精品解析：北京市平谷中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

平谷中学高二年级第二学期期中考试数学试题 一、选择（共40分，每题4分） 1. 二项式的展开式中，常数项的值是（ ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 10 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（ ） A. 0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 已知等差数列满足：，，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 5. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 6. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 7. 从名高一学生和名高二学生中，选人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（ ） A. B. 数列有最大项 C. 数列为递增数列 D. 存在正整数，当时， 9. 在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 二、填空（共25分，每题5分） 11. 在的展开式中，的系数为___________(用数字作答) 12. 函数的定义域为________． 13. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________. 14. 在数列在中，，，,其中为常数，则_______ 15. 已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则______，______. 三、解答题（共85分） 16. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 17. 如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 （1）证明：平面； （2）若点为线段中点，求证：平面． （3）求二面角的余弦值． 18. 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间． 为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各台，在相同条件下进行测试，统计结果如下， 手机编号 型待机时间（） 型待机时间（） 其中，，是正整数，且． （）该卖场有台型手机，试估计其中待机时间不少于小时的台数． （）从型号被测试的台手机中随机抽取台，记待机时间大于小时的台数为，求的分布列及其数学期望． （）设，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出，的值（结论不要求证明）． 19. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作 经济损失 设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立． （1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； （2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； （3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况 操作方案 编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，证明：在上单调递增； （3）判断与的大小关系，并加以证明． 21. 已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. （1）求椭圆方程的标准方程； （2）证明； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷中学高二年级第二学期期中考试数学试题 一、选择（共40分，每题4分） 1. 二项式的展开式中，常数项的值是（ ） A. 30 B. 15 C. 20 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式的展开式的通项公式，由此求得常数项. 【详解】依题意，二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. 故选：B.. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，再令其小于0，解出即可. 【详解】的定义域为，解不等式，可得， 故函数的单调递减区间为. 故选：B. 3. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（ ） A. 0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得的值，再根据随机变量求解概率即可. 【详解】由题可得，解得， 所以. 故选：A. 4. 已知等差数列满足：，，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解. 【详解】等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式， 所以. 故选：A. 5. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. 0.648 B. 0.432 C. 0.36 D. 0.312 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A． 考点：次独立重复试验． 6. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 7. 从名高一学生和名高二学生中，选人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】间接法：先求出所有的情况，再减去没有高二同学的情况即为至少有名高二学生参加宣传活动的方法数. 【详解】若从名同学中选人共有种选法， 若被选的人都是高一，则有种选法， 故至少有名高二学生共有种选法. 故选：B. 8. 已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（ ） A. B. 数列有最大项 C. 数列为递增数列 D. 存在正整数，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，依题意可得，再根据等差数列通项公式及前项和公式一一判断即可； 【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，则， 因为为递增数列，所以， 则， 对于A：因为，又的符号无法确定，故A错误； 对于B：当时，此时单调递增，所以数列不存在最大项，故B错误； 对于C：因为，所以， 当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，故C错误； 对于D：因为为递增数列，所以，若，则当比较大时，，即一定存在正整数，当时，， 若，显然存在正整数，当时，，故D正确； 故选：D 9. 在数列中，已知，则“”是“是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，若是单调递增数列，则对任意都成立， 可得，可得结论. 【详解】因为，，所以，解得， 若是单调递增数列，则对任意都有： , 所以对任意都成立，又, 所以是数列是单调递增数列的充要条件. 故选：C. 10. 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】观察图象判定斜率大小即可. 【详解】 若果树前n年的总产量与n在图中对应点 则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率， 由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大. 即前9年的年平均产量最高. 故选：C. 二、填空（共25分，每题5分） 11. 在的展开式中，的系数为___________(用数字作答) 【答案】15 【解析】 【分析】集合二项式展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】由二项式的展开式的通项公式，得，令，则，所以系数为， 故答案为：15. 12. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故答案为： 13. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是. 考点：利用导数求切点. 14. 在数列在中，，，,其中为常数，则_______ 【答案】-1 【解析】 【详解】试题分析：因为，数列在中，， 所以，其为等差数列，首项为，公差为4， 由求和公式得，=， 由，故－1. 考点：等差数列的求和公式． 点评：简单题，利用等差数列的求和公式，与给定等式右边比较即得． 15. 已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则______，______. 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质可得，解得，结合等差数列的通项公式可得，利用与的关系即可求出数列的通项公式. 【详解】由题意知，，由，得，， 又等差数列的公差为， 所以， 即，解得， 所以，解得， 当时，， 得， 当时，，与题意中的相符， 所以. 故答案为：；. 三、解答题（共85分） 16. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知，， . 17. 如图，已知平面，四边形为矩形，，，点，分别是，的中点 （1）证明：平面； （2）若点为线段中点，求证：平面． （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得性质可得平面，可得，由已知可得，由线面垂直的判定定理可得结论； （2）连结交于，连结，证明四边形是平行四边形，则为的中点，进而有，再根据线面平行的判定定理即可得证； （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向向和平面一个法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值． 【小问1详解】 在矩形中，，因为平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又是的中点，， 所以，又，平面，所以平面， 【小问2详解】 连结交于，连结， 因为四边形是矩形，所以，且， 又分别为的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；    【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）可知平面，所以平面的一个法向量， 所以， 由图可知所求二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 18. 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间． 为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各台，在相同条件下进行测试，统计结果如下， 手机编号 型待机时间（） 型待机时间（） 其中，，是正整数，且． （）该卖场有台型手机，试估计其中待机时间不少于小时的台数． （）从型号被测试的台手机中随机抽取台，记待机时间大于小时的台数为，求的分布列及其数学期望． （）设，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出，的值（结论不要求证明）． 【答案】（1）40；（2）见解析；（3），. 【解析】 【详解】试题分析：（1）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时⇒估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时． （2）由表格可知，A型号被测试的7台手机中待机时间大于123小时的台数为有3台，利用超几何分布概率计算法则，求解概率． （3）由A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，列方程，求出a，b． 试题解析： （）被检测的台手机中有台的待机时间不少于小时， 因此，估计台型手机中有台手机的待机时间不少于小时． （）由题意，可能的取值为，，，， ， ， ， ， ∴的分布列为： 数学期望． （）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，，． 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 19. 某工厂有一组型号相同的设备，在日常维护中发现部分设备有发热的情况，经过查阅历史数据，发现设备是否发热与设备状态（完好或损坏）有较强的相关性．从发热和未发热情况的数据中各自随机抽取1000条数据，整理如下图所示： 日常维护时，对单台设备有三种可能的操作：保留观察、停机更换或检查维修．对单台设备的不同状态，这三种操作给工厂带来的经济损失如下（单位：千元）： 操作 经济损失 设备状态 保留观察 停机更换 检查维修 完好 0 10 5 损坏 12 5 7 假设用频率估计概率，且各设备之间的状态相互独立． （1）已知某设备未出现发热情况，试估计该设备损坏的概率； （2）该工厂现有2台设备出现发热情况，准备对这2台设备都进行检查维修．记检查维修这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元，求的分布列和数学期望； （3）该工厂的某车间现有2台设备，维护时发现其中一台出现发热情况，另一台未出现发热情况．下面有三种维护这2台设备的操作方案： 发热情况 操作方案 编号 发热 未发热 ① 检查维修 保留观察 ② 停机更换 检查维修 ③ 停机更换 保留观察 直接写出使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号． 【答案】（1）； （2） 10 ； （3） 使得工厂总经济损失的期望最小的方案的编号为①，理由如下： 记采用不同方案，这2台设备给工厂带来的总经济损失为千元， 采用方案①：的取值为：， , 故采用方案①，总经济损失的期望； 采用方案②：的取值为：， , 故采用方案②，总经济损失的期望； 采用方案③：的取值为：， ， 故采用方案③：总经济损失的期望. 综上，，故采用方案①，可使得总经济损失的期望最小. 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接写出即可；（2）求得的取值，进而计算出其对应概率，即可写出分布列，求得数学期望；（3）计算不同方案下总经济损失的数学期望，比较大小，即可判断. 【小问1详解】 设“一台设备未出现发热情况，设备损坏”为事件，则. 【小问2详解】 依题意，一台设备出现发热情况，设备损坏的概率为，设备正常的概率为； 易知，， ，，， 故的分布列如下所示： 10 故. 【小问3详解】 略 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，证明：在上单调递增； （3）判断与的大小关系，并加以证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得切点处的斜率，即可求解直线方程； （2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性； （3）构造函数，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解. 【小问1详解】 因所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题设，， 所以. 当时，因所以， 即在上单调递增，故得证. 【小问3详解】 ,证明如下： 设则， 由（2）知在上单调递增，所以，则， 即在上单调递增， 故，即得证. 21. 已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. （1）求椭圆方程的标准方程； （2）证明； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得建立关于的方程组，求解即可； （2）直线与椭圆的方程联立整理得，设，由向量的数量积运算求得，可得结论； （3）运用等面积法求得，设，由二次函数的性质可求得其最大值. 【小问1详解】 由已知得，解得， 因此椭圆的方程为；； 【小问2详解】 由，整理得， 设，则，， 因为， ， 所以； 【小问3详解】 设为点到直线的距离，故， 又因为， ， 所以， 设，则，由于， 所以，当，即时，等号成立. 因此，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $