精品解析： 江苏省苏州中学伟长班2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州中学伟长班七年级（下）期中 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用单项式除以单项式，合并同类项，幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A、,符合题意， B、，选项计算错误，不符合题意， C、与不是同类项，无法合并，不符合题意， D、与不是同类项，无法合并，不符合题意， 故选：A． 2. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，熟练掌握其表现形式是解题的关键．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【详解】解：A、符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，不符合题意； B、不符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，符合题意； C、符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，不符合题意； D、符合两个数的和与这两个数的差相乘的形式，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和等知识，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是关键；由旋转知，等于旋转角，，由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：由旋转知，等于旋转角，， ∴， ∴， 即旋转角为 故选：C． 4. 课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（ ） A. 第3天 B. 第4天 C. 第5天 D. 第6天 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图和题意可知， 第一天产生新的微生物有6个标号， 第二天产生新的微生物有12个标号， 以此类推，第三天、第四天、第五天产生新的微生物分别有24个，48个，96个， 而前四天所有微生物的标号共有3+6+12+24+48=93个， 所以标号为100的微生物会出现在第五天． 故选C． 5. 若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 6. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示： 与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解集，不等式的性质，正确计算是解题的关键．先整理不等式，再根据其解集得出之间的关系以及的取值范围，再解不等式即可． 【详解】解：， ， ∵关于的不等式的解集为， ∴， 解①，得， 即， 把代入②，得， 解得， ∴关于的不等式的解集为， ∴， 即， 故选：B． 8. 若整数满足，则可能取到的值为（　　） A. B. C. D. 以上结论都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式，解决本题的关键是运用整体代入思想，将式子进行因式分解． 首先根据已知条件对进行变形，得到与相关的式子，进而推出的表达式，然后通过设方程组找到满足条件的的值，代入式子计算出结果，并与选项进行对比． 【详解】解：∵， ∴ ， 很显然是一个完全平方数， 因为， 不是完全平方数． 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 2024年我国总量超130万亿元，将“130万亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将“130万亿”用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：130万亿． 故答案为：． 10. 方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加减消元法求解二元一次方程组，将的左右两边分别乘2，再与相加消去y，求得x的值，将x的值代入中可求出y的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入得， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：． 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1，即可解得一元一次不等式． 本题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法，是解题的关键． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 故答案为：． 12. 若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：4． 13. 是等边三角形，点O是其中心，且，将绕点O逆时针至少旋转______后能与自身重合． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与外心连线的夹角相等，计算旋转角即可． 【详解】解：依题意，等边三角形的外心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与外心连线的夹角相等， ∴，即每次至少旋转． 故答案为：． 14. 若，则的值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方差公式，由条件得到，将恒等变形，整体代入求值即可得到答案，熟记代数式求值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质进行逐项分析，即可判断作答． 【详解】解：若,当时，,则①错误， 若，那么，那么,则②正确， 若,当，时，那么，则③错误， 若，那么 ∵，两边同时除以得，则④正确， 若，，则， 整理得，由得， 那么，故异号， 那么，．则⑤正确， 故答案为：②④⑤． 16. 已知a+b+c＝0，a>b>c，则的取值范围是_____． 【答案】-2<<-． 【解析】 【分析】首先将a+b+c=0变形为b=-a-c．再将b=-a-c代入不等式a>b，b>c，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 【详解】解：∵a+b+c＝0，a>b>c ∴a>0，c<0 ∴b＝-a-c，且a>0，c<0 ∵a>b>c ∴-a-c<a，即2a>-c 解得>-2， 将b＝-a-c代入b>c，得-a-c>c，即a<-2c 解得<， ∴-2<<． 故答案为：-2<<． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解决本题的关键是将a+b+c=0变形为b=-a-c，代入后消去b，进而求得a、c的关系． 17. 若实数、、满足，．若，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知条件，利用含的代数式分别表示出，，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：，， ，， ， 解得：， 故答案为：． 18. 若实数x，y，z满足，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，因式分解的应用，解决本题的关键是运用完全平方公式以及对式子进行变形来求解 先通过已知条件求出的值，再利用完全平方公式求出的值，最后将转化为，再代入数值来计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1． （1）当a=﹣2时，求x，y的值； （2）若x≤1，求y的取值范围． 【答案】（1）x=﹣3，y=3；（2）1≤y≤4. 【解析】 【分析】（1）先解方程组得到x，y的表达式，再将a的值代入即可得解； （2）根据题意先求出a的取值范围，再由（1）得到y的取值范围. 【详解】解：（1）， 整理得：4y=4﹣4a， 解得：y=1﹣a， 将y=1﹣a代入原方程，得：x﹣1+a=3a， 解得：x=2a+1， 则， ∵a=﹣2， ∴x=﹣4+1=﹣3，y=1+2=3； （2）∵x=2a+1≤1，即a≤0， ∴﹣3≤a≤0，即1≤1﹣a≤4， 则1≤y≤4． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零次幂，负整数指数幂，化简绝对值求解； （2）根据整式的混合运算计算． 【小问1详解】 解：原式＝ 【小问2详解】 解：原式＝ 【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，掌握零次幂，负整数指数幂，单项式的乘除法运算是解题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平方差公式与多项式除以单项式进行计算，然后将字母的值代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，正确的计算是解题的关键． 22. （1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据解三元一次方程组的步骤，对所给方程组进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给一元一次不等式组进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组及解三元一次方程组，熟知解一元一次不等式组及解三元一次方程组的步骤是解题的关键． 【详解】解：（1）， 得，④， 得，， 将代入①得，， 将，代入③得，， 所以方程组的解为． （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 23. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． （1）如图，的周长为18，求的长． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算； （2）由对顶角相等得，根据垂直的定义得到，由（1）知，得，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 解：垂直平分， ，． 又， ， ∴， 又的周长为18， ， ． 【小问2详解】 解：， ． 又垂直平分， ， ． 又， ∴， ∵， ， ． 24. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）利用网格及无刻度的直尺在图中画出的高； （3）图中能使的格点P的个数是______．（点P异于点A）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）4． 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）取格点J，连接交于点D，结合网格特征证明，得出，因为三角形内角和性质以及，故，所以，线段即为所求， （3）结合网格特征得，再利用等高模型作出点P即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P的个数为4． 故答案为：4． 25. 先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； （2）求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； （3）试比较多项式与的大小． 【答案】（1）9 （2）； （3）当或时，当或时，，当时，． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，涉及到整式的运算，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）仿照示例，利用配方法，得到，的值，结合已知条件，得到的值，得到结果； （2）化简原式，把看作一个整体，把原式化为，利用配法，得到代数式的最小值； （3）利用作差法，求两个代数式的差，得到，再对其进行讨论，得到结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ..，， ，， ，， ，，，都是正整数， ， ， △的周长是9， 故答案为：9； 【小问2详解】 解： ， ， ， 代数式的最小值为3， 此时， 即； 【小问3详解】 解： ， 当时，即或时， 当时，或时，即或时，， 当时，时，即时，， 综上，当或时， 当或时，， 当时，． 26. 若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如，则称28为“十字数”，称6为28的“十字点”． （1）“十字点”为8的“十字数”为______；108的“十字点”为______； （2）若b是a的“十字点”，且a能被7整除，其中b为大于2且小于15的正整数，求a的值； （3）若m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，且时，求的值． 【答案】（1）54，11 （2）a的值为28或70或154 （3）的值为10或19 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、因式分解的应用以及新定义． （1）根据定义解答即可； （2）根据b是a的十字点，写出a的表达式，由于a能被7整除，所以得到能整除7或能整除7，求出b的值，进而得到a的值； （3）根据条件写出m，n的表达式，根据写出等式，进行变形得，因为，分别列出方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴“十字点”为8，的“十字数”为54； ∵， ∴108的“十字点”为11． 故答案为：54，11； 【小问2详解】 解：∵b是a的“十字点”， ∴， ∵a能被7整除，其中b为大于2且小于15的正整数， ∴或或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，． 综上，a的值为28或70或154； 【小问3详解】 解：∵m的“十字点”为p，n的“十字点”为q， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，时， 解得，，符合题意，此时； 当，时， 解得，，符合题意，此时； 当，时， 解得，，不符合题意． 综上，的值为10或19． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省苏州中学伟长班七年级（下）期中 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为100的微生物会出现在（ ） A. 第3天 B. 第4天 C. 第5天 D. 第6天 5. 若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 8. 若整数满足，则可能取到的值为（　　） A. B. C. D. 以上结论都不对 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 2024年我国总量超130万亿元，将“130万亿”用科学记数法表示为______． 10. 方程组的解是______． 11. 不等式的解集为______． 12. 若，，则______． 13. 是等边三角形，点O是其中心，且，将绕点O逆时针至少旋转______后能与自身重合． 14. 若，则的值为________． 15. 对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是______． 16. 已知a+b+c＝0，a>b>c，则的取值范围是_____． 17. 若实数、、满足，．若，，则的取值范围是______． 18. 若实数x，y，z满足，，则的值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共8分． 19. 已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1． （1）当a=﹣2时，求x，y的值； （2）若x≤1，求y的取值范围． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1） （2） 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. （1）解方程组； （2）解不等式组． 23. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． （1）如图，的周长为18，求的长． （2）若，，求的度数． 24. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． （1）请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； （2）利用网格及无刻度的直尺在图中画出的高； （3）图中能使的格点P的个数是______．（点P异于点A）． 25. 先阅读，然后解决问题： 若，求和的值． 解：等式可变形为：， 即， 因为，， 所以，， 即，． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请利用配方法，解决下列问题： （1）若△的三边长，，都是正整数，且满足，，则△的周长是______； （2）求代数式的最小值，并指出此时，满足的数量关系； （3）试比较多项式与的大小． 26. 若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如，则称28为“十字数”，称6为28的“十字点”． （1）“十字点”为8的“十字数”为______；108的“十字点”为______； （2）若b是a的“十字点”，且a能被7整除，其中b为大于2且小于15的正整数，求a的值； （3）若m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $