精品解析：陕西省咸阳市武功县2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试题

2026年陕西省初中学业水平考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四个数中只有是负数，且负数小于0，负数小于所有正数 ∴最小的数是． 2. 如图，将直角梯形绕直角腰所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了面旋转成体，掌握常见几何体的定义是解题的关键． 根据直角梯形绕直角所在的腰旋转一周形成的几何体即可解答． 【详解】解：直角梯形绕直角所在的腰旋转一周形成的几何体是． 故选：C． 3. 如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查补角的判断．正确的识图，理清角的和差关系，熟练掌握同角的余角相等，互补的两角之和为，是解题的关键． 根据同角的余角相等，得到，又因为，所以，又因为与互为补角，即可得出结果． 【详解】， 即， ． 又， ． ， 即与互为补角， 所以与互补的角有：共3个． 故选C． 4. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 5. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数图象与其系数的关系，正比例函数中，当时，函数图象经过第一、三象限，当时，函数图象进过第二、四象限；一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限；据此判断出两个函数进过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第一、三象限，函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 6. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的顶点一定在第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 与轴正半轴可以相交 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的基本性质，通过配方得到抛物线的顶点坐标和对称轴，利用到二次函数开口方向，增减性，与坐标轴交点坐标，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：先对抛物线配方得： ∵ ∴抛物线开口向上，A错误． 抛物线顶点坐标为 ∵， ∴ 顶点横坐标小于0，纵坐标小于0，因此顶点在第三象限，B正确． ∵抛物线对称轴为，开口向上， ∴时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，C错误． 令，得，抛物线与轴交于，交点在轴负半轴，D错误． 综上，答案选B． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 7. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 8. 在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，正多边形的每个内角相等是解答． 先求出正九边形的内角和，再利用正九边形的九个内角相等来求解． 【详解】解：正九边形的内角和为：． 又正九边形的九个内角都相等， ． 故答案为：． 9. 如图，是的外接圆，半径是2，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据，则，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， ， 半径为， 长度为． 10. 某汽车的功率一定时，其行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系如图所示，当牵引力为时，汽车的速度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是求出函数表达式． 先利用待定系数法求出反比例函数表达式，再将代入求出速度． 【详解】解：根据函数图象，可设行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， ∴， 当牵引力为时，， 故答案为：． 11. 如图，在中，，于点，，是的中位线，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，连接、、，过点作、的垂线，垂足分别为、，设，由圆周角定理可得，在中，求出，，则，再结合三角形中位线定理，得到，即当取最小值时，有最小值．当点与点重合时，有最小值，此时，利用的长求出为最小值，即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作、的垂线，垂足分别为、， 设， ， ， ，， ，， 在中，，， ， 是的中位线， ， 当取最小值时，有最小值． ， 四边形是矩形， ， 当点与点重合时，有最小值，此时， ， 为最小值， 的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 13. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，并在数轴上表示出解集． 【详解】解：， 由①得：x≤1， 由②得，x＞﹣4， ∴不等式组的解集为﹣4＜x≤1， 解集在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，正确的计算是解题的关键． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值． 【详解】解：化简： ， 把代入计算，原式． 15. 如图，已知．请用尺规作图法求作一点，使，且点到的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据，可知点P在线段的垂直平分线上，根据点到的距离相等，可知点P在的角平分线上，据此作图即可． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 16. 如图，在中，E，F为对角线所在直线上的两个点，且，连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由题意易证，由平行四边形的性质易得出，，即可证明，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握上述知识是解题关键． 17. 北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅．如图，已知楼顶到地面的距离为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若，均为1.7米（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算： （1）当小亮站在B处时离教学楼的距离； （2）求条幅的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）小亮站在B处时离教学楼的距离为米 （2）条幅的长度约为米 【解析】 【分析】（1 ）延长交于H，根据矩形的性质得到米，，，根据三角函数的定义即可得到结论； （2 ）由（1）知米，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：延长交于H， 则米，，， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 【小问2详解】 解：由（1）知米， 在中，∵， ∴， ∴， ∴（米）， 答：条幅的长度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 18. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量，得到下表： 胸径 树高 （1）根据上表我们可以发现这种树的树高是其胸径的一次函数，求与之间的函数表达式； （2）当这种树的树高为时，其胸径是多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知是的一次函数，设出解析式后代入表格两组对应值，解方程组即可求出函数表达式. （2）将代入所求解析式，解一元一次方程即可得到对应的胸径. 【小问1详解】 解：设，. 将 ， 代入解析式得    解得 因此与之间的函数表达式为 . 【小问2详解】 把代入 得  . 解得. 答：当这种树的树高为 时，其胸径是 . 19. 2022年，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准(2022年版)》，文中对家务劳动的时间做了细致要求．某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了25名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表： 组别 “劳动时间”t/分钟 频数 A 2 B 4 C 10 D 9 根据上述信息，回答下列问题： （1）此次调查属于 调查，样本容量为 ，个体为 ； （2）这25名学生的“劳动时间”的中位数落在 组；若要绘制扇形图，C组学生所对圆心角的度数为______； （3）若该校有1400名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数． 【答案】（1）抽样，25 ，每名学生的劳动时间 （2）C，144° （3）估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为1064人 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查及其相关定义判断即可； （2）根据中位数的定义解答即可；用乘组所占比例可得答案； （3）用1400乘样本中“劳动时间”不少于90分钟的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：此次调查属于抽样调查，样本容量为25，个体为每名学生的劳动时间； 【小问2详解】 解：把25名学生的“劳动时间”从小到大排列，第13个数位于组， 所以这25名学生的“劳动时间”的中位数落在组； 若要绘制扇形图，组学生所对圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：（人， 答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数大约为1064人． 【点睛】本题考查了频数分布表．扇形统计图，用样本估计总体，从频数分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目部分数目相应百分比． 20. 如图1所示是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量．图2是从中抽象出的函数模型，已知抛物线的函数解析式为，两桥塔，且间距为，主索最低点为点． （1）请依据模型求主索抛物线的函数解析式（无需写出自变量取值范围）； （2）由于实际需要把铁索桥向上平移1米，间5条吊索间距相同都为10米，现在需要全部更换，求需要更换的吊索总长度为多少米? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查求二次函数的实际应用，在实际问题中熟练应用二次函数的性质是解题的关键． （1）由矩形性质得，可知抛物线上、两点横坐标为 0 和 60 且纵坐标相等，所以抛物线对称轴为直线，即顶点式中，代入即可得到完整的抛物线解析式； （2）写出向上平移 1 米后的抛物线解析式，再确定 5 条吊索对应的横坐标，求出每个横坐标对应的函数值（即吊索长度），求和即可得到总长度． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为 ，开口向上，顶点（主索最低点）为，对称轴为直线， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， 即，， ∴， 将代入解析式，得：． 【小问2详解】 解：平移后的解析式为：， 间 5 条吊索间距为 10 米，且不包含两端桥塔，因此吊索对应的横坐标为：， 时，， 时，， 时，， 时，与对称，， 时，与对称，， 将 5 条吊索长度相加：． 21. 求解下列各题： （1）问题发现：如图1，在中，，于点，，．求的面积； （2）问题探究：如图2，在正方形中，，，分别是边，上的两点，将正方形沿折叠，点恰好落在边上的中点处，求的长度； （3）问题解决：如图3，在矩形中，，分别是边，上的两点，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，，分别是边，上的两点，四边形沿折叠，点恰好也落在对角线上的点处．已知米，米，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）平方米 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可； （3）连接，根据折叠的性质以及矩形的性质，先证明,设，，则，，根据勾股定理可得得出，根据三角形的面积公式求得四边形面积，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴的面积 【小问2详解】 解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 设，则 ∵折叠， ∴， ∴， ∴ 设，，则，， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∴ ∴四边形面积 当时，取得最大值，最大值为（平方米） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 10 2. 如图，将直角梯形绕直角腰所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、相交于点O，，图中与互补的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于抛物线的叙述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 抛物线的顶点一定在第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 与轴正半轴可以相交 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 7. 分解因式：___________． 8. 在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为______． 9. 如图，是的外接圆，半径是2，，则的长是______． 10. 某汽车的功率一定时，其行驶时的速度与它所受的牵引力之间的函数关系如图所示，当牵引力为时，汽车的速度为________． 11. 如图，在中，，于点，，是的中位线，则线段的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 12. 计算：． 13. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，已知．请用尺规作图法求作一点，使，且点到的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 16. 如图，在中，E，F为对角线所在直线上的两个点，且，连接，．求证：． 17. 北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅．如图，已知楼顶到地面的距离为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若，均为1.7米（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算： （1）当小亮站在B处时离教学楼的距离； （2）求条幅的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 18. 经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量，得到下表： 胸径 树高 （1）根据上表我们可以发现这种树的树高是其胸径的一次函数，求与之间的函数表达式； （2）当这种树的树高为时，其胸径是多少? 19. 2022年，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准(2022年版)》，文中对家务劳动的时间做了细致要求．某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了25名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表： 组别 “劳动时间”t/分钟 频数 A 2 B 4 C 10 D 9 根据上述信息，回答下列问题： （1）此次调查属于 调查，样本容量为 ，个体为 ； （2）这25名学生的“劳动时间”的中位数落在 组；若要绘制扇形图，C组学生所对圆心角的度数为______； （3）若该校有1400名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数． 20. 如图1所示是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量．图2是从中抽象出的函数模型，已知抛物线的函数解析式为，两桥塔，且间距为，主索最低点为点． （1）请依据模型求主索抛物线的函数解析式（无需写出自变量取值范围）； （2）由于实际需要把铁索桥向上平移1米，间5条吊索间距相同都为10米，现在需要全部更换，求需要更换的吊索总长度为多少米? 21. 求解下列各题： （1）问题发现：如图1，在中，，于点，，．求的面积； （2）问题探究：如图2，在正方形中，，，分别是边，上的两点，将正方形沿折叠，点恰好落在边上的中点处，求的长度； （3）问题解决：如图3，在矩形中，，分别是边，上的两点，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，，分别是边，上的两点，四边形沿折叠，点恰好也落在对角线上的点处．已知米，米，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $