精品解析：陕西商洛市山阳县2025-2026学年度第二学期期中考试试题高二数学

2025—2026学年度第二学期期中考试试题 高二数学 （时间: 120分钟满分: 150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 20 B. 30 C. 42 D. 56 2. 某款车型有8种外观颜色，4种内饰颜色可供选择.若车主自由选择车的外观和内饰颜色，则不同的选法共有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 32种 D. 12种 3. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 4. 设 则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数 的导函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线 在处的切线方程为，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设 ，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则c的值可以为（ ） A. B. C. 16 D. 2 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. （m，n为正整数且） C. D. 满足方程的x值可能为1或5 11. 定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 2男3女站成一排拍照，若左、右两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为__________ . 13. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________. 14. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某班有5名同学报名参加校运会的4个比赛项目，求满足下列情况的不同的报名方法种数.（用数字回答） （1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加； （2）每人限报一项，每人均参加，且每个项目均有人参加. 16. 设函数 ，其中.已知在处取得极值. （1）求的解析式; （2）求在上的最值. 17. 用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. （1）可以组成多少个五位数? （2）可以组成多少个能被 2整除的五位数? （3）将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）讨论函数的极值； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试试题 高二数学 （时间: 120分钟满分: 150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 20 B. 30 C. 42 D. 56 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得，则. 2. 某款车型有8种外观颜色，4种内饰颜色可供选择.若车主自由选择车的外观和内饰颜色，则不同的选法共有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 32种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【详解】第一步：选外观颜色，有8种选法；第二步：选内饰颜色，有4种选法. 所以不同的选法共有（种）. 3. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导计算出，再由导数的定义得，即可求解 【详解】∵，∴， ∴． 故选：C 4. 设 则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】的定义域为，， 由，可得，所以的单调递增区间为. 5. 函数 的导函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以, 所以, 所以为偶函数，由此可排除, 又因为，排除D，故适合题意. 6. 已知曲线 在处的切线方程为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，求出切线斜率和切点处的函数值，进而求出结果. 【详解】对函数求导得，可得曲线在处的切线斜率为， 由切线方程为，可得，即， 又，故切点坐标为，将其代入切线方程中得， 所以，所以. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递减，得在上恒成立，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为在上，单调递减，且， 所以恒成立，即在上恒成立， 因为函数在上单调递增，所以，所以，解得. 所以实数的取值范围为. 8. 设 ，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导后可得其单调性，利用单调性判断即可得解. 【详解】令，则， 当时，，故在上单调递增， 又，故，即， 又，故，即. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则c的值可以为（ ） A. B. C. 16 D. 2 【答案】BC 【解析】 【详解】因为， 令，解得或；令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以的极大值为，极小值为. 又的图象与x轴恰有两个公共点， 所以只需满足或，即或 即或16. 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. （m，n为正整数且） C. D. 满足方程的x值可能为1或5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据组合数公式和性质判断选项. 【详解】对于A，由公式可知A正确； 对于B，，， 所以（m，n为正整数且），故B正确； 对于C，因，故C错误； 对于D，因为，所以，解得， 当时，，成立，故D错误. 11. 定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用定义分别判断的解的个数即可得出答案. 【详解】对于A，，由， 得，解得， ∴只有一个“新不动点”； 对于B，， 由，得，解得， ∴只有一个“新不动点”； 对于C， 由，得， 同除以得，不是方程的根， 故可得： （x＞0）， 由的图象在上有两个交点， ∴有两个“新不动点”； 对于D，， 由，得， 即，易知方程有无数个解， ∵有无数个“新不动点”． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 2男3女站成一排拍照，若左、右两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为__________ . 【答案】72 【解析】 【详解】由2男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一女， 先排左、右两端，有（种）排法， 再排中间3个位置，有（种）排法， 所以不同的排法种数为种. 13. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导函数有2个零点，求参数的取值范围. 【详解】因为有两个不同的极值点，所以在有2个不同的零点，所以在有2个不同的零点，所以，解得. 所以的取值范围是. 14. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将原等式变形，根据导数的定义得到，进而求得函数解析式，然后化简不等式求得解集即可. 【详解】由题意得，所以. 令，则，因为，所以， 所以，所以不等式等价于，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某班有5名同学报名参加校运会的4个比赛项目，求满足下列情况的不同的报名方法种数.（用数字回答） （1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加； （2）每人限报一项，每人均参加，且每个项目均有人参加. 【答案】（1）120 （2）240 【解析】 【分析】（1）应用排列数公式计算求解； （2）应用排列数及组合数结合分步计算原理计算求解. 【小问1详解】 在5人中任选4人，安排其参加4个比赛项目，故共有（种）报名方法. 【小问2详解】 根据题意，分两步进行分析：①将5人分成4组，有（种）分组方法. ②将分好的四组安排参加4项比赛，有（种）情况. 所以共有（种）报名方法. 16. 设函数 ，其中.已知在处取得极值. （1）求的解析式; （2）求在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为40，最小值为12. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据极值点求出参数即可. （2）对函数求导，求出极值点，判断单调性，进而确定最值. 【16题详解】 对函数求导得，因为在处取得极值， 所以，解得. 所以. 【17题详解】 由（1）可知，令， 则，解得或. x 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 13 单调递减 12 单调递增 ，所以在上的最大值为40，最小值为12. 17. 用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数. （1）可以组成多少个五位数? （2）可以组成多少个能被 2整除的五位数? （3）将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少? 【答案】（1）96 （2）60 （3）30124 【解析】 【分析】（1）先排首位，其他位全排列，即可求解； （2）个位分为0或2或4三种情况，分类求解； （3）首先求出首位为1和2的个数，再判断第49个数. 【小问1详解】 先排首位，有（种）排法，再排其它位，有（种）排法， 根据分步乘法计数原理得，可以组成（个）五位数. 【小问2详解】 能被2整除的五位数的个位数是0或2或4，若个位数是0，则有个满足题意的五位数； 若个位数是2或4，则先排首位，0不作为首位，则首位有种排法，其余位置有种排法， 此时有个满足题意的五位数.故共有＋（个）满足题意的五位数. 【小问3详解】 首位数字不能为0，首位数字为1的五位数有（个），首位数字为2的五位数有（个）， 此时共有（个）五位数，故第49个数是30124. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）讨论函数的极值； （3）证明：当时，． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，，单调递增，无极值； ②当时，在处取极大值，无极小值． （3） 由题意可得， 当时，因为，所以， 先证， 设， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 又因为， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）先求函数定义域，再用商的导数法则求导，根据导数的正负判断函数的单调递增、递减区间。 （2）先化简目标函数，再求导，根据参数a的取值范围分类讨论导数的符号，判断函数单调性，进而分析函数的极值情况。 （3）先将原不等式等价变形，再利用和的条件进行放缩，将问题转化为证明，通过构造函数并求其最大值来完成证明． 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 令， 则， ①当时，，单调递增，无极值； ②当时，令，解得， 时，，单调递增；时，，单调递减， 所以，在处取极大值，无极小值． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $