数是40°． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．（3分）·【中档】18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）…+（x+n），已知[（x+k）（x﹣k+1）]＝px2+4x﹣m，则p﹣m的值是（　　） A．﹣40 B．20 C．﹣36 D．44 【考点】整式的加减；有理数的乘方；数学常识；代数式求值．版权所有 【答案】C 【分析】根据新定义列出方程，根据多项式乘多项式展开，求出p，m的值，代入代数式求值即可． 【解答】解：根据题意得：（x+2）（x﹣1）+（x+3）（x﹣2）+…+（x+k）（x﹣k+1）＝px2+4x﹣m， ∴x2+x﹣2+x2+x﹣6+…+x2+x﹣k（k﹣1）＝px2+4x﹣m， ∴p＝4，m＝2+6+12+20＝40， ∴p﹣m ＝6﹣40 ＝﹣36， 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减，代数式求值，新定义，根据多项式乘多项式展开，求出p，m的值是解题的关键． 8．（3分）·【中档】如图，已知长方形纸片ABCD，点H和点G分别在边AD和BC上的动点，点E和点F分别是边AD和BC上的点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，且∠KHD＝86°，则∠EFC的度数为（　　） A．34°或94° B．43°或133° C．34°或113° D．43°或47° 【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；矩形的性质．版权所有 【答案】D 【分析】当PK在AD上方时，延长MN，KH，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当PK在AD下方时，延长MN，HK，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可． 【解答】解：如图1，当PK在AD上方时，延长MN，KH，二线交于点Q， ∵四边形ABCD为长方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC， ∴∠EFC＝∠AEF， ∵将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K， ∴∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠K＝90°， ∠AEF＝∠NEF， ∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF， ∵MN∥PK， ∴∠Q+∠K＝180°， ∴∠Q＝90°， ∴∠Q+∠ENQ＝180°， ∴EN∥QK， ∴∠NEH＝∠QHD， ∵∠KHD＝86°， ∴∠QHD＝94°， ∴∠NEH＝94°， ∴， 如图2，当PK在AD下方时，延长MN，HK，二线交于点T， ∵四边形ABCD为长方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC， ∴∠EFC＝∠AEF， ∵将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K， ∴∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠HKP＝90°， ∠AEF＝∠NEF， ∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF， ∵MN∥PK， ∴∠T＝∠TKP＝90°， ∴∠T+∠ENT＝180°， ∴EN∥TK， ∴∠NEH＝∠KHD， ∵∠KHD＝86°， ∴∠NEH＝86°， ∴， 综上所述，∠EFC的度数为43°或47°， 故选：D． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，矩形的性质，熟练掌握长方形的性质，折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 9．（3分）某种计算机完成一次运算的时间约为0.0000000012秒，数据0.0000000012用科学记数法表示为　1.2×10﹣9 ． 【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有 【答案】1.2×10﹣9． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：数据0.0000000012用科学记数法表示为1.2×10﹣9． 故答案为：1.2×10﹣9． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10．（3分）已知4m＝16，2n＝8，则24m﹣2n的值是　4　 ． 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【答案】4． 【分析】先把4m＝16变形为22m＝16，再根据同底数幂的除法法则将要求的式子变形为24m÷22n，然后逆用幂的乘方法则得出（22m）2÷（2n）2，最后代入计算即可． 【解答】解：∵4m＝16， ∴（22）m＝16， ∴22m＝16， ∵2n＝8， ∴24m﹣2n ＝24m÷22n ＝（22m）2÷（2n）2 ＝162÷82 ＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．（3分）·【中档】如图，在正三角形网格中，将△EFG绕某个点旋转，得到△E′F′G′，则下列四个点中能作为旋转中心的是点 B ． 【考点】旋转的性质．版权所有 【答案】B． 【分析】设EF中点H与E'F'中点H'为对应点，连接EE'、HH'，分别作EE'和HH'的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【解答】解：将△EFG绕某个点旋转，得到△E'F'G'， ∵E与E'为对应点，EF中点H与E'F'中点H'为对应点连接EE'、HH'， 分别作EE'和HH'的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故答案为：B.. 【点评】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键， 12．（3分）如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置．若∠CAB＝45°，∠BDE＝105°，则∠CBE的度数为 　30°　 ． 【考点】平移的性质．版权所有 【答案】30°． 【分析】由平移的性质可知，∠CAB＝∠EBD＝45°，∠BDE＝∠ABC＝105°，再利用平角求解即可． 【解答】解：∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，∠CAB＝45°，∠BDE＝105°， ∴∠CAB＝∠EBD＝45°，∠BDE＝∠ABC＝105°， ∴∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠EBD＝180°﹣105°﹣45°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了平移的性质，掌握平移前后的图形大小、形状相同是解题关键． 13．（3分）若多项式x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a＝　7或﹣9　 ． 【考点】完全平方公式；单项式乘多项式．版权所有 【答案】7或﹣9． 【分析】根据完全平方式的结构特征进行计算即可． 【解答】解：∵多项式x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式， ∴﹣（a+1）＝±8， 解得a＝7或a＝﹣9． 故答案为：7或﹣9． 【点评】本题考查完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是正确解答的关键． 14．（3分）若有理数n满足（n﹣46）2+（45﹣n）2＝2，则代数式（n﹣46）（n﹣45）＝　　 ． 【考点】完全平方公式．版权所有 【答案】． 【分析】观察代数式特点，考虑用完全平方公式变形解决问题，令a＝n﹣46，b＝45﹣n，可得a2+b2＝2，a+b＝﹣1，求出ab即可． 【解答】解：令a＝n﹣46，b＝45﹣n， 则a2+b2＝2，a+b＝﹣1， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝2+2ab＝1， ∴， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握该知识点是关键． 15．（3分）·【中档】实数x，y满足方程（x2+2x+3）（3y2+2y+1），则xy＝　　 ． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．版权所有 【答案】． 【分析】在原式基础上去分母后，把等式左边变成两个完全平方式，然后利用非负数的性质求出x和y的值，最后代入求解． 【解答】解：∵（x2+2x+3）（3y2+2y+1）， ∴[（x+1）2+2][3y2+2y+1]×3＝4， ∴[（x+1）2+2][9y2+6y+3]＝4， ∴[（x+1）2+2][（3y+1）2+2]＝4， ∵（x+1）2≥0，（3y+1）2≥0， ∴x+1＝0，3y+1＝0， ∴x＝﹣1，y， ∴xy． 故答案为：． 【点评】本题考查了配方法，完全平方公式，巧妙运用了完全平方公式和非负数的性质，整理成平方的形式是解题的关键． 16．（3分）·【中档】将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折线EF交AD于点E，交BC于点F，点A、B的落点分别是A'，B'，A′E交BC于G，再将四边形A′B′FG沿FG折叠，点A′、B′的落点分别是A″、B″，若B″恰好落在边AD上，当0°＜∠AEF＜90°时，下列四个结论：①∠AEF＝∠FEG；②∠DEG＝∠GFB′；③如图所示，当B″在线段ED上（不含端点）时，60°＜∠AEF＜90°；④若，则∠AEF＝67.5°，其中正确的结论是　①②③　 （填写序号）． 【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；多边形内角与外角．版权所有 【答案】①②③． 【分析】由折叠的性质得∠AEF＝∠FEG，故①正确；根据平行线的性质得到∠DEG＝∠EGF，∠EGF＝∠GFB'，故②正确；根据平行线的性质得到∠BFE＝180°﹣∠AEF根据折叠的性质得到∠BFE＝∠B'FE，推出∠BFE＞∠B'FB''，即可得到180°﹣∠AEF＞2∠AEF，计算可判断③正确；设∠EFB''＝α，则∠B''FG＝2α，∠AEF＝∠EFG＝3α，根据平行线的性质结合叠的性质得到∠EFG＝180°﹣5α．得到等式180°﹣5α＝3α，计算可判断④正确． 【解答】解：由折叠的性质得∠AEF＝∠FEG，故①正确； ∵AB∥CD， ∴∠DEG＝∠EGF， ∵A'E∥B'F， ∴∠EGF＝∠GFB'， ∴∠DEG＝∠GFB'，故②正确； ∵B''在线段ED上， ∴∠AEF＞∠B''FG， 由折叠的性质得∠B''FG＝∠B'FG， ∵AD∥CB， ∴∠BFE＝180°﹣∠AEF， 由折叠的性质得∠BFE＝∠B'FE， ∴∠BFE＞∠B'FB''，即180°﹣∠AEF＞2∠AEF， 解得∠AEF＞60°， ∴0°＜∠AEF＜90°， 60°＜∠AEF＜90°，故③正确； 设∠EFB'＝α，则∠B''FG＝2α， 当B''在线段ED上时，∠EFG＝∠EFB''+∠B''FG＝3α，∠BFE＝180°﹣3α． ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFG＝3α． 由折叠的性质得∠B′FE＝∠BFE＝180°﹣3α，∠B′FG＝∠B′FG＝2α， ∴∠B'FE＝∠EFB''+∠B'FB''＝5α， ∴180°﹣3α＝5α， 解得α＝22.5°， ∴∠AEF＝3α＝67.5°； 当B''在线段EA上时，∠EFG＝∠B''FG﹣∠EFB''＝α，∠BFE＝180°﹣α． ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFG＝α． 由折叠的性质得∠B′FE＝∠BFE＝180°﹣α，∠B''FG＝∠B'FG＝2α， ∴∠B′FE＝∠B′FG+∠EFG＝3α， ∴180°﹣α＝3α，解得α＝45°， ∴∠AEF＝α＝45°； 综上，∠AEF＝67.5°或45°，故④错误． 综上，①②③正确； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了平行线的性质，与折叠有关的角的计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共82分） 17．（8分）计算： （1）； （2）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）． 【考点】单项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【答案】（1）1； （2）2x6﹣12x5﹣6x4． 【分析】（1）先计算负整数指数幂、有理数的乘方运算、零指数幂、绝对值，再计算加减运算即可； （2）先利用积的乘方、单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（1） ＝4﹣1+1﹣3 ＝1； （2）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x） ＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4 ＝2x6﹣12x5﹣6x4． 【点评】本题考查了整式的混合运算，正确化简计算是解题的关键． 18．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（2x﹣y）（2x+y）﹣5y2，其中． 【考点】整式的混合运算—化简求值．版权所有 【答案】﹣3x2﹣4xy；﹣1． 【分析】将原式利用平方差及完全平方公式化简后代入数值计算即可． 【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣4x2+y2﹣5y2 ＝﹣3x2﹣4xy； 当x＝1，y时， 原式＝﹣3×12﹣4×1×（）＝﹣3+2＝﹣1． 【点评】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19．（9分）·【中档】若am＝an（a＞0）且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值； （2）若3x+1﹣3x＝162，求x的值； （3）若x＝5m，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y：y＝　4﹣x2 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方；列代数式；同底数幂的乘法．版权所有 【答案】（1）x＝4； （2）x＝4； （3）4﹣x2． 【分析】（1）根据幂的乘方逆运算可得：2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x，即可得出21﹣3x+4x＝21+x，再根据已知x÷8x•16x＝25，由此可得：21+x＝25，得出1+x＝5，解方程即可得出x的值； （2）将3x+1﹣3x＝162变形为：3x×3﹣3x＝162，即3x×2＝162，即可得出3x＝81＝34，即可得出答案； （3）由y＝4﹣25m，可得y＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2，把x＝5m代入y即可得出答案． 【解答】解：（1）2÷8x•16x ＝2÷（23）x•（24）x ＝2÷23x•24x ＝21﹣3x+4x ＝21+x， ∵x÷8x•16x＝25， ∴21+x＝25， ∴1+x＝5， 解得：x＝4； （2）∵3x+1﹣3x＝162， ∴3x×3﹣3x＝162， ∴3x×（3﹣1）＝162，即3x×2＝162， ∴3x＝81＝34， ∴x＝4； （3）∵x＝5m， ∴y＝4﹣25m ＝4﹣（52）m ＝4﹣（5m）2 ＝4﹣x2． 故答案为：4﹣x2． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，列代数式，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方运算法则，同底数幂的运算法则是解题的关键． 20．（8分）·【中档】（1）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： ①画出△ABC向右平移5格后的△A1B1C1； ②画出△ABC关于点B中心对称的△A2BC2； ③在直线l上作一点P，使PA+PB的值最小． （2）尺规作图：如图，折叠矩形（长方形）纸片ABCD，使点B与点D重合，折痕为EF．请用直尺和圆规作出折痕EF，点E在AD上，点F在BC上．（保留作图痕迹，不写作法） 【考点】作图﹣旋转变换；矩形的性质；作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．版权所有 【答案】见解析． 【分析】（1）①利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； ②利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A2，C2即可； ③作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，连接PB即可； （2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AD于点E，交BC与点F即可． 【解答】解：（1）①如图1中，△A1B1C1即为所求； ②如图1中，△A2BC2即为所求； ③如图1中，点P即为所求； （2）如图2中，直线EF即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换，矩形的性质，作图﹣平移变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．（8分）·【中档】如图，将三角形ABC沿边BC所在的直线向右平移，得到三角形DEF，DE与AC相交于点H，且平移距离为3，AB＝6，EF＝9，∠B＝90°． （1）AC与DF的关系是 AC＝DF且AC∥DF ；EC的长为 　6　 ； （2）若四边形DHCF的面积为15，求DH的长． 【考点】三角形的面积；平移的性质．版权所有 【答案】（1）AC＝DF且AC∥DF；6； （2）2． 【分析】（1）根据平移前后对应线段平行（或在同一直线上）且相等即可解答； （2）根据平移的性质得出，求出S△EHC＝S△DEF﹣S四边形DHCF＝27﹣15＝12，得出，最后求出DH＝DE﹣EH＝6﹣4＝2． 【解答】解：（1）∵三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，平移距离为3， ∴AC与DF的关系式为：AC＝DF且AC∥DF；CF＝3，BC＝EF＝9， ∴EC＝EF﹣CF＝9﹣3＝6． 故答案为：AC＝DF且AC∥DF，6； （2）∵三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，∠B＝90°， ∴，DE＝AB＝6， ∵四边形DHCF的面积为15， ∴S△EHC＝S△DEF﹣S四边形DHCF＝27﹣15＝12， ∴， ∴DH＝DE﹣EH＝6﹣4＝2． 【点评】本题主要考查了平移的性质，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 22．（6分）·【中档】如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝8，PN＝10，MN＝13，求线段QR的长． 【考点】轴对称的性质．版权所有 【答案】15． 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上， ∴MQ＝PM＝8，NR＝PN＝10． ∵MN＝13， ∴QN＝MN﹣MQ＝13﹣8＝5， ∴QR＝QN+NR＝5+10＝15． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 23．（8分）·【中档】龙年春晚首次在演播大厅部署了沉浸式舞台交互系统，现场观众可以看到苏轼带你云游杭州，大熊猫萌兰上春晚教学五禽戏…AR与AI的技术融合让人耳目一新，悠悠同学深受智能技术触动，发明了一个简易智能关联盒．当输入数或式时，盒子会直接加4后输出． （1）第一次悠悠输入的式子为3a+2，则关联盒输出的式子为　3a+6　 ；若关联盒第二次输出的式子为4a+3，则悠悠输入的是　4a﹣1　 （a＞1）； （2）在（1）的条件下，若把第一次输入的式子作为长方形甲的宽，输出的式子作为长，其面积记作S1；把第二次输入的式子作为长方形乙的宽，输出的式子作为长，其面积记作S2． ①请用含a的代数式分别表示S1和S2（结果化成多项式的形式）； ②悠悠发现S1+4和S2+4，都可以化为一个完全平方式，请解释说明． 【考点】完全平方式；完全平方公式的几何背景．版权所有 【答案】（1）3a+6；4a﹣1； （2）①；； ②②； ， ∴S1+4和S2+4都是完全平方式． 【分析】（1）根据题意利用整式计算即可； （2）①根据长方形的面积公式列式计算即可； ②分别将S1和S2代入S1+4和S2+4，并化为完全平方的形式即可． 【解答】解：（1）根据题意利用整式计算可得：第一次悠悠输入为3a+2，则关联盒输出为：3a+2+4＝3a+6， 关联盒第二次输出为4a+3，则悠悠输入的是：4a+3﹣4＝4a﹣1， 故答案为：3a+6；4a﹣1； （2）①根据长方形的面积公式列式计算可得： ； ， ②； ， ∴S1+4和S2+4都是完全平方式． 【点评】本题考查整式计算，多项式乘多项式，合并同类项，完全平方公式因式分解，正确进行计算是解题关键． 24．（8分）规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 小明在研究这种运算时发现一个结论：． 小明给出了如下的证明： 设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y， 由规定，得ax＝m，ay＝n ∴， ∴， ∴ 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　4　 ，； （2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）； （3）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，l（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x． 【考点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法．版权所有 【答案】（1）4，； （2）∵L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）， ∴L（3，5）＝L（3，40）﹣L（3，8）， 设L（3，40）＝x，L（3，8）＝y， 由题意得：3x＝40，3y＝8， ∴， ∴L（3，5）＝x﹣y， ∴L（3，5）＝L（3，40）﹣L（3，8）， 即L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）； （3）5． 【分析】（1）根据ac＝b，则L（a，b）＝c计算求解即可； （2）根据的证明过程证明即可； （3）根据新定义结合同底数幂的运算列出方程求解． 【解答】解：（1）∵24＝16， ∴L（2，16）＝4； ∵（±）﹣2＝36， ∴L（±，36）＝﹣2， 故答案为：4，±； （2）∵L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）， ∴L（3，5）＝L（3，40）﹣L（3，8）， 设L（3，40）＝x，L（3，8）＝y， 由题意得：3x＝40，3y＝8， ∴， ∴L（3，5）＝x﹣y， ∴L（3，5）＝L（3，40）﹣L（3，8）， 即L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）； （3）由题意可得：ax﹣2＝m，a3x﹣6＝n，a2x+2＝mn， ∴a2x+2＝mn＝ax﹣2•a3x﹣6＝a4x﹣8， ∴2x+2＝4x﹣8， 解得：x＝5． 【点评】本题考查了同底数幂的运算，正确理解新定义是解题关键． 25．（10分）·【中档】如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为a的正方形卡片； 2号卡片：边长为b的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中a＞b． （1）填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：　（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2 ． （2）填空：小明同学想用x张1号卡片，y张2号卡片，z张3号卡片拼出一个面积为（5a+7b）（4a+3b）的长方形，那么x+y+z的值为　84　 ． （3）现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． （4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S1； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为S2． 如果S2﹣S1＝24，求2号卡片的边长． 【考点】完全平方式；函数的图象；展开图折叠成几何体；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．版权所有 【答案】（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2； （2）84； （3）2a+b； （4）． 【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出（5a+7b）（4a+3b）＝20a2+43ab+21b2，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方公式以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为x，则宽为x﹣5，分别求出S1与S2，再求得S2﹣S1＝5b，从而得解． 【解答】解：（1）根据题意可知（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2， 故答案为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2； （2）1号卡片的面积为a2，2号卡片的面积为b2，3号卡片的面积为ab，所拼成的长方形面积为（5a+7b）（4a+3b）＝20a2+43ab+21b2， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即x＝20，y＝21，z＝43， ∴x+y+z＝84， 故答案为：84； （3）根据题意，可以拼成边长为2a+b的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为2a+b． （4）设长方形的长为x，则宽为x﹣5． 由题意：， ， ∴S2﹣S1＝5b， ∴ ∴2号卡片的边长为． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 26．（11分）·【难】如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°． （1）若△DEF如图①摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM； （2）如图②，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上．当△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH相交于点H（图③），求∠GHF的度数； （3）若图②中△DEF固定，将△ABC绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至BC与直线BM首次重合的过程中，请求出当△ABC的一边与△DEF的一边平行时旋转的时间． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【答案】（1）见解析； （2）67.5°； （3）40s或60s或70s或90s或10s． 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得∠QDF＝75°；分四种情况：①当AC∥DE时，同时BC∥DF，②当BC∥EF时，③当BA∥EF时，④AB∥DF时，分别求出旋转角度求解即可． 【解答】（1）证明：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°， ∵ED平分∠PEF， ∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°， ∵PQ∥MN， ∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°， ∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠MFD＝∠DFE， ∴FD平分∠EFM； （2）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ， ∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH， ∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN， ∴FL∥PQ∥HR， ∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA， ∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H， ∴， ∵∠DFE＝30°， ∴∠GFA＝180°﹣∠DFE＝150°， ∴， ∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA＝75°﹣45°＝30°， ∴∠GFL＝∠GFA﹣∠LFA＝150°﹣45°＝105°， ∴， ∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°； （3）如图2，过点E作EK∥MN， ∵∠BAC＝45°， ∴∠KEA＝∠BAC＝45°， ∵PQ∥MN，EK∥MN， ∴PQ∥EK， ∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF﹣∠KEA， 又∵∠DEF＝60°， ∴∠PDE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠QDF＝180°﹣∠PDE﹣∠EDF＝180°﹣15°﹣90°＝75°， ①当AC∥DE时，同时BC∥DF，如图，过点H作HK∥PQ，DF，CG交于G， ∴∠CGH＝∠D＝90°， ∴∠AGH＝90°， ∵∠A＝∠AHG＝45°， ∴∠DHB＝180°﹣∠AHG＝135°， ∵HK∥PQ， ∴∠KHD＝∠QDF＝75°， ∴∠KHB＝∠DHB﹣∠KHD＝135°﹣75°＝60°， MN∥PQ， ∴HK∥MN∥PQ， ∴∠KHB＝∠ABN＝60°， ∴旋转时间为； ②当BC∥EF时，如图，过点H作HK∥PQ，过点E作EL∥PQ，AC，EF交于G， 由①可得∠LEF＝∠EHK＝45°， ∴∠KHB＝∠ABN＝135°﹣45°＝90°， ∴旋转时间为； ③当BA∥EF时，如图，过点E作EL∥PQ，延长EF交MN于点K， 则∠EKB＝45°， ∴∠ABN＝180°﹣∠EKB＝180°﹣45°＝135°， 这时BC在MN上停止运动， ∴旋转时间为； ④AB∥DF时，如图，延长DF交MN于M′， ∴∠DM′N＝∠ABN， ∵PQ∥MN， ∴∠DM′N＝180°﹣∠QDF＝105°， ∴∠ABN＝105°， ∴旋转时间为； 当AB∥DE时， 延长EF交MN 于G， 同理∠ABN＝15°， ∴旋转时间为10s， 综上所述，当运动40s或60s或70s或90s或10s时，△ABC的一边与△DEF的一边平行． 【点评】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $