精品解析：上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期中质量监测试卷

2025学年第二学期上海海洋大学附属大团高级中学高一数学期中质量监测试卷 考试时间：90分钟 总分：100分 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分） 1. 在平面直角坐标系中，是第______象限角． 【答案】三 【解析】 【分析】分析可知与的终边相同，即可判断象限角. 【详解】因为，即与的终边相同， 且是第三象限角，所以是第三象限角. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】, 故答案为：. 3. 圆的半径是6 cm，则圆心角为30°的扇形面积是_________． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可计算. 【详解】,. 故答案为：3π. 4. 化简__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据诱导公式及正切函数的周期化简可得 【详解】，，，. 将化简结果代入原式： . 5. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用左加右减的原则，直接推出平移后的函数解析式即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：． 故答案为：． 6. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域求解即可. 【详解】由，， 即，， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7. 函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用换元法结合正弦函数值域结合二次函数得出最大值. 【详解】设，则，对称轴为， 所以当，单调递减，当，单调递增， 当时，，当时，， 所以函数的最大值为. 8. 已知函数的最小正周期为．则在区间上的零点是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数最小正周期的定义求出，进而求出的解析式，结合余弦函数的性质求零点. 【详解】因为，且函数的最小正周期为， 所以， 所以， 令可得，即， 由，得， 所以，所以， 所以函数在区间上的零点是. 9. 已知函数图像如图，则函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象得到，根据周期求出，再根据函数过点，代入求出，即可得解； 【详解】解：由图可知，，所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以； 故答案为： 10. 已知关于的方程的两个根分别为、（其中、为锐角），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理及和差角的正切公式计算即可. 【详解】因为关于的方程的两个根分别为、，其中、为锐角， 所以根据韦达定理得，且. 所以. 11. 已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数性质求得，再由单调性求得的范围，从而得出结论． 【详解】因为是奇函数，所以,又，所以, 因为在上单调递增．所以⊆， 于是解得，所以ω的最大值为. 故答案为： 12. 已知，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质有，结合已知有且，再应用诱导公式求目标函数值. 【详解】由，而， 所以，故且， 所以， 所以. 故答案为：1 二、单选题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得出值即得答案. 【详解】因为，所以或，所以是的充分非必要条件. 故选A. 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 15. 函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值. 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则， ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A 16. 下列说法中正确的个数是（ ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于①根据锐角三角形必有，再结合正弦函数的单调性判断可得；对于②先将函数写成一个角的三角函数形式，再根据在处取得最小值可得辅助角的一个值，进而可判断平移后的函数图象的对称性；对于③根据两角和的正切公式及诱导公式可得. 【详解】逐个分析三个命题，结论如下： 对于①：锐角中，​，因此，即. 又，函数在单调递增， 因此所以不等式恒成立，①正确； 对于②：将化为辅助角形式：（）。 因为在取最小值，所以，得， 不妨取，因此.则， 正弦函数的对称中心为，因此关于点对称.故②正确； 对于③：斜三角形中没有直角，所有角的正切都有意义。 由，得， 展开得：  整理得， 即，所以等式恒成立，故③正确. 三个命题都正确，正确个数为. 三、解答题 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正切公式计算； （2）待求值式弦化切后代入已知求解. 【小问1详解】 由题意； 【小问2详解】 由已知. 18. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）若且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性求解即可. （2）根据同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 令，，解得. 则函数的单调递增区间. 【小问2详解】 由，.​ 已知，所以，故. . 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 . （1）求角的大小； （2）若 ，且的面积为，求的外接圆半径. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，再结合正余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ，可得，即 由于，可得， 所以， 解得． 【小问2详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 设的外接圆半径为， 则， 得， 故的外接圆半径为. 20. 某景区为打造风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，在湖面所在平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点50米的点处建一凉亭，距离点70米的点处再建一凉亭，测得. （1）求的值； （2）求凉亭与凉亭之间的距离； （3）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 【答案】（1） （2）40 （3）够用 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式求解即可. （2）根据余弦定理以及同角三角函数的关系，求解即可. （3）根据余弦定理求出，再根据余弦定理求出，再计算费用. 【小问1详解】 因为，所以. 则. 【小问2详解】 由（1）知，. 在中，已知米，米，设， 由余弦定理 ， 则 ，整理得，解得. 【小问3详解】 设，在中，由余弦定理， 化简得​，即. 在中，由余弦定理 ， . 总造价为： ，预算够用. 21. 已知函数 . （1）若的最大值为2，求的值； （2）若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得 ，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最值求解即可. （2）化简函数，根据正弦函数的图像求解即可. （3）根据对称性求出，再根据函数解析式以及函数图像求解即可. 【小问1详解】 因为 的最大值为，所以 ，解得. 【小问2详解】 若，则. 因为，所以 . 当时， ，结合正弦函数图象，方程 有两解时，解得. 【小问3详解】 已知是的对称轴，则，即，解得. 因此 . 由 ，则 ， 因为 ，则 ，因此 ， 即对任意 ，方程 在 上有唯一解. 令，则 ， 有唯一解需满足： ， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期上海海洋大学附属大团高级中学高一数学期中质量监测试卷 考试时间：90分钟 总分：100分 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分） 1. 在平面直角坐标系中，是第______象限角． 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 3. 圆的半径是6 cm，则圆心角为30°的扇形面积是_________． 4. 化简__________. 5. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为______． 6. 函数的定义域为________. 7. 函数的最大值为__________. 8. 已知函数的最小正周期为．则在区间上的零点是________． 9. 已知函数图像如图，则函数的解析式为______． 10. 已知关于的方程的两个根分别为、（其中、为锐角），则__________. 11. 已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是______. 12. 已知，则__________. 二、单选题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 15. 函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 16. 下列说法中正确的个数是（ ） ①在锐角中，不等式恒成立 ②已知函数（，为常数，，）在处取得最小值，则函数的图像关于点对称 ③若为斜三角形，则成立 A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）若且，求的值. 19. 在中，内角所对的边分别为，已知 . （1）求角的大小； （2）若 ，且的面积为，求的外接圆半径. 20. 某景区为打造风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上两点之间建一条观光通道，在湖面所在平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点50米的点处建一凉亭，距离点70米的点处再建一凉亭，测得. （1）求的值； （2）求凉亭与凉亭之间的距离； （3）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？ 21. 已知函数 . （1）若的最大值为2，求的值； （2）若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得 ，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $