2.2基本不等式 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“基本不等式”核心知识点，通过蓄水池材料最省、矩形面积最大的实际问题导入，搭建生活与数学的桥梁，衔接不等式性质，引导学生从最值问题切入，构建知识学习支架。 此资料亮点在于情境导入贴近现实，培养用数学眼光观察世界的能力，几何画板展示几何意义实现数形结合，深化数学思维，典例分析强化“一正二定三相等”，提升用数学语言解决问题的能力。助力学生逻辑推理与应用能力提升，为教师提供完整教学流程与实例，便于高效开展教学。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.2 基本不等式 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式成立的条件和等号成立的条件。 2.能运用基本不等式解决简单的最值问题、比较大小问题以及证明简单的不等式问题。 3.了解基本不等式的几何意义，体会数形结合思想在数学中的应用。 教学内容 教学重点：基本不等式的推导过程和基本应用，包括利用基本不等式求最值的条件（一正、二定、三相等）。 教学难点：1.基本不等式的几何意义的理解； 2. 利用基本不等式解决最值问题时，如何构造“一正、二定、三相等”的条件。 教学过程 1、 情境导入 问题1：某商场要制作一个容积为1000m3的无盖长方体蓄水池，池底是正方形，如何设计这个蓄水池的底面边长和高，才能使所用的材料最省？ 问题2：用长为8m的铁丝围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？最大面积是多少？ 引导学生思考：这两个问题都涉及到“最值”问题，如何用数学知识来解决呢？从而引出本节课的主题——基本不等式。 2、 新知探究 1. 重要不等式的推导 提问：对于任意实数a，b，我们知道(a - b)2 ≥ 0，当且仅当a = b时，等号成立。请同学们展开这个不等式，能得到什么结论？ 学生自主展开：a2 - 2ab + b2 ≥0，整理可得a2+ b2≥2ab 教师总结：这个不等式叫做重要不等式，对于任意实数a，b都成立，当且仅当a = b时，等号成立。 2. 基本不等式的推导 提问：如果我们对重要不等式中的a，b加上一些限制条件，比如a>0，b>0 当，时，我们可以用和分别代替上述不等式中的和，得到 即 两边同时除以 2，得 我们把 叫做基本不等式. 当且仅当 时，等号成立。 其中， 称为正数、 的算术平均数， 称为正数、 的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 思考：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 要证明 只需证明 即 注意到 因此原不等式等价于 也就是 显然，这个不等式恒成立，且当且仅当 ，即 时取等号 强调：(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 注意：一正二定三相等. 3. 基本不等式的几何意义 利用几何画板展示：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在圆中，直径是最长的弦。 构造图形：如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，且AC =，BC =，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。由于AB是直径，故。在直角三角形ADB中，CD是斜边上的高，根据射影定理或相似三角形关系，可得，从而有 因此 而圆的半径为 ，由于点C在直径 AB 上，CD是从C到圆周的垂直线段，其长度不超过半径，即 所以 当且仅当点C与圆心重合时，CD等于半径，此时，等号成立。 总结：基本不等式的几何意义是，直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高；或者说，圆的半直径不小于圆上一点到直径的垂线段的长度。 3、 典例分析 例1 （1）已知 ，求 的最小值。（2）已知 ，求 的最大值。 解：（1）因为 ，所以 所以 当且仅当因此所求最小值为2。 （2）因为 ，所以，所以 ≤ 所以当 当且仅当-因此所求最大值为 -2。 总结：利用基本不等式求最值的条件：一正（各项均为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能够成立）。三者缺一不可。 例2 已知 都是正数，求证： (1) 如果积（定值），那么当时，和有最小值； (2) 如果和（定值），那么当时，积有最大值。 证明：因为 ，所以 （1）当积为定值时， 当且仅当 时等号成立，于是当 时，有最小值 。 (2) 当和为定值时， 所以 当且仅当时等号成立。于是当时，积有最大值 。 总结：①在“积为定值”时，用于放缩“和”，得到最小值； ②在“和为定值”时，用于放缩“积”，得到最大值； 例3.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为，篱笆的长度为m. (1)由已知由 ≥，可得所以, 当且仅当=10时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10ｍ的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40ｍ． (2)由已知得，矩形菜园的面积为 由 = = 9,可得81，当且仅当=9时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9ｍ的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81ｍ2. 总结：利用基本不等式解决实际问题 设出未知数x，y，根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”） 四、课堂小结 1.基本不等式及成立条件。 2.基本不等式的几何意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。 4.基本不等式的应用：比较大小、求最值、证明简单不等式。 五、课后作业 1.课本习题2.2 A组第1、2、3题；B组第1题。 2.思考并解决导入环节的问题1：某商场要制作一个容积为1000m3的无盖长方体蓄水池，池底是正方形，如何设计这个蓄水池的底面边长和高，才能使所用的材料最省？ 3.预习基本不等式的拓展应用。 学科网（北京）股份有限公司 $